《多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 濟南大學(xué)1415》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 濟南大學(xué)1415（23頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1415A 一、選擇題（每題2分，共10分） (1) 極限( D ) (A) . (B) . (C) . (D) 不存在. (2) 二元函數(shù)在點處的全微分存在是它在該點持續(xù)的( A ) (A) 充足條件. (B) 必要條件. (C) 充足必要條件. (D) 既非充足也非必要條件. (3) 點是二元函數(shù)的( C ) (A) 極大值點. (B) 極小值點. (C) 駐點但不是極值點. (D) 不是駐點. 二、填空題（每題2分，共10分）

2、 (1) 極限 . 1 (2) 設(shè)二元函數(shù)，則 . 三、計算題（每題5分，共20分） (1) 設(shè)，求，. (2) 設(shè)是由方程所擬定的隱函數(shù)，求和. (1) 解：， (2) 解：設(shè)，則，，，， 五、綜合題（每題10分，共20分） (1) 求函數(shù)的極值. (1) 解：， ， 解方程組得駐點：，，. ，，. 在點，，，；，，因此是極小值. 在點，，，；，因此不是極值. 在點，，，；，因此不是極值. 1314A 一、填空題（每題2分，共10分） (2) 極限 . Key: 1.

3、 (3) 設(shè)二元函數(shù)，則 . Key: 二、選擇題（每題2分，共10分） (1) 極限( C ) (A) . (B) . (C) . (D) 不存在. (2) 二元函數(shù)在點處的全微分存在是它在該點兩個一階偏導(dǎo)數(shù)都存在的( A ) (A) 充足條件. (B) 必要條件. (C) 充足必要條件. (D) 既非充足也非必要條件. (3) 若在處獲得極大值，令. 則 ( B ) (A) 在獲得

4、最大值. (B) 在獲得極大值. (C) 是的駐點. (D) 以上都不對. 三、計算題（每題8分，共40分） (1) 設(shè)，求，，和. (1) 解：， ， (2) 設(shè)是由方程所擬定的隱函數(shù)，求和. (2) 解：， 1314B 五、綜合題（每題10分，共20分） (1) 求曲線上的點到坐標(biāo)原點的最長距離與最短距離. (1) 解：設(shè)曲線上的點到坐標(biāo)原點的距離的平方為 ，， 令 解方程組得 ，考慮邊界的點的函數(shù)值，因此最長距

5、離是，最短距離是. 1314C (3) 設(shè)，而，，求,. (3) 解： ， ． 五、應(yīng)用題（每題10分，共20分） (1) 某公司在生產(chǎn)中使用甲、乙兩種原料，已知甲和乙兩種原料分別使用單位和單位可生產(chǎn)單位的產(chǎn)品，且 . 已知甲原料單價為元/單位，乙原料單價為元/單位，產(chǎn)品每單位售價為元，產(chǎn)品固定成本為元，求該公司的最大利潤. (1) 解：利潤函數(shù) ， 解方程組得. ，，. 令，，，則，，因此是極大值，也是最大值. 0809 B 一、填空題（每題3分，共18分） 2、設(shè)，則其全微分 ．

6、 3、函數(shù)的所有間斷點是 . 二、選擇題（每題3分，共15分） 1、，則極限（ Ａ ） （A）不存在 （B）1 （C）2 （D）0 A 當(dāng)點沿曲線趨向時， 顯然，當(dāng)k取值不同是，極限也不相似。 因此 不存在． 2、在曲線所有切線中，與平面平行的切線（ Ａ ） （A）只有一條； （B） 只有兩條； （C）至少有3條； （D） 不存在 曲線的切向量,平面的法向量 ,,因此只有一條切線滿足條件. 3、點是函數(shù)的（ Ｂ ） （A）極值點；（B）.駐點但不是極值點；（C）是極值點但

7、不是駐點；（D）以上都不對 分析: 令,得(0,0)是駐點,但點(0,0)是的鞍點,不是極值點. 四、計算題（每題8分，共32分） 1、設(shè)求和 解 五、解答題（每題分10，共20分） 1、要造一種容積為定數(shù)a的長方形無蓋容器，如何設(shè)計它的尺寸才干使它的表面積最小？此時最小表面積為多少？ 解：設(shè)長方體的長寬高分別為則問題就是在條件下 求函數(shù) 的最小值. 作拉格朗日函數(shù) 求其對的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，得到 由于都不等于零， 得 代入,得 這是唯一也許的極值點. 由問題自身可知最小值一定存在，因此最小值就在這個也許

