,CAI使用說明,1、斜體文字表示有備注供查看,2、加下劃線的變色文字表示有超鏈接,3、,表示返回至鏈接來處,4、,表示到上一張幻燈片,5、,表示到下一張幻燈片,6、,表示到首頁,中學(xué)物理奧賽解題研究,第三專題物體的平衡,解題知識(shí)與方法研究,疑難題解答研究,例題6,例題7,例題8,一、兩種常見的約束,三、靜摩擦角的應(yīng)用,二、利用對(duì)稱性確定力的方向,四、多摩擦點(diǎn)何處“打滑”的確定,1、光滑鉸鏈,1-1、概念：使物體上的一點(diǎn)保持不動(dòng)的一種約束.,1-2、分類：為柱鉸鏈和球鉸鏈兩種.,一、兩種常見的約束,解題知識(shí)與方法研究,圖1、圖2為柱鉸鏈，,圖3為球鉸鏈.,鉸鏈實(shí)例：,1-3、性質(zhì):,（1）光滑鉸鏈與物體間的作用力(彈力)通過鉸鏈的中心（“銷”心或球心）,物體繞鉸鏈自由轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)例：,鉸鏈的施力與受力實(shí)例：,（2）物體可繞柱鉸鏈無摩擦地在二維平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng),可繞球鉸鏈無摩擦地在三維空間自由轉(zhuǎn)動(dòng).,2、連桿,2-1、概念：,一根輕桿，其兩端分別用光滑鉸鏈和兩物體相連，僅可兩端受力.,2-2、性質(zhì)：,（1）無論靜止還是運(yùn)動(dòng)，其兩端受力必為一對(duì)平衡力，方向沿桿長方向.,（2）通過連桿，只能沿桿長方向向其他物體施力.,連桿實(shí)例：,連桿施力,連桿受力,例1如圖所示的水平放置的由五根輕桿和一個(gè)拉力器構(gòu)成的正方形框架.A、B、C、D四處由鉸鏈連接，AC桿和BD桿交匯處不連接.如果調(diào)解拉力器，使它產(chǎn)生拉力為T，問：各桿受到的力是拉力還是壓力？各力的大小等于多少？,解,AB桿：,AD桿：,對(duì)鉸鏈A的拉力TAB(=T)必然水平向右.,對(duì)鉸鏈A的力不能是向上的壓力，只能是向下的拉力TAD.,AC桿：,對(duì)鉸鏈A只能是壓力TAC，方向沿CA.,進(jìn)而可得到,根據(jù)對(duì)稱性可知：,BD桿：,DC桿：,BC桿：,A,B,D,C,例2四個(gè)質(zhì)量相同的小球A、B、C、D用相同長度的輕質(zhì)剛性細(xì)桿光滑鉸接成一個(gè)菱形，開始時(shí)菱形為正方形，在光滑的水平面上沿著對(duì)角線AC方向以速度v作勻速運(yùn)動(dòng).如圖所示，在它前方有一與速度方向垂直的粘性固定直壁，C球與其相碰后立即停止運(yùn)動(dòng).試求碰后瞬間A球的速度vA.,解,碰后瞬間各球的運(yùn)動(dòng)如圖.,設(shè)碰撞中C球所受的沖量為I，,將代入化簡得,設(shè)碰撞時(shí)C球受到DC、BC桿的沖量為I.,即,A,B,D,C,BC桿、DC桿同時(shí)對(duì)B、D球也有沖量I.,即,由、式便可解出,二、利用力學(xué)平衡系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性確定力的方向,例如圖，三根不光滑的質(zhì)量、形狀完全相同的桿對(duì)稱的架立在水平不光滑地面上.試確定各桿受其他桿的作用力的方向？,對(duì)稱：,系統(tǒng)的某種屬性、狀態(tài)經(jīng)某種操作（或變換）后能保持不變，便稱系統(tǒng)的這種屬性、狀態(tài)對(duì)此操作（或變換）具有對(duì)稱性（或者說是對(duì)稱的）.,A,例3圖5所示的機(jī)構(gòu)由兩長兩短的四根輕桿通過光滑鉸鏈連接而成,四根桿的尺寸已在圖中標(biāo)出.機(jī)構(gòu)豎放在光滑水平面上.W和P、P為所加的外力,求：（1）平衡時(shí)與的關(guān)系;（2）鉸鏈O對(duì)所連接的兩桿的作用力.,B,C,O,如圖，AB桿為二力輕桿，其A端受力FA、沿AB方向，B端受力FB沿BA方向.,于是有,解,（1）,分解W得,BE桿的B端受力與為作用與反作用力，,由得,故,研究AB桿：,研究BE桿：,由解得,（2）,由知,方向向右.,鉸鏈O對(duì)CD桿的作用力大小為,方向水平向左.,A,B,C,O,三、靜摩擦角的應(yīng)用,1、靜摩擦角的概念,1-1、定義：,1-2、幾何意義：,最大靜摩擦力fm和正壓力N的合力與接觸面法向夾角.,（即全反力R與接觸面法向的最大夾角),2、用靜摩擦角解題有時(shí)較簡便,1-3、重要性質(zhì),靜摩擦角的大小取決于兩接觸面的性質(zhì)！