. 同濟六版高等數(shù)學(xué)課后答案全集 一，上冊 第一章 習(xí)題1-1 1. 設(shè)A=(-, -5)(5, +), B=[-10, 3), 寫出AB, AB, A\B及A\(A\B)的表達式. 解 AB=(-, 3)(5, +), AB=[-10, -5), A\B=(-, -10)(5, +), A\(A\B)=[-10, -5). 2. 設(shè)A、B是任意兩個集合, 證明對偶律: (AB)C=AC BC . 證明 因為 x(AB)CxAB xA或xB xAC或xBC xAC BC, 所以 (AB)C=AC BC . 3. 設(shè)映射f : X Y, AX, BX . 證明 (1)f(AB)=f(A)f(B); (2)f(AB)f(A)f(B). 證明 因為 yf(AB)$xAB, 使f(x)=y (因為xA或xB) yf(A)或yf(B) yf(A)f(B), 所以 f(AB)=f(A)f(B). (2)因為 yf(AB)$xAB, 使f(x)=y(因為xA且xB) yf(A)且yf(B) y f(A)f(B), 所以 f(AB)f(A)f(B). 4. 設(shè)映射f : XY, 若存在一個映射g: YX, 使, , 其中IX、IY分別是X、Y上的恒等映射, 即對于每一個xX, 有IX x=x; 對于每一個yY, 有IY y=y. 證明: f是雙射, 且g是f的逆映射: g=f -1. 證明 因為對于任意的yY, 有x=g(y)X, 且f(x)=f[g(y)]=Iy y=y, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f為X到Y(jié)的滿射. 又因為對于任意的x1x2, 必有f(x1)f(x2), 否則若f(x1)=f(x2)g[ f(x1)]=g[f(x2)] x1=x2. 因此f既是單射, 又是滿射, 即f是雙射. 對于映射g: YX, 因為對每個yY, 有g(shù)(y)=xX, 且滿足f(x)=f[g(y)]=Iy y=y, 按逆映射的定義, g是f的逆映射. 5. 設(shè)映射f : XY, AX . 證明: (1)f -1(f(A))A; (2)當f是單射時, 有f -1(f(A))=A . 證明 (1)因為xA f(x)=yf(A) f -1(y)=xf -1(f(A)), 所以 f -1(f(A))A. (2)由(1)知f -1(f(A))A. 另一方面, 對于任意的xf -1(f(A))存在yf(A), 使f -1(y)=xf(x)=y . 因為yf(A)且f是單射, 所以xA. 這就證明了f -1(f(A))A. 因此f -1(f(A))=A . 6. 求下列函數(shù)的自然定義域: (1); 解 由3x+20得. 函數(shù)的定義域為. (2); 解 由1-x20得x1. 函數(shù)的定義域為(-, -1)(-1, 1)(1, +). (3); 解 由x0且1-x20得函數(shù)的定義域D=[-1, 0)(0, 1]. (4); 解 由4-x2>0得 |x|<2. 函數(shù)的定義域為(-2, 2). (5); 解 由x0得函數(shù)的定義D=[0, +). (6) y=tan(x+1); 解 由(k=0, 1, 2, )得函數(shù)的定義域為(k=0, 1, 2, ). (7) y=arcsin(x-3); 解 由|x-3|1得函數(shù)的定義域D=[2, 4]. (8); 解 由3-x0且x0得函數(shù)的定義域D=(-, 0)(0, 3). (9) y=ln(x+1); 解 由x+1>0得函數(shù)的定義域D=(-1, +). (10). 解 由x0得函數(shù)的定義域D=(-, 0)(0, +). 7. 下列各題中, 函數(shù)f(x)和g(x)是否相同？為什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x; (2) f(x)=x, g(x)=; (3),. (4)f(x)=1, g(x)=sec2x-tan2x . 解 (1)不同. 因為定義域不同. (2)不同. 因為對應(yīng)法則不同, x<0時, g(x)=-x. (3)相同. 因為定義域、對應(yīng)法則均相相同. (4)不同. 因為定義域不同. 8. 設(shè), 求, , , j(-2), 并作出函數(shù)y=j(x)的圖形. 解 , , , . 9. 試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性: (1), (-, 1); (2)y=x+ln x, (0, +). 證明 (1)對于任意的x1, x2(-, 1), 有1-x1>0, 1-x2>0. 因為當x1<x2時, , 所以函數(shù)在區(qū)間(-, 1)內(nèi)是單調(diào)增加的. (2)對于任意的x1, x2(0, +), 當x1<x2時, 有 , 所以函數(shù)y=x+ln x在區(qū)間(0, +)內(nèi)是單調(diào)增加的. 10. 設(shè) f(x)為定義在(-l, l)內(nèi)的奇函數(shù), 若f(x)在(0, l)內(nèi)單調(diào)增加, 證明f(x)在(-l, 0)內(nèi)也單調(diào)增加. 證明 對于"x1, x2(-l, 0)且x1<x2, 有-x1, -x2(0, l)且-x1>-x2. 