8、的極值點處獲得. 即長寬高為時, 最小表面積 0910B 一、填空題（每題2分，共10分） 2、設(shè)函數(shù)是由方程給出，則全微分 ． ,. 3、曲面在點處的切平面方程為 . 切平面得法向量 切平面方程為 二、選擇題（每題2分，共10分） 1、二元函數(shù)在點處可微是兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在的 （ Ａ ） 　　　　　　　　　　　 （A）充足條件

9、 （B）必要條件 （C）充足必要條件 （D）既非充足又非必要條件. 四、計算題（每題10分，共40分） 1、設(shè)，而、，求:、． 解：， 1011B 一、填空題（每題3分，共15分） (1) 設(shè)二元函數(shù)，則 . (2) 旋轉(zhuǎn)拋物面在點處的法線方程是 . 法線的方向向量 法線方程是. 二、單選題（每題3分，共15分） (4) 設(shè)的全微分為 則點 ( C ) 不是的持續(xù)點； 不是的極值點； 是的極

10、小值點； 是的極大值點. 分析:,得,由,則點 是的極小值點. 三、求偏導(dǎo)數(shù)（每題10分，共20分） （1）設(shè)，其中具有二階持續(xù)偏導(dǎo)數(shù).求 ；；. 解: (2)設(shè)是方程在點擬定的隱函數(shù)，求及 解:令 …1分 則 …6分 ； …8分 …10分 六、應(yīng)用題（本題滿分10分） 從斜邊長為的一切直角三角形中，求有最大周長的直角三角形，并求出最大周長. 解：設(shè)另兩邊長分別為，則 ，周長 …2分 設(shè)拉格朗日函數(shù) …4

11、分 令 …6分 解方程組得為唯一駐點，且最大周長一定存在 …8分 故當(dāng)時，最大周長為 …10分 1112B 一、填空題（每題2分，共10分） 1. 在點處的 2. 設(shè)函數(shù)在點獲得極值，則常數(shù). ,,因此 例36　設(shè)函數(shù)在處獲得極值，試求常數(shù)a，并擬定極值的類型． 分析 這是二元函數(shù)求極值的反問題， 即懂得獲得極值，只需要根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)獲得極值的必要條件和充足條件即可求解本題． 解　由于在處的偏導(dǎo)數(shù)均存在，因此點必為駐點， 則有

12、 ， 因此有，即． 由于 ，， ， ，， 因此，函數(shù)在處獲得極小值． 二、選擇題（每題2分，共10分） 3. 在點處函數(shù)的全微分存在的充足條件為 （ Ｃ ） (A) 均存在 (B) 持續(xù) (C) 的所有一階偏導(dǎo)數(shù)均持續(xù) (D) 持續(xù)且均存在 三、計算題（每題8分，共40分） 1. 設(shè)是由方程所擬定的隱函數(shù)，計算的值. 解:設(shè) ，則， ， 4. 求函數(shù)在點沿著從該點到點的方向?qū)?shù). 解 方向 , . 五、證明題（每題7分，共7分

13、） 證明在點偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微. 證: , ...................3分 當(dāng)點沿曲線趨向時， . 顯然，當(dāng)k取值不同是，極限也不相似。因此 不存在． 這表達當(dāng)時, 1213B 一、填空題（每題2分，共10分） (2) 極限 . . 分子有理化 (3) 設(shè)二元函數(shù)，則 . 二、選擇題（每題2分，共10分） (1) 設(shè)函數(shù)，則極限　　(Ｄ) (A) . (B) . (C) . (D) 不存在. 當(dāng)點沿曲線趨

14、向時， 顯然，當(dāng)k取值不同是，極限也不相似。 因此 不存在． (2) 二元函數(shù)在點處的全微分存在是它在該點持續(xù)的(???Ａ　) (A) 充足條件. (B) 必要條件. (C) 充足必要條件. (D) 既非充足也非必要條件. 如果函數(shù)在一點可微分,則函數(shù)在該點持續(xù) 三、計算題（每題8分，共40分） (1) 設(shè)，求，，和. 解: (2) 設(shè)是由方程所擬定的隱函數(shù)，求和. 解I： 用隱函數(shù)求導(dǎo)公式 ， 解II： 將看作的函數(shù)，兩邊對求導(dǎo)，得： 即，同理兩邊對求導(dǎo)得 解III： 將方程兩邊

