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工程力學,8梁的彎曲應力與強度計算,8梁的彎曲應力與強度計算,8.1梁彎曲時橫截面上的正應力,8.2彎曲正應力的強度條件,8.3梁的剪應力及其強度條件,8.4提高彎曲強度的措施,例如：AC和DB段。,橫截面上有彎矩又有剪力。,稱為橫力彎曲(剪切彎曲)。,例如：CD段。,橫截面上有彎矩沒有剪力。,稱為純彎曲。,8.1梁彎曲時橫截面上的正應力,8.1.1純彎曲時橫截面上的正應力,平面假設(shè)：梁的橫截面在彎曲變形后仍然保持平面，且與變形后的軸線垂直，只是繞截面的某一軸線轉(zhuǎn)過了一個角度。,單向受力假設(shè)：各縱向纖維之間相互不擠壓。,橫向線(mm、nn):仍保持為直線，發(fā)生了相對轉(zhuǎn)動，仍與弧線垂直。,實驗觀察變形,縱向線(aa、bb)：變?yōu)榛【€，凹側(cè)縮短，凸側(cè)伸長。,8.1梁彎曲時橫截面上的正應力,中性軸：中性層與梁的橫截面的交線，垂直于梁的縱向?qū)ΨQ面。（橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動）,中性軸垂直于縱向?qū)ΨQ面。,設(shè)想梁由平行于軸線的眾多縱向纖維組成，由底部纖維的伸長連續(xù)地逐漸變?yōu)轫敳坷w維的縮短，中間必定有一層纖維的長度不變。,中性層：中間既不伸長也不縮短的一層纖維。,8.1梁彎曲時橫截面上的正應力,變形幾何關(guān)系：,式(a)表明線應變ε與它到中性層的距離y成正比。,(a),設(shè)橫截面的對稱軸為y軸，向下為正，中性軸為z軸（位置未定）。,,8.1梁彎曲時橫截面上的正應力,物理關(guān)系：,式(b)表明橫截面上任意一點的正應力σ與該點到中性軸的距離y成正比。,(a),因為縱向纖維之間無正應力，每一纖維都是單向拉伸或壓縮。當應力小于比例極限時，由胡克定律知,(b),在中性軸上：y＝0，σ＝0。,將(a)代入上式，得,8.1梁彎曲時橫截面上的正應力,＝常量，,z軸（中性軸）通過截面形心。,梁的軸線在中性層內(nèi)，其長度不變。,靜力學關(guān)系,(c),(d),(e),將式代入式(c)，得,8.1梁彎曲時橫截面上的正應力,EIz稱為梁的彎曲剛度。,式中1/ρ為梁彎曲后軸線的曲率。,將式(b)代入式(d)，得,(b),(d),(e),y軸為對稱軸，必然有Iyz=0。,(自然滿足),將式(b)代入式(e)，得,8.1梁彎曲時橫截面上的正應力,由上面兩式，得純彎曲時正應力的計算公式：,(b),將彎矩M和坐標y按規(guī)定的正負代入，所得到的正應力若為正，即為拉應力，若為負則為壓應力。,一點的應力是拉應力或壓應力，也可由彎曲變形直接判定。以中性層為界，梁在凸出的一側(cè)受拉，凹入的一側(cè)受壓。,只要梁有一縱向?qū)ΨQ面，且載荷作用于這個平面內(nèi)，上面的公式就可適用。,8.1梁彎曲時橫截面上的正應力,8.1.2橫力彎曲時橫截面上的正應力,在工程實際中，一般都是橫力彎曲，此時，梁的橫截面上不但有正應力還有剪應力。因此，梁在純彎曲時所作的平面假設(shè)和各縱向纖維之間無擠壓的假設(shè)都不成立。,雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，但是應用純彎曲時正應力計算公式來計算橫力彎曲時的正應力，所得結(jié)果誤差不大，足以滿足工程中的精度要求。且梁的跨高比l/h越大，其誤差越小。,8.1梁彎曲時橫截面上的正應力,Wz稱為彎曲截面模量。它與截面的幾何形狀有關(guān)，單位為m3。,橫力彎曲時，彎矩隨截面位置變化。一般情況下，最大正應力發(fā)生在彎矩最大的截面上，且離中性軸最遠處。