因為f(x)在(0, l)內(nèi)單調(diào)增加且為奇函數(shù), 所以 f(-x2)<f(-x1), -f(x2)<-f(x1), f(x2)>f(x1), 這就證明了對于"x1, x2(-l, 0), 有f(x1)< f(x2), 所以f(x)在(-l, 0)內(nèi)也單調(diào)增加. 11. 設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在對稱區(qū)間(-l, l)上的, 證明: (1)兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù), 兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù); (2)兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù), 兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù), 偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù). 證明 (1)設(shè)F(x)=f(x)+g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函數(shù), 則 F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x), 所以F(x)為偶函數(shù), 即兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù). 如果f(x)和g(x)都是奇函數(shù), 則 F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x), 所以F(x)為奇函數(shù), 即兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù). (2)設(shè)F(x)=f(x)g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函數(shù), 則 F(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=F(x), 所以F(x)為偶函數(shù), 即兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù). 如果f(x)和g(x)都是奇函數(shù), 則 F(-x)=f(-x)g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)g(x)=F(x), 所以F(x)為偶函數(shù), 即兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù). 如果f(x)是偶函數(shù), 而g(x)是奇函數(shù), 則 F(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)g(x)=-F(x), 所以F(x)為奇函數(shù), 即偶函數(shù)與奇函數(shù)的積是奇函數(shù). 12. 下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù), 哪些是奇函數(shù), 哪些既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？ (1)y=x2(1-x2); (2)y=3x2-x3; (3); (4)y=x(x-1)(x+1); (5)y=sin x-cos x+1; (6). 解 (1)因為f(-x)=(-x)2[1-(-x)2]=x2(1-x2)=f(x), 所以f(x)是偶函數(shù). (2)由f(-x)=3(-x)2-(-x)3=3x2+x3可見f(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù). (3)因為, 所以f(x)是偶函數(shù). (4)因為f(-x)=(-x)(-x-1)(-x+1)=-x(x+1)(x-1)=-f(x), 所以f(x)是奇函數(shù). (5)由f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sin x-cos x+1可見f(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù). (6)因為, 所以f(x)是偶函數(shù). 13. 下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù), 指出其周期: (1)y=cos(x-2); 解 是周期函數(shù), 周期為l=2p. (2)y=cos 4x; 解 是周期函數(shù), 周期為. (3)y=1+sin px; 解 是周期函數(shù), 周期為l=2. (4)y=xcos x; 解 不是周期函數(shù). (5)y=sin2x. 解 是周期函數(shù), 周期為l=p. 14. 