15、求全微分，得： ，解出得： ，將z看作的函數(shù)，繼續(xù)求導(dǎo)，即得二階偏導(dǎo)數(shù)： ，， 四、應(yīng)用題（每題10分，共20分） (1) 求旋轉(zhuǎn)拋物面上垂直于直線的切平面方程. 解: 令,任取旋轉(zhuǎn)拋物面上一點，該點的法向量 , 已知直線的方向向量 由于所求平面的法向量與已知直線的方向向量平行, ,因此代入,得, 因此所求的切平面方程為 或. 注:已知直線的方向向量也可以按下面的兩種方式求 1. 把當(dāng)作是的函數(shù)，在方程組中對求導(dǎo)，得 ，解得． 則方向向量 2. 令，，直線的方向向量 ， (2) 求函數(shù)在條件下的最大值與最小值. 解　令，于是由 解得即,為也

16、許的極值點，也許的極值,,從而所求函數(shù)的最大值是，最小值是.． 五、綜合題（每題10分，共20分） (2) 設(shè)是定義在上的持續(xù)函數(shù)，是由圓和直線，所圍成的區(qū)域在第一象限部分（，）. 記，求. 解: 區(qū)域用極坐標(biāo)表達 0607高數(shù)A 一、填空題（每題4分，共32分） 一、 填空題（本題共5小題，每題4分，滿分20分） 1. 函數(shù)的定義域為 _______. 5. 曲面上點P(1,1,2) 處的切平面方程為 . 切平面的法向量 切平面方程或. 二、單選題（本題共5小題，每題4分，滿分20分） 1

17、. 考慮二元函數(shù)的下面4條性質(zhì)： ① ② ③ ④ 若用表達可由性質(zhì)推出性質(zhì)，則有 [ A ] (A) ②③①; (B ) ③②①; (C) ③④①; (D) ③①④. 2. 坐標(biāo)原點(0,0)是函數(shù)的 [ B ] (A) 既是駐點也是極值點； (B) 駐點但非極值點； (C) 極值點但非駐點； (D) 既非駐點也非極值點. ,因此(0,0)是駐點但非極值點 三 、計算題一（本題共兩小題，滿分15分） 1. 已知、； 解: 2.已知，求. 解: 注旨在方程

18、組中對求導(dǎo)，得 ，解得 0708高數(shù)A 一、填空題（本題共5小題，每題4分，滿分20分） 1. 極限 2. 曲面上點P(2,1,0) 處的切平面方程為 . 設(shè), 切平面的法向量 切平面方程或. 二、單選題（本題共5小題，每題4分，滿分20分） 1. 設(shè),則它在點(1,0)處( B ). (A) 獲得極大值; (B ) 無極值; (C) 獲得極小值; (D) 無法鑒定與否有極值. 解: ,. , ,因此函數(shù)在點(1,0)處無極值. 三 、計算題（本題共兩小題，滿分14分） 1. (7分) 設(shè)函

19、數(shù)其中具有二階持續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求. 1(7分) 解: 3分 7分 2.(7分) 設(shè)函數(shù)，求. 解: 令, 1分 2分 4分 將看作的函數(shù),繼續(xù)求導(dǎo),得 7分 0809A 一、填空題（每題2分，滿分10分）

20、 1. 極限 2. 曲面在點(1,1,2) 處的切平面方程為 . 設(shè),切平面的法向量 切平面方程或. 二、選擇題（每題2分，滿分10分） 1.函數(shù)在可微是它在該點兩個一階偏導(dǎo)數(shù)都存在的( A ). (A) 充足條件; (B ) 必要條件; (C) 充要條件; (D) 非充足亦非必要條件. 2. 設(shè)在點(0,0)處( C ). (A) 獲得極大值; (B ) 獲得極小值; (C) 無極值; (D) 無法鑒定與否有極值. 三 、求偏導(dǎo)數(shù)或全微分（每題8分，滿分24分） 1.設(shè)

21、函數(shù),求dz和. 解: 2. 設(shè)，求. 解：， 3 設(shè)由擬定，有一階持續(xù)偏導(dǎo)，求 解: 設(shè)則 六、（8分）求函數(shù)的極值 解：解方程組 求得如下五組解 于是駐點,又 因此 1.在處, 故不是極值； 2. 在處 故不是極值； 3. 在處 故不是極值； 4. 在處 故不是極值； 5. 在處 故函數(shù)在點獲得極大值，極大值為36. 綜上所述，函數(shù)的極大值為36，無極小值. 0910高數(shù)A 一、填空題（每題3分，共18分） 1. 設(shè)，則. . 3. 函數(shù)的全微分為

