第一章DIYIZHANG計數(shù)原理§1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理第1課時1.某一數(shù)學(xué)問題可用綜合法和分析法兩種方法證明,有5名同學(xué)只會用綜合法證明,有3名同學(xué)只會用分析法證明,現(xiàn)從這些同學(xué)中任選1名同學(xué)證明這個問題,不同的選法種數(shù)為()A.8B.15C.18D.30解析:共有5+3=8種不同的選法.答案:A2.從A地到B地要經(jīng)過C地和D地,從A地到C地有3條路,從C地到D地有2條路,從D地到B地有4條路,則從A地到B地不同的走法有()A.9種B.1種C.24種D.3種解析:由分步乘法計數(shù)原理知,從A地到B地不同走法有2×3×4=24(種).答案:C3.從集合0,1,2,3,4,5,6中任取兩個互不相等的數(shù)a,b組成復(fù)數(shù)a+bi,其中虛數(shù)有()A.30個B.42個C.36個D.35個解析:要完成這件事可分兩步,第一步確定b(b0)有6種方法,第二步確定a有6種方法,故由分步乘法計數(shù)原理知共有6×6=36個虛數(shù),故選C.答案:C4.某公共汽車上有10名乘客,沿途有5個車站,乘客下車的可能方式有()A.510種B.105種C.15種D.50種解析:每名乘客都有在5個車站中的任何一個車站下車的可能,由分步乘法計數(shù)原理得,下車的可能方式有5×5×5×5×5×5×5×5×5×5=510種.答案:A5.有4位教師在同一年級的4個班中各教一個班的數(shù)學(xué),在數(shù)學(xué)檢測時要求每位教師不能在本班監(jiān)考,則監(jiān)考的方法有()A.8種B.9種C.10種D.11種解析:設(shè)四位監(jiān)考教師分別為A,B,C,D,所教班分別為a,b,c,d,假設(shè)A監(jiān)考b,則余下三人監(jiān)考剩下的三個班,共有3種不同方法,同理A監(jiān)考c,d時,也分別有3種不同方法,由分類加法計數(shù)原理得監(jiān)考的方法共有3+3+3=9(種).答案:B6.滿足a,b-1,0,1,2,且關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a,b)的個數(shù)為()A.14B.13C.12D.10解析:當a=0時,2x+b=0總有實數(shù)根,所以(a,b)的取值有4個.當a0時,需=4-4ab0,所以ab1.a=-1時,b的取值有4個,a=1時,b的取值有3個,a=2時,b的取值有2個.所以(a,b)的取法有9個.綜合知,(a,b)的取法有4+9=13個.答案:B7.8名世界網(wǎng)球頂級選手在上海大師賽上分成兩組,每組各4人,分別進行單循環(huán)賽,每組決出前兩名,再由每組的第一名與另一組的第二名進行半決賽,獲勝者角逐冠亞軍,敗者角逐第3,4名,則大師賽共有場比賽. 解析:每個小組賽有6場比賽,兩個小組有6+6=12場比賽,半決賽和決賽共有2+2=4場比賽,根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有12+4=16場比賽.答案:168.導(dǎo)學(xué)號43944001一學(xué)習(xí)小組有4名男生,3名女生,任選一名學(xué)生當數(shù)學(xué)課代表,共有種不同選法;若選男、女生各一名當組長,共有種不同選法. 解析:任選一名當數(shù)學(xué)課代表可分兩類,一類是從男生中選,有4種選法;另一類是從女生中選,有3種選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有4+3=7種不同選法.若選男、女生各一名當組長,需分兩步:第1步,從男生中選一名,有4種選法;第2步,從女生中選一名,有3種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有4×3=12種不同選法.答案:7129.導(dǎo)學(xué)號43944002有一項活動,需從3位老師、8名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選人參加.(1)若只需1人參加,有多少種不同的選法?(2)若需老師、男同學(xué)、女同學(xué)各1人參加,有多少種不同的選法?(3)若需1位老師、1名同學(xué)參加,有多少種不同的選法?解(1)選1人,可分三類:第一類從老師中選1人,有3種不同的選法;第二類從男同學(xué)中選1人,有8種不同的選法;第三類從女同學(xué)中選1人,有5種不同的選法,共有3+8+5=16種不同的選法.(2)選老師、男同學(xué)、女同學(xué)各1人,則分3步進行,第一步選1位老師,有3種不同的選法;第二步選1位男同學(xué),有8種不同的選法;第三步選1位女同學(xué),有5種不同的選法,共有3×8×5=120種不同的選法.(3)選1位老師、1名同學(xué),可分兩步進行,第一步選1位老師,有3種不同的選法,第二步選1位同學(xué),有8+5=13種不同的選法,共有3×13=39種不同的選法.10.已知集合A=a1,a2,a3,a4,集合B=b1,b2,其中ai,bj(i=1,2,3,4,j=1,2)均為實數(shù).(1)從集合A到集合B能構(gòu)成多少個不同的映射?(2)能構(gòu)成多少個以集合A為定義域,集合B為值域的不同函數(shù)?解(1)因為集合A中的元素ai(i=1,2,3,4)與集合B中元素的對應(yīng)方法都有2種,由分步乘法計數(shù)原理,可構(gòu)成AB的映射有N=24=16個.(2)在(1)的映射中,a1,a2,a3,a4均對應(yīng)同一元素b1或b2的情形.此時構(gòu)不成以集合A為定義域,以集合B為值域的函數(shù),這樣的映射有2個.所以構(gòu)成以集合A為定義域,以集合B為值域的函數(shù)有M=16-2=14個.