求下列函數(shù)的反函數(shù): (1); 解 由得x=y3-1, 所以的反函數(shù)為y=x3-1. (2); 解 由得, 所以的反函數(shù)為. (3)(ad-bc0); 解 由得, 所以的反函數(shù)為. (4) y=2sin3x; 解 由y=2sin 3x得, 所以y=2sin3x的反函數(shù)為. (5) y=1+ln(x+2); 解 由y=1+ln(x+2)得x=ey-1-2, 所以y=1+ln(x+2)的反函數(shù)為y=ex-1-2. (6). 解 由得, 所以的反函數(shù)為. 15. 設(shè)函數(shù)f(x)在數(shù)集X上有定義, 試證: 函數(shù)f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界. 證明 先證必要性. 設(shè)函數(shù)f(x)在X上有界, 則存在正數(shù)M, 使|f(x)|M, 即-Mf(x)M. 這就證明了f(x)在X上有下界-M和上界M. 再證充分性. 設(shè)函數(shù)f(x)在X上有下界K1和上界K2, 即K1f(x) K2 . 取M=max{|K1|, |K2|}, 則 -M K1f(x) K2M , 即 |f(x)|M. 這就證明了f(x)在X上有界. 16. 在下列各題中, 求由所給函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù), 并求這函數(shù)分別對應(yīng)于給定自變量值x1和x2的函數(shù)值: (1) y=u2, u=sin x, , ; 解 y=sin2x, ,. (2) y=sin u, u=2x, ,; 解 y=sin2x, ,. (3), u=1+x2, x1=1, x2= 2; 解 , , . (4) y=eu, u=x2, x1 =0, x2=1; 解 , , . (5) y=u2 , u=ex , x1=1, x2=-1. 解 y=e2x, y1=e21=e2, y2=e2(-1)=e-2. 17. 設(shè)f(x)的定義域D=[0, 1], 求下列各函數(shù)的定義域: (1) f(x2); 解 由0x21得|x|1, 所以函數(shù)f(x2)的定義域為[-1, 1]. (2) f(sinx); 解 由0sin x1得2npx(2n+1)p (n=0, 1, 2 ), 所以函數(shù)f(sin x)的定義域為 [2np, (2n+1)p] (n=0, 1, 2 ) . (3) f(x+a)(a>0); 解 由0x+a1得-ax1-a, 所以函數(shù)f(x+a)的定義域為[-a, 1-a]. (4) f(x+a)+f(x-a)(a>0). 解 由0x+a1且0x-a1得: 當時, ax1-a; 當時, 無解. 因此當時函數(shù)的定義域為[a, 1-a], 當時函數(shù)無意義. 18. 設(shè), g(x)=ex , 求f[g(x)]和g[f(x)], 并作出這兩個函數(shù)的圖形. 解 , 即. , 即. 19. 已知水渠的橫斷面為等腰梯形, 斜角j=40(圖1-37). 當過水斷面ABCD的面積為定值S0時, 求濕周L(L=AB+BC+CD)與水深h之間的函數(shù)關(guān)系式, 并指明其定義域. 圖1-37 解 , 又從得, 所以 . 自變量h的取值范圍應(yīng)由不等式組 h>0, 確定, 定義域為. 20. 收斂音機每臺售價為90元, 成本為60元. 廠方為鼓勵銷售商大量采購, 決定凡是訂購量超過100臺以上的, 每多訂購1臺, 售價就降低1分, 但最低價為每臺75元. (1)將每臺的實際售價p表示為訂購量x的函數(shù); (2)將廠方所獲的利潤P表示成訂購量x的函數(shù); (3)某一商行訂購了1000臺, 廠方可獲利潤多少？ 解 (1)當0x100時, p=90. 令0.01(x0-100)=90-75, 得x0=1600. 因此當x1600時, p=75. 當100<x<1600時, p=90-(x-100)0.01=91-0. 01x. 綜合上述結(jié)果得到 . (2). (3) P=311000-0.0110002=21000(元). 習(xí)題1-2 1. 觀察一般項xn如下的數(shù)列{xn}的變化趨勢, 寫出它們的極限: (1); 解 當n時, 0, . (2); 解 當n時, 0, . (3); 解 當n時, 2, . (4); 解 當n時, 0, . (5) xn=n(-1)n. 解 當n時, xn=n(-1)n沒有極限. 2. 設(shè)數(shù)列{xn}的一般項. 問=? 求出N, 使當n>N時, xn與其極限之差的絕對值小于正數(shù)e , 當e =0.001時, 求出數(shù)N. 解 . . "e >0, 要使|x n-0|<e , 只要, 也就是. 取, 則"n>N, 有|xn-0|<e . 當e =0.001時, =1000. 3. 根據(jù)數(shù)列極限的定義證明: (1); 分析 要使, 只須, 即. 證明 因為"e>0, $, 當n>N時, 有, 所以. (2); 分析 要使, 只須, 即. 證明 因為"e>0, $, 當n>N時, 有, 所以. (3); 分析 要使, 只須. 證明 因為"e>0, $, 當"n>N時, 有, 所以. (4). 分析 要使|0.99 9-1|, 只須<e , 即. 證明 因為"e>0, $, 當"n>N時, 有|0.99 9-1|<e , 所以. 4. , 證明. 并舉例說明: 如果數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列{xn}未必有極限. 