,物體滑動(dòng)時(shí),例4如圖所示，有一長為l，重為W0的勻質(zhì)桿AB，A端頂在豎直的粗糙墻壁上，桿端與墻壁的靜摩擦系數(shù)為0,B端用一強(qiáng)度足夠而不可伸長的輕繩懸掛，繩的另一端固定在墻壁的C點(diǎn).桿呈水平狀態(tài)，繩與桿的夾角為.（1）求桿能保持平衡時(shí)0與應(yīng)滿足的條件;（2）桿保持平衡時(shí)，桿上有一點(diǎn)P存在：若在P點(diǎn)與A點(diǎn)之間的任一點(diǎn)懸掛一重物，則當(dāng)重物的總量W足夠大時(shí)總可以使平衡被破壞;而在P點(diǎn)與B點(diǎn)之間的任一點(diǎn)懸掛任意重量的重物，都不能使平衡破壞.求出這一點(diǎn)P與A點(diǎn)的距離.,解一（摩擦角方法）,（1）,由力的平衡條件及對(duì)稱關(guān)系知,既然桿能保持平衡，,所以應(yīng)有,即,桿未掛重物時(shí)受力如圖,你能否準(zhǔn)確確定R的方向？,A,B,C,T,W0,（2）桿掛上重物W時(shí),研究重物掛在何處能使1、R和N的夾角02、R和N的夾角0,作出墻壁和桿間的靜摩擦角0=BAD.,又作DPAB，,所得交點(diǎn)P即為所求.,若重物W掛在P、B之間：,無論W多大，均有0.,若重物W掛在P、A之間：,當(dāng)W足夠大時(shí)，就能使0.,由幾何關(guān)系得,由此解得,解二（分析法）,A,B,C,W0,掛上重物W（W可以為零）后，桿受力如圖,由于桿未滑動(dòng)，故,由、消去T得：,由、消去f得：,將、代入得：,按W、W0整理后得：,通過討論W和d對(duì)此式的影響來回答問題：,（1）若不掛重物（W=0）：,則有,所以,（2）在成立時(shí)掛重物（W0)：,此時(shí)式左端,、此時(shí)只要式右端的,則無論W多大，式均成立.,A,B,C,T,W0,f,W,N,P,d,于是得,、此時(shí)如果式右端的,則當(dāng)W足夠大時(shí)，可使不成立.,于是得,綜上可知：,題后總結(jié)本題用“摩擦角法”較簡單；但當(dāng)多點(diǎn)摩擦?xí)r一般更適合“分析法”.,A,B,C,1、實(shí)例,判斷何接觸處的靜摩擦力先達(dá)到最大：,2、處理的方法,四、多摩擦點(diǎn)何處“打滑”的判斷,假定一處靜摩擦力達(dá)到最大,例5有一木板可繞其下端的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸位于一豎直墻上，如圖所示.開始時(shí)木板與墻面的夾角為15，在夾角中放一正圓柱形木棍，截面半徑為r，在木板外側(cè)加一力F使其保持平衡，在木棍端面上畫一豎直向上的箭頭.已知木棍與墻面之間和木棍與木板之間的靜摩擦系數(shù)分別為1=1.00,2=若板緩緩地減小所加的力F，使夾角慢慢張開，木棍下落.問當(dāng)夾角張到60時(shí)，木棍端面上的箭頭指向什么方向？,解,要使棍與墻接觸點(diǎn)先滑，則此時(shí)有,將代入得,由得,由兩式得,設(shè)取臨界角0時(shí)有,解出,當(dāng)15<<30時(shí)不成立:,當(dāng)30<<60時(shí)成立:,棍右接觸點(diǎn)打滑,棍左接觸點(diǎn)打滑,右圖為棍轉(zhuǎn)動(dòng)的幾何關(guān)系.,由此得到,當(dāng)棍沿墻由A滾動(dòng)至B時(shí)，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),當(dāng)棍沿板由B滾動(dòng)至C時(shí)，反時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),當(dāng)棍在板上滾動(dòng)時(shí)板順時(shí)針轉(zhuǎn)過3=30.,綜上可知棍截面上的指針的轉(zhuǎn)過的角度為,另解（摩擦角法）,棍與墻之間的靜摩擦角為,棍與木板之間的靜摩擦角為,由幾何關(guān)系有,則,此時(shí)棍兩側(cè)均達(dá)到最大靜摩擦.,由上式展開討論：,此時(shí)棍右滾左滑.,此時(shí)棍左滾右滑.,進(jìn)一步可求得棍截面上的箭頭轉(zhuǎn)動(dòng)的角度.,考慮全反力（代替壓力和摩擦力）.,題后總結(jié)與思考兩接觸點(diǎn)交替打滑是本題的特點(diǎn)和難點(diǎn)；本題用“摩擦角法”不及“分析法”清晰；、在原題條件下，若F逐漸增大，會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象；、在什么條件下棍會(huì)“自鎖”？