即,引用記號,則,8.2彎曲正應力的強度條件,對于寬為b，高為h的矩形截面,,對于直徑為D的圓形截面,對于內(nèi)外徑分別為d、D的空心圓截面,8.2彎曲正應力的強度條件,,當中性軸為對稱軸時，表示最大應力點到中性軸的距離，橫截面上的最大正應力為,,,稱為抗彎截面模量,,橫截面上正應力的畫法：,對于中性軸不是對稱軸的橫截面？,求得相應的最大正應力,,,z,,M,,,,,例：長為l的矩形截面懸臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F(xiàn)＝1.6kN，試求B截面上a、b、c各點的正應力。,b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F(xiàn)＝1.6kN,（壓）,例：試計算圖示簡支矩形截面木梁平放與豎放時的最大正應力，并加以比較。,豎放,橫放,例：已知l=1m，q=6kN/m，10號槽鋼。求最大拉應力和壓應力。,解：（1）作彎矩圖,,（2）由型鋼表查得，10號槽鋼,（3）求最大應力,,8.1梁彎曲時橫截面上的正應力,如果梁的最大工作應力，不超過材料的許用彎曲應力，梁就是安全的。因此，梁彎曲時的正應力強度條件為,對于抗拉和抗壓強度相等的材料(如炭鋼)，只要絕對值最大的正應力不超過許用彎曲應力即可。,對于抗拉和抗壓不等的材料(如鑄鐵)，則最大的拉應力和最大的壓應力分別不超過各自的許用彎曲應力。,8.2彎曲正應力的強度條件,例：圖a所示簡支梁由56a號工字鋼制成，其截面簡化后的尺寸見圖b。已知F=150kN，如果[?]=165MPa，校核梁的強度。,解：做彎矩彎矩圖。,,,375KN.M,截面C為危險截面,由型鋼規(guī)格表查得56a號工字鋼截面,于是有,,滿足強度要求,例：T字形截面鑄鐵梁如圖。鑄鐵許用拉應力=30MPa,許用壓應力=160MPa。已知中性軸位置y1=52mm，截面對形心軸z的慣性矩為Iz=763cm4。試校核梁的強度。,解：,1.計算支反力,2.繪彎矩圖,8.2彎曲正應力的強度條件,3.強度校核,B截面：,C截面：,故該梁滿足強度條件。,8.2彎曲正應力的強度條件,例：20a工字鋼梁。若，試求許可荷載F。,解：（1）計算支反力,,（2）作彎矩圖,,（3）確定許可荷載,,,8.2彎曲正應力的強度條件,例：一矩形截面木梁，已知F=10kN，a=1.2m。木材的許用應力=10MPa。設(shè)梁橫截面的高寬比為h/b=2，試選梁的截面尺寸。,解：1.計算支反力,2.作彎矩圖,3.選擇截面尺寸,A,B截面最危險，該截面,8.2彎曲正應力的強度條件,強度條件,所以,最后選用125250mm2的截面。,8.2彎曲正應力的強度條件,8.3.1梁的彎曲剪應力,1.矩形截面梁的彎曲剪應力,關(guān)于橫截面上剪應力的分布規(guī)律，作以下兩個假設(shè)：,(1)橫截面上各點的剪應力的方向都平行于剪力FS；,(2)剪應力沿截面寬度均勻分布。,在截面高度h大于寬度b的情況下，以上述假設(shè)為基礎(chǔ)得到的解，與精確解相比有足夠的準確度。,8.3梁的剪應力及其強度條件,剪應力計算公式為,,,,矩形截面梁的彎曲剪應力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。,y=0，即中性軸上各點處：,即橫截面上、下邊緣各點處：,8.3梁的剪應力及其強度條件,2.工字形截面梁的彎曲剪應力,腹板上的剪應力,8.3梁的剪應力及其強度條件,和,計算結(jié)果表明：,腹板內(nèi)的剪應力近似計算公式,8.3梁的剪應力及其強度條件,3.圓形截面梁的彎曲剪應力,(2)ab弦上各點剪應力的垂直分量τy為常量。,橫截面上彎曲剪應力分布的假設(shè),b為ab弦的長度；,Sz*為ab弦以上的面積對中性軸z的靜矩。,(1)ab弦上各點的剪應力都匯交于D點；,8.3梁的剪應力及其強度條件,在y=0處，即中性軸上各點處：,8.3梁的剪應力及其強度條件,4.