證明 因為, 所以"e>0, $NN, 當n>N時, 有, 從而 ||un|-|a|||un-a|<e . 這就證明了. 數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列{xn}未必有極限. 例如, 但不存在. 5. 設(shè)數(shù)列{xn}有界, 又, 證明: . 證明 因為數(shù)列{xn}有界, 所以存在M, 使"nZ, 有|xn|M. 又, 所以"e>0, $NN, 當n>N時, 有. 從而當n>N時, 有 , 所以. 6. 對于數(shù)列{xn}, 若x2k-1a(k), x2k a(k ), 證明: xna(n). 證明 因為x2k-1a(k), x2k a(k ), 所以"e>0, $K1, 當2k-1>2K1-1時, 有| x2k-1-a|<e ; $K2, 當2k>2K2時, 有|x2k-a|<e . 取N=max{2K1-1, 2K2}, 只要n>N, 就有|xn-a|<e . 因此xna (n). 習(xí)題1-3 1. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明: (1); 分析 因為 |(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|, 所以要使|(3x-1)-8|<e , 只須. 證明 因為"e>0, $, 當0<|x-3|<d時, 有 |(3x-1)-8|<e , 所以. (2); 分析 因為 |(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|, 所以要使|(5x+2)-12|<e , 只須. 證明 因為"e >0, $, 當0<|x-2|<d時, 有 |(5x+2)-12|<e , 所以. (3); 分析 因為 , 所以要使, 只須. 證明 因為"e >0, $, 當0<|x-(-2)|<d時, 有 , 所以. (4). 分析 因為 , 所以要使, 只須. 證明 因為"e >0, $, 當時, 有 , 所以. 2. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明: (1); 分析 因為 , 所以要使, 只須, 即. 證明 因為"e >0, $, 當|x|>X時, 有 , 所以. (2). 分析 因為 . 所以要使, 只須, 即. 證明 因為"e>0, $, 當x>X時, 有 , 所以. 3. 當x2時, y=x24. 問d等于多少, 使當|x-2|<d時, |y-4|<0.001？ 解 由于當x2時, |x-2|0, 故可設(shè)|x-2|<1, 即1<x<3. 要使 |x2-4|=|x+2||x-2|<5|x-2|<0.001, 只要. 取d=0.0002, 則當0<|x-2|<d時, 就有|x2-4|<0. 001. 4. 當x時, , 問X等于多少, 使當|x|>X時, |y-1|<0.01? 解 要使, 只要, 故. 5. 證明函數(shù)f(x)=|x|當x0時極限為零. 證明 因為 |f(x)-0|=||x|-0|=|x|=|x-0|, 所以要使|f(x)-0|<e, 只須|x|<e. 因為對"e>0, $d=e, 使當0<|x-0|<d, 時有 |f(x)-0|=||x|-0|<e, 所以. 6. 求 當x0時的左﹑右極限, 并說明它們在x0時的極限是否存在. 證明 因為 , , , 所以極限存在. 因為 , , , 所以極限不存在. 7. 證明: 若x+及x-時, 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A, 則. 證明 因為, , 所以"e>0, $X1>0, 使當x<-X1時, 有|f(x)-A|<e ; $X2>0, 使當x>X2時, 有|f(x)-A|<e . 取X=max{X1, X2}, 則當|x|>X時, 有|f(x)-A|<e , 即. 8. 根據(jù)極限的定義證明: 函數(shù)f(x)當xx0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等. 證明 先證明必要性. 設(shè)f(x)A(xx0), 則"e>0, $d>0, 使當0<|x-x0|<d 時, 有 |f(x)-A|<e . 因此當x0-d<x<x0和x0<x<x0+d 時都有 |f(x)-A|<e . 這說明f(x)當xx0時左右極限都存在并且都等于A . 再證明充分性. 設(shè)f(x0-0)=f(x0+0)=A, 則"e>0, $d1>0, 使當x0-d1<x<x0時, 有| f(x)-A<e ; $d2>0, 使當x0<x<x0+d2時, 有| f(x)-A|<e . 取d=min{d1, d2}, 則當0<|x-x0|<d 時, 有x0-d1<x<x0及x0<x<x0+d2 , 從而有 | f(x)-A|<e , 即f(x)A(xx0). 9. 試給出x時函數(shù)極限的局部有界性的定理, 并加以證明. 解 x時函數(shù)極限的局部有界性的定理: 如果f(x)當x時的極限存在, 則存在X>0及M>0, 使當|x|>X時, |f(x)|<M. 證明 設(shè)f(x)A(x), 則對于e =1, $X>0, 當|x|>X時, 有|f(x)-A|<e =1. 