,證明,圓板視為由很多面積相等的微小面元組成.,如果圓板中存在速度方向滿足圖中關(guān)系的兩個(gè)小面元S和S，此兩面元所受的摩擦力的合力方向與v0的方向關(guān)系怎樣？,在圓板中究竟有沒有這樣的兩個(gè)小面元？,由于圓的對(duì)稱性，在A處選定S后，S可能應(yīng)在B、C、D處選擇？！,疑難題解答研究,x,y,O,A,C,D,v0,如圖，將S選在與A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B處，,若將S選在C處，則S應(yīng)選在D處.,小面元S、S所受摩擦力f、f的合力與v0方向相反.,y,x,o,E,H,fE、H,注意到此時(shí)E、H關(guān)于x軸的對(duì)稱面元F、G，二者所受摩擦力的合力fF、G仍必將與v0反向.,當(dāng)關(guān)于y軸的對(duì)稱面元E、H所受摩擦力的合力與v0同向時(shí)，便能在圓板上選出E、H關(guān)于x軸的對(duì)稱面元F、G，使四者所受摩擦力的合力方向與v0的方向相反.,如圖，由速度合成的平行四邊形的幾何關(guān)系有,所以,由此可知,綜上可知，,在圓板上任選一小面元：,若該面元的速度方向與v0的方向夾角90，則能在圓板的另處對(duì)應(yīng)地選出另一個(gè)小面元，使二者所受的摩擦力的合力與v0方向相反.（等于90時(shí)合力為零）,若該面元的速度方向與v0的方向夾角90，則能在圓板的另處對(duì)應(yīng)地選出另三個(gè)小面元，使四者所受的摩擦力的合力與v0方向相反.,O,v0,例7如圖,在傾角為的面積足夠大的粗糙斜面上，有一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，被一根輕彈性繩拴住，繩的另一端固定在斜面上O點(diǎn).彈性繩的形變服從胡克定律.繩原長為L，勁度系數(shù)為k.斜面與質(zhì)點(diǎn)間的靜摩擦系數(shù)為.試確定質(zhì)點(diǎn)在斜面上可靜止的區(qū)域(用曲線方程表示）.,O,解,建立Oxyz坐標(biāo).,質(zhì)點(diǎn)的平衡方程所確定的坐標(biāo)（x,y)滿足的區(qū)域即為質(zhì)點(diǎn)靜止的區(qū)域.,由于當(dāng)質(zhì)點(diǎn)距O的距離小于L時(shí)繩沒有張力，故將x-y平面分成兩個(gè)區(qū)域研究：,而張力,還應(yīng)滿足,進(jìn)一步研究利用這些式子找出（x,y）滿足的方程！,（1）,由：,由：,所以,將代入得：,將代入得：,將、代入得：,O,（2）,而上述式也是在滿足此兩式的情況下得出的.,最終可知，曲線,所圍的區(qū)域都是質(zhì)點(diǎn)的靜止區(qū)域.,僅需滿足,例8五根質(zhì)量與長度均相同的勻質(zhì)細(xì)棒用質(zhì)量與線度均可忽略不計(jì)的光滑鉸鏈兩兩首尾連成一個(gè)五邊形.今將其一個(gè)頂點(diǎn)掛在天花板下.試求平衡時(shí)此五邊形的五個(gè)頂角.又若在最下邊的細(xì)棒的中點(diǎn)再懸掛一重物，能否使五根細(xì)棒構(gòu)成一個(gè)等腰三角形？,解,設(shè)每根棒質(zhì)量為m，長為l.,T,隔離研究左邊兩棒的受力情況：,將二者的鏈接處的受力進(jìn)行分解，其受力如圖所示.,對(duì)左邊上面的棒：,對(duì)左邊下面的棒：,又由幾何關(guān)系得,將此三方程簡化為,只需求出圖中的1、2即可,O,K,T,T,T,T,mg,mg,由、兩式得,即,代入化簡后，令,利用計(jì)算器進(jìn)行一元高次方程的逼近求解,O,K,T,T,T,T,mg,mg,取使f(x)最接近零的x值：,x=0.1715,由計(jì)算器查得：,1=9.9,2=19.20,所以五邊形的上方內(nèi)頂角為,21=19.8,側(cè)方內(nèi)頂角為,下方內(nèi)頂角為,于是有,假設(shè)能構(gòu)成等腰三角形，看其是否滿足平衡條件.,對(duì)左側(cè)上面的棒，,對(duì)下面的棒，,由此兩式得,解得,m=0,這表明在五根細(xì)棒質(zhì)量不為零時(shí)不可能構(gòu)成等腰三角形.,題后總結(jié)本題的假定法研究非平衡問題時(shí)很有用；需掌握利用計(jì)算器逼近求解一元高次方程的方法.,