薄壁圓環(huán)形截面梁的彎曲剪應力,因為薄壁圓環(huán)的壁厚t遠小于平均半徑R，故可以認為剪應力τ沿壁厚均勻分布，方向與圓周相切。,最大剪應力仍發(fā)生在中性軸上，其值為,8.3梁的剪應力及其強度條件,一般情況，在剪力為最大值的截面的中性軸上，出現(xiàn)最大剪應力,彎曲剪應力的強度條件,細長梁的控制因素通常是彎曲正應力。,滿足彎曲正應力強度條件的梁，一般都能滿足剪應力的強度條件。,8.3.2梁的剪應力強度條件,8.3梁的剪應力及其強度條件,必須進行剪應力的強度校核的情況：,(1)梁的跨度較短，或在支座附近作用較大的載荷；以致梁的彎矩較小，而剪力很大。,(2)焊接或鉚接的工字梁，如果腹板較薄而截面高度很大，以致厚度與高度的比值小于型鋼的相應比值，這時，對腹板應進行剪應力強度校核。,(3)經(jīng)焊接、鉚接或膠合而成的組合梁，一般需對焊縫、鉚釘或膠合面進行剪應力強度校核。,8.3梁的剪應力及其強度條件,例：梁由3根木條膠合而成。，，,試求許可荷載F。,（1）計算支反力,解：,（2）作剪力圖和彎矩圖,（3）確定許可荷載F,,,8.3梁的剪應力及其強度條件,由彎曲正應力強度條件,,,由彎曲剪應力強度條件,由膠合面上剪應力強度條件,,8.3梁的剪應力及其強度條件,綜上所述，膠合梁的許可荷載為,8.3梁的剪應力及其強度條件,按強度條件設(shè)計梁時，主要是根據(jù)梁的彎曲正應力強度條件,,由上式可見，要提高梁的彎曲強度，即降低最大正應力，可以從兩個方面來考慮，一是合理安排梁的受力情況，以降低最大彎矩Mmax的數(shù)值；二是采用合理的截面形狀，以提高彎曲截面系數(shù)W的數(shù)值。,8.4提高彎曲強度的措施,8.4.1合理安排梁的受力情況,合理安排作用在梁上的荷載，可以降低梁的最大彎矩。,8.4提高彎曲強度的措施,合理布置梁的支座，同樣也可以降低梁的最大彎矩。,僅為原簡支梁最大彎矩值的20%。,8.4提高彎曲強度的措施,在工程實際中，圖示的門式起重機的大梁，圖示的圓柱形容器，其支撐點都略向中間移動，就考慮了降低由荷載和自重所產(chǎn)生的最大彎矩。,8.4提高彎曲強度的措施,8.4.2采用合理的截面形狀,當彎矩值一定時，橫截面上的最大正應力與彎曲截面系數(shù)成反比，即彎曲截面系數(shù)W，越大越好。另一方面，橫截面面積越小，梁使用的材料越少，自重越輕，即橫截面面積A，越小越好。,因此，合理的橫截面形狀應該是截面面積A較小，而彎曲截面系數(shù)W較大。我們可以用比值來衡量截面形狀的合理性。所以，在截面面積一定時，環(huán)形截面比圓形截面合理，矩形截面比圓形截面合理，矩形截面豎放比平放合理，工字形截面比矩形截面合理。,8.4提高彎曲強度的措施,對抗拉和抗壓強度相等的材料制成的梁，宜采用中性軸為其對稱軸的截面，例如，工字形、矩形、圓形和環(huán)形截面等。,另外，截面是否合理，還應考慮材料的特性。,8.4提高彎曲強度的措施,對抗拉和抗壓強度不相等的材料制成的梁，宜采用中性軸偏于受拉一側(cè)的截面。,對這類截面，應使最大拉應力和最大壓應力同時接近材料的許用拉應力和許用壓應力。,8.4提高彎曲強度的措施,8.4.3合理設(shè)計梁的外形,在一般情況下，梁的彎矩沿軸線是變化的。因此，在按最大彎矩所設(shè)計的等截面梁中，除最大彎矩所在的截面外，其余截面的材料強度均未能得到充分利用。,為了減輕梁的自重和節(jié)省材料，常常根據(jù)彎矩的變化情況，將梁設(shè)計成變截面的。在彎矩較大處，采用較大的截面；在彎矩較小處，采用較小的截面。,這種截面沿軸線變化的梁，稱為變截面梁。例如：階梯軸、魚腹梁等。,8.4提高彎曲強度的措施,從彎曲強度考慮，理想的變截面梁應該使所有截面上的最大彎曲正應力均相同，且等于許用應力，即,這種梁稱為等強度梁。,8.4提高彎曲強度的措施,