所以 |f(x)|=|f(x)-A+A||f(x)-A|+|A|<1+|A|. 這就是說存在X>0及M>0, 使當|x|>X時, |f(x)|<M, 其中M=1+|A|. 習(xí)題1-4 1. 兩個無窮小的商是否一定是無窮?。颗e例說明之. 解 不一定. 例如, 當x0時, a(x)=2x, b(x)=3x都是無窮小, 但, 不是無窮小. 2. 根據(jù)定義證明: (1)當x3時為無窮小; (2)當x0時為無窮小. 證明 (1)當x3時. 因為"e>0, $d=e , 當0<|x-3|<d時, 有 , 所以當x3時為無窮小. (2)當x0時. 因為"e>0, $d=e , 當0<|x-0|<d時, 有 , 所以當x0時為無窮小. 3. 根據(jù)定義證明: 函數(shù)為當x0時的無窮大. 問x應(yīng)滿足什么條件, 能使|y|>104？ 證明 分析, 要使|y|>M, 只須, 即. 證明 因為"M>0, $, 使當0<|x-0|<d時, 有, 所以當x0時, 函數(shù)是無窮大. 取M=104, 則. 當時, |y|>104. 4. 求下列極限并說明理由: (1); (2). 解 (1)因為, 而當x 時是無窮小, 所以. (2)因為(x1), 而當x0時x為無窮小, 所以. 5. 根據(jù)函數(shù)極限或無窮大定義, 填寫下表: f(x)A f(x) f(x)+ f(x)- xx0 "e>0, $d>0, 使 當0<|x-x0|<d時, 有恒|f(x)-A|<e. xx0+ xx0- x "e>0, $X>0, 使當|x|>X時, 有恒|f(x)|>M. x+ x- 解 f(x)A f(x) f(x)+ f(x)- xx0 "e>0, $d>0, 使當0<|x-x0|<d時, 有恒|f(x)-A|<e. "M>0, $d>0, 使當0<|x-x0|<d時, 有恒|f(x)|>M. "M>0, $d>0, 使當0<|x-x0|<d時, 有恒f(x)>M. "M>0, $d>0, 使當0<|x-x0|<d時, 有恒f(x)<-M. xx0+ "e>0, $d>0, 使當0<x-x0<d時, 有恒|f(x)-A|<e. "M>0, $d>0, 使當0<x-x0<d時, 有恒|f(x)|>M. "M>0, $d>0, 使當0<x-x0<d時, 有恒f(x)>M. "M>0, $d>0, 使當0<x-x0<d時, 有恒f(x)<-M. xx0- "e>0, $d>0, 使當0<x0-x<d時, 有恒|f(x)-A|<e. "M>0, $d>0, 使當0<x0-x<d時, 有恒|f(x)|>M. "M>0, $d>0, 使當0<x0-x<d時, 有恒f(x)>M. "M>0, $d>0, 使當0<x0-x<d時, 有恒f(x)<-M. x "e>0, $X>0, 使當|x|>X時, 有恒|f(x)-A|<e. "e>0, $X>0, 使當|x|>X時, 有恒|f(x)|>M. "e>0, $X>0, 使當|x|>X時, 有恒f(x)>M. "e>0, $X>0, 使當|x|>X時, 有恒f(x)<-M. x+ "e>0, $X>0, 使當x>X時, 有恒|f(x)-A|<e. "e>0, $X>0, 使當x>X時, 有恒|f(x)|>M. "e>0, $X>0, 使當x>X時, 有恒f(x)>M. "e>0, $X>0, 使當x>X時, 有恒f(x)<-M. x- "e>0, $X>0, 使當x<-X時, 有恒|f(x)-A|<e. "e>0, $X>0, 使當x<-X時, 有恒|f(x)|>M. "e>0, $X>0, 使當x<-X時, 有恒f(x)>M. "e>0, $X>0, 使當x<-X時, 有恒f(x)<-M. 6. 函數(shù)y=xcos x在(-, +)內(nèi)是否有界？這個函數(shù)是否為當x+ 時的無窮大？為什么？ 解 函數(shù)y=xcos x在(-, +)內(nèi)無界. 這是因為"M>0, 在(-, +)內(nèi)總能找到這樣的x, 使得|y(x)|>M. 例如 y(2kp)=2kp cos2kp=2kp (k=0, 1, 2, ), 當k充分大時, 就有| y(2kp)|>M. 當x+ 時, 函數(shù)y=xcos x不是無窮大. 這是因為"M>0, 找不到這樣一個時刻N, 使對一切大于N的x, 都有|y(x)|>M. 例如 (k=0, 1, 2, ), 對任何大的N, 當k充分大時, 總有, 但|y(x)|=0<M. 7. 證明: 函數(shù)在區(qū)間(0, 1]上無界, 但這函數(shù)不是當x0+時的無窮大. 證明 函數(shù)在區(qū)間(0, 1]上無界. 這是因為 "M>0, 在(0, 1]中總可以找到點xk, 使y(xk)>M. 例如當 (k=0, 1, 2, ) 時, 有 , 當k充分大時, y(xk)>M. 當x0+ 時, 函數(shù)不是無窮大. 這是因為 "M>0, 對所有的d>0, 總可以找到這樣的點xk, 使0<xk<d, 但y(xk)<M. 例如可取 (k=0, 1, 2, ), 當k充分大時, xk<d, 但y(xk)=2kpsin2kp=0<M. 習(xí)題1-5 1. 計算下列極限: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4); 解 . (5); 解 . (6); 解 . (7); 解 . (8); 解 (分子次數(shù)低于分母次數(shù), 極限為零). 