22、 . 二、選擇題（每題3分，共18分） 4. 曲面在任一點處的切平面與坐標(biāo)軸的截距之和為 [ B ] (A) ； (B) 3； (C) 9； (D) 1. 三、計算題（每題8分，共32分） 1.設(shè). 解：； 四、應(yīng)用題（每題8分，共16分） 1. 在已給的橢球面內(nèi)的一切內(nèi)接長方體（各邊分別平行于坐標(biāo)軸）中，求其體積最大者. 解：[此題是條件極值，約束條件是內(nèi)接于橢球面]由橢球的對稱性，不妨設(shè)是該球面上位于第Ⅰ卦限的任一點，則約束條件為，本題不易變?yōu)橐辉瘮?shù)，采用拉格朗日數(shù)乘法解之。設(shè)內(nèi)接長

23、方體的相鄰邊長為，其體積為：. 構(gòu)造拉格朗日函數(shù) 求得, = 六、（8分）設(shè)函數(shù)f (u)在(0,+￥)內(nèi)具有二階偏導(dǎo)數(shù)，且 滿足等式. ① 驗證； ② 若求函數(shù)f (u)的體現(xiàn)式. 解：① 設(shè)，則 ........2分 同理， 由. ..................4分 ② 設(shè)， 則原方程化為： 積分得：，即 ......................6分 由得C=1. 于是 代入得：C1=0. 函數(shù)f (u)的體現(xiàn)式為：. ....................8分 1011高數(shù)A 一、填空題（每題

24、3分，共15分） 1、. 2 二、選擇題（每題3分，共15分） 1、設(shè)可導(dǎo)函數(shù)滿足則 ( B ) 是的極值點 是的駐點 是的持續(xù)點 在處可微分 三、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（每題6分，共18分） 1、已知，求 解: 2、已知，求 解: 設(shè)則 , 3、已知，求， 解: 1112高數(shù)A 一、填空題（每題2分，共10分） (1) 極限 . 0 二、選擇題（每題2分，共10分） (1) 函數(shù)在點處的全微分存在的充足條件是(???Ｃ　) (A) 在點處的

25、兩個一階偏導(dǎo)數(shù)都存在. (B) 在點處持續(xù). (C) 在點處的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)都持續(xù). (D) 在點處持續(xù)并且兩個一階偏導(dǎo)數(shù)都存在. (2) 設(shè),則它在點處 (???Ｂ????) (A) 獲得極大值. (B) 無極值. (C) 獲得極小值. (D) 無法鑒定與否有極值. 解：解方程組求得解于是駐點又 因此在處, 也許是極值點,也也許不是極值點. 但是在附近函數(shù)有不小于0的點也有不不小于0的點.因此在處無極值 三、計算題（每題10分，共40分） (1) 設(shè)，求，，和. (1) 解：， …………5分 ，……………10分 (2)

26、 求函數(shù)的極值. 解：解方程組 求得解于是得唯一駐點又 , 故函數(shù)在點獲得極小值，極小值為 五、應(yīng)用題（10分） 設(shè)具有持續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足. 求所滿足的一階微分方程，并求其通解. (2) 解： ， ………3分 滿足的一階微分方程是. ………5分 通解 . ………10分 1213高數(shù)A 一、填空題（每題2分，共10分） (2) 設(shè)二元函數(shù)，則 . 二、選擇題（每題2分，共10分） (1) 設(shè)函數(shù)，則極限 (A) . (B) . (C) .

27、 (D) 不存在. D (2) 二元函數(shù)在點處的全微分存在是它在該點持續(xù)的 (A) 充足條件. (B) 必要條件. (C) 充足必要條件. (D) 既非充足也非必要條件. A 三、計算題（每題8分，共40分） (1) 設(shè)，求，，和. 解: (2) 設(shè)是由方程所擬定的隱函數(shù)，求和. 解I： 用隱函數(shù)求導(dǎo)公式 ， 解II： 將看作的函數(shù)，兩邊對求導(dǎo)，得： 即，同理兩邊對求導(dǎo)得 解III： 將方程兩邊求全微分，得： ，解出得： ，將z看作的函數(shù)，繼續(xù)求導(dǎo)，即得二階偏導(dǎo)數(shù)： ，， 五、綜合題（10分） 設(shè)是定義在上的持續(xù)函數(shù)，是由圓和直線，所圍成的區(qū)域在第一象限部分（，）. 記，求. 解: 區(qū)域用極坐標(biāo)表達