或 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 . (13); 解 (分子與分母的次數(shù)相同, 極限為 最高次項系數(shù)之比). 或 . (14); 解 . 2. 計算下列極限: (1); 解 因為, 所以. (2); 解 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)). (3). 解 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)). 3. 計算下列極限: (1); 解 (當x0時, x2是無窮小, 而是有界變量). (2). 解 (當x時, 是無窮小, 而arctan x是有界變量). 4. 證明本節(jié)定理3中的(2). 習(xí)題1-5 1. 計算下列極限: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4); 解 . (5); 解 . (6); 解 . (7); 解 . (8); 解 (分子次數(shù)低于分母次數(shù), 極限為零). 或 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 . (13); 解 (分子與分母的次數(shù)相同, 極限為 最高次項系數(shù)之比). 或 . (14); 解 . 2. 計算下列極限: (1); 解 因為, 所以. (2); 解 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)). (3). 解 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)). 3. 計算下列極限: (1); 解 (當x0時, x2是無窮小, 而是有界變量). (2). 解 (當x時, 是無窮小, 而arctan x是有界變量). 4. 證明本節(jié)定理3中的(2). 習(xí)題 1-7 1. 當x0時, 2x-x2 與x2-x3相比, 哪一個是高階無窮??？ 解 因為, 所以當x0時, x2-x3是高階無窮小, 即x2-x3=o(2x-x2). 2. 當x1時, 無窮小1-x和(1)1-x3, (2)是否同階？是否等價？ 解 (1)因為, 所以當x1時, 1-x和1-x3是同階的無窮小, 但不是等價無窮小. (2)因為, 所以當x1時, 1-x和是同階的無窮小, 而且是等價無窮小. 3. 證明: 當x0時, 有: (1) arctan x~x; (2). 證明 (1)因為(提示: 令y=arctan x, 則當x0時, y0), 所以當x0時, arctanx~x. (2)因為, 所以當x0時, . 4. 利用等價無窮小的性質(zhì), 求下列極限: (1); (2)(n, m為正整數(shù)); (3); (4). 解 (1). (2). (3). (4)因為 (x0), (x0), (x0), 所以 . 5. 證明無窮小的等價關(guān)系具有下列性質(zhì): (1) a ~a (自反性); (2) 若a ~b, 則b~a(對稱性); (3)若a ~b, b~g, 則a~g(傳遞性). 證明 (1), 所以a ~a ; (2) 若a ~b, 則, 從而. 因此b~a ; (3) 若a ~b, b~g, . 因此a~g. 習(xí)題1-8 1. 研究下列函數(shù)的連續(xù)性, 并畫出函數(shù)的圖形: (1); 解 已知多項式函數(shù)是連續(xù)函數(shù), 所以函數(shù)f(x)在[0, 1)和(1, 2]內(nèi)是連續(xù)的. 在x=1處, 因為f(1)=1, 并且 , . 所以, 從而函數(shù)f(x)在x=1處是連續(xù)的. 綜上所述，函數(shù)f(x)在[0, 2]上是連續(xù)函數(shù). (2). 解 只需考察函數(shù)在x=-1和x=1處的連續(xù)性. 在x=-1處, 因為f(-1)=-1, 并且 , , 所以函數(shù)在x=-1處間斷, 但右連續(xù). 在x=1處, 因為f(1)=1, 并且 =f(1), =f(1), 所以函數(shù)在x=1處連續(xù). 綜合上述討論, 函數(shù)在(-, -1)和(-1, +)內(nèi)連續(xù), 在x=-1處間斷, 但右連續(xù). 2. 下列函數(shù)在指出的點處間斷, 說明這些間斷點屬于哪一類, 如果是可去間斷點, 則補充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù): (1), x=1, x=2; 解 . 因為函數(shù)在x=2和x=1處無定義, 所以x=2和x=1是函數(shù)的間斷點. 因為, 所以x=2是函數(shù)的第二類間斷點; 因為, 所以x=1是函數(shù)的第一類間斷點, 并且是可去間斷點. 在x=1處, 令y=-2, 則函數(shù)在x=1處成為連續(xù)的. (2), x=k, (k=0, 1, 2, ); 解 函數(shù)在點x=kp(kZ)和(kZ)處無定義, 因而這些點都是函數(shù)的間斷點. 因(k0), 故x=kp(k0)是第二類間斷點; 因為, (kZ), 所以x=0和(kZ) 是第一類間斷點且是可去間斷點. 令y|x=0=1, 則函數(shù)在x=0處成為連續(xù)的; 令時, y=0, 則函數(shù)在處成為連續(xù)的. (3), x=0; 解 因為函數(shù)在x=0處無定義, 所以x=0是函數(shù)的間斷點. 又因為不存在, 所以x=0是函數(shù)的第二類間斷點. (4), x =1. 解 因為,, 所以x=1是函數(shù)的第一類不可去間斷點. 3. 討論函數(shù)的連續(xù)性, 若有間斷點, 判別其類型. 解 . 在分段點x=-1處, 因為, , 所以x=-1為函數(shù)的第一類不可去間斷點. 在分段點x=1處, 因為, , 所以x=1為函數(shù)的第一類不可去間斷點. 4. 證明: 若函數(shù)f(x)在點x0連續(xù)且f(x0)0, 則存在x0的某一鄰域U(x0), 當xU(x0)時, f(x)0. 證明 不妨設(shè)f(x0)>0. 因為f(x)在x0連續(xù), 所以, 由極限的局部保號性定理, 存在x0的某一去心鄰域, 使當x時f(x)>0, 從而當xU(x0)時, f(x)>0. 這就是說, 則存在x0的某一鄰域U(x0), 當xU(x0)時, f(x)0. 5. 試分別舉出具有以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)的例子: (1)x=0, 1, 2, , , n, , 是f(x)的所有間斷點, 且它們都是無窮間斷點; 解 函數(shù)在點x=0, 1, 2, , , n, , 處是間斷的, 且這些點是函數(shù)的無窮間斷點. (2)f(x)在R上處處不連續(xù), 但|f(x)|在R上處處連續(xù); 解 函數(shù)在R上處處不連續(xù), 但|f(x)|=1在R上處處連續(xù). (3)f(x)在R上處處有定義, 但僅在一點連續(xù). 解 函數(shù)在R上處處有定義, 它只在x=0處連續(xù). 習(xí)題1-9 1. 求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間, 并求極限, 及. 解 , 函數(shù)在(-, +)內(nèi)除點x=2和x=-3外是連續(xù)的, 所以函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間為(-, -3)、(-3, 2)、(2, +). 在函數(shù)的連續(xù)點x=0處, . 在函數(shù)的間斷點x=2和x=-3處, , . 2. 設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在點x0連續(xù), 證明函數(shù) j(x)=max{f(x), g(x)}, y(x)=min{f(x), g(x)} 在點x0也連續(xù). 證明 已知, . 可以驗證 , . 因此 , . 因為 =j(x0), 所以j(x)在點x0也連續(xù). 同理可證明y(x)在點x0也連續(xù). 3. 求下列極限: (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7). 解 (1)因為函數(shù)是初等函數(shù), f(x)在點x=0有定義, 所以 . (2)因為函數(shù)f(x)=(sin 2x)3是初等函數(shù), f(x)在點有定義, 所以 . (3)因為函數(shù)f(x)=ln(2cos2x)是初等函數(shù), f(x)在點有定義, 所以 . (4) . (5) . (6) . (7) . 4. 求下列極限: (1); (2); (3); (4); (5); (6). 解 (1) . (2) . (3) . (4) . (5). 因為 , , 所以. (6) . 5. 設(shè)函數(shù), 應(yīng)當如何選擇數(shù)a, 使得f(x)成為在(-, +)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)？ 解 要使函數(shù)f(x)在(-, +)內(nèi)連續(xù), 只須f(x)在x=0處連續(xù), 即只須 . 因為, , 所以只須取a=1. 習(xí)題1-10 1. 證明方程x5-3x=1至少有一個根介于1和2之間. 證明 設(shè)f(x)=x5-3x-1, 則f(x)是閉區(qū)間[1, 2]上的連續(xù)函數(shù). 因為f(1)=-3, f(2)=25, f(1)f(2)<0, 所以由零點定理, 在(1, 2)內(nèi)至少有一點x (1<x<2), 使f(x)=0, 即x=x 是方程x5-3x=1的介于1和2之間的根. 因此方程x5-3x=1至少有一個根介于1和2之間. 2. 證明方程x=asinx+b, 其中a>0, b>0, 至少有一個正根, 并且它不超過a+b. 證明 設(shè)f(x)=asin x+b-x, 則f(x)是[0, a+b]上的連續(xù)函數(shù). f(0)=b, f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]0. 若f(a+b)=0, 則說明x=a+b就是方程x=asinx+b的一個不超過a+b的根; 若f(a+b)<0, 則f(0)f(a+b)<0, 由零點定理, 至少存在一點x(0, a+b), 使f(x)=0, 這說明x=x 也是方程x=asinx+b的一個不超過a+b的根. 總之, 方程x=asinx+b至少有一個正根, 并且它不超過a+b. 3. 設(shè)函數(shù)f(x)對于閉區(qū)間[a, b]上的任意兩點x、y, 恒有|f(x)-f(y)|L|x-y|, 其中L為正常數(shù), 且f(a)f(b)<0. 證明: 至少有一點x(a, b), 使得f(x)=0. 證明 設(shè)x0為(a, b)內(nèi)任意一點. 因為 , 所以 , 即 . 因此f(x)在(a, b)內(nèi)連續(xù). 同理可證f(x)在點a處左連續(xù), 在點b處右連續(xù), 所以f(x)在[a, b]上連續(xù). 因為f(x)在[a, b]上連續(xù), 且f(a)f(b)<0, 由零點定理, 至少有一點x(a, b), 使得f(x)=0. 4. 若f(x)在[a, b]上連續(xù), a<x1<x2< <xn<b, 則在[x1, xn]上至少有一點x , 使 . 證明 顯然f(x)在[x1, xn]上也連續(xù). 設(shè)M和m分別是f(x)在[x1, xn]上的最大值和最小值. 因為xi[x1, xn](1 in), 所以有mf(xi)M, 從而有 , . 由介值定理推論, 在[x1, xn]上至少有一點x , 使 . 5. 證明: 若f(x)在(-, +)內(nèi)連續(xù), 且存在, 則f(x)必在(-, +)內(nèi)有界. 證明 令, 則對于給定的e>0, 存在X>0, 只要|x|>X, 就有 |f(x)-A|<e , 即A-e<f(x)<A+e . 又由于f(x)在閉區(qū)間[-X, X]上連續(xù), 根據(jù)有界性定理, 存在M>0, 使|f(x)|M, x[-X, X]. 取N=max{M, |A-e|, |A+e|}, 則|f(x)|N, x(-, +), 即f(x)在(-, +)內(nèi)有界. 6. 在什么條件下, (a, b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)為一致連續(xù)？ 總習(xí)題一 1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個正確的填入下列空格內(nèi): (1)數(shù)列{xn}有界是數(shù)列{xn}收斂的________條件. 數(shù)列{xn}收斂是數(shù)列{xn}有界的________的條件. (2)f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界是存在的________條件. 存在是f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界的________條件. (3) f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)無界是的________條件. 是f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)無界的________條件. (4)f(x)當xx0時的右極限f(x0+)及左極限f(x0-)都存在且相等是存在的________條件. 解 (1) 必要, 充分. (2) 必要, 充分. (3) 必要, 充分. (4) 充分必要. 2. 選擇以下題中給出的四個結(jié)論中一個正確的結(jié)論: 設(shè)f(x)=2x+3x-2, 則當x0時, 有( ). (A)f(x)與x是等價無窮小; (B)f(x)與x同階但非等價無窮小; (C)f(x)是比x高階的無窮小; (D)f(x)是比x低階的無窮小. 解 因為 (令2x-1=t, 3x-1=u) . 所以f(x)與x同階但非等價無窮小, 故應(yīng)選B. 3. 設(shè)f(x)的定義域是[0, 1], 求下列函數(shù)的定義域: (1) f(ex); (2) f(ln x); (3) f(arctan x); (4) f(cos x). 解 (1)由0ex1得x0, 即函數(shù)f(ex)的定義域為(-, 0]. (2) 由0 ln x1得1xe , 即函數(shù)f(ln x)的定義域為[1, e]. (3) 由0 arctan x 1得0xtan 1, 即函數(shù)f(arctan x)的定義域為[0, tan 1]. (4) 由0 cos x1得(n=0, 1, 2, ), 即函數(shù)f(cos x)的定義域為[], (n=0, 1, 2, ). 4. 設(shè) , , 求f[f(x)], g[g(x)], f[g(x)], g[f(x)]. 解 因為f(x)0, 所以f[f(x)]=f(x); 因為g(x)0, 所以g[g(x)]=0; 因為g(x)0, 所以f[g(x)]=0; 因為f(x)0, 所以g[f(x)]=-f 2(x). 5. 利用y=sin x的圖形作出下列函數(shù)的圖形: (1)y=|sin x|; (2)y=sin|x|; (3). 6. 把半徑為R的一圓形鐵片, 自中心處剪去中心角為a的一扇形后圍成一無底圓錐. 試將這圓錐的體積表為a的函數(shù). 解 設(shè)圍成的圓錐的底半徑為r, 高為h, 依題意有 R(2p-a)=2pr , , . 圓錐的體積為 (0<a<2p). 7. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明. 證明 對于任意給定的e>0, 要使, 只需|x-3|<e, 取d=e, 當0<|x-3|<d時, 就有|x-3|<e, 即,