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高二數(shù)學(xué)課件:《余弦定理》(北師大版必修5).ppt

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高二數(shù)學(xué)課件:《余弦定理》(北師大版必修5).ppt

1.2余弦定理,一、余弦定理1.三角形任何一邊的平方等于①________,即a2=②________,b2=③________,c2=④________.2.余弦定理的推論:cosA=⑤________,cosB=⑥________,cosC=⑦________.,3.余弦定理與勾股定理(1)勾股定理是余弦定理的特殊情況,在余弦定理表達式中令A(yù)=90,則a2=b2+c2;令B=90,則b2=a2+c2;令C=90,則c2=a2+b2.(2)在△ABC中,若a2b2+c2,則A為⑩________角,反之亦成立.,二、余弦定理的應(yīng)用利用余弦定理可以解決兩類斜三角形問題:1.已知三邊,求?________.2.已知兩邊和它們的夾角,求?________和?________.,友情提示:理解應(yīng)用余弦定理應(yīng)注意以下四點:(1)余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的客觀規(guī)律,是解三角形的重要工具;(2)余弦定理是?________的推廣,勾股定理是?________的特例;(3)在余弦定理中,每一個等式均含有四個量,利用方程的觀點,可以?________;(4)運用余弦定理時,因為已知三邊求?________,或已知兩邊及夾角求?________,由三角形全等的判定定理知,三角形是確定的,所以解也是唯一的.,在解三角形時,選擇正弦定理和余弦定理的標(biāo)準(zhǔn)是什么?在沒有學(xué)習(xí)余弦定理之前,還會解三角形,但是學(xué)習(xí)了余弦定理后,就不會解三角形了,不知是用正弦定理還是用余弦定理.這時要依據(jù)正弦定理和余弦定理的適用范圍來選擇,還要依靠經(jīng)驗的積累.根據(jù)解題經(jīng)驗,已知兩邊和一邊的對角或已知兩角及一邊時,通常選擇正弦定理來解三角形;已知兩邊及夾角或已知三邊時,通常選擇余弦定理來解三角形.,特別是求角時,盡量用余弦定理來求,其原因是三角形中角的范圍是(0,π),在此范圍內(nèi)同一個正弦值一般對應(yīng)兩個角,一個銳角和一個鈍角,用正弦定理求出角的正弦值后,還需要分類討論這兩個角是否都滿足題意.但是在(0,π)內(nèi)一個余弦值僅對應(yīng)一個角,用余弦定理求出的是角的余弦值,可以避免分類討論.,:,先用余弦定理求出第三邊長,進而用余弦定理或正弦定理求出其他兩個角.[例2]在△ABC中,已知a=2,b=,C=15,求角A、B和邊c的值.,[變式訓(xùn)練2]如圖,已知AD為△ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線,AB=3,AC=5,∠BAC=120,求AD的長.分析:由余弦定理可解三角形ABC,求出BC長度;由三角形內(nèi)角平分線定理可求出BD長,再解△ABD即可求出AD長.,解析:在△ABC中,由余弦定理:BC2=AB2+AC2-2ABACcos∠BAC=32+52-235cos120=49,∴BC=7,設(shè)BD=x,則DC=7-x,由內(nèi)角平分線定理:在△ABD中,設(shè)AD=y(tǒng),由余弦定理:BD2=AB2+AD2-2ABADcos∠BAD.,[例3]在△ABC中,acosA=bcosB,試確定此三角形的形狀.,當(dāng)a=b時,△ABC為等腰三角形;當(dāng)c2=a2+b2時,△ABC為直角三角形.∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.解法2:由acosA=bcosB以及正弦定理得2RsinAcosA=2RsinBcosB,即sin2A=sin2B.又∵A、B∈(0,π),∴2A、2B∈(0,2π),故有2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=.∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.,[變式訓(xùn)練3](2010遼寧卷)在△ABC中,a,b,c分別是A,B,C的對邊,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(1)求A的大?。?2)若sinB+sinC=1,試判斷△ABC的形狀.,[例4](數(shù)學(xué)與日常生活)如圖,某市三個新興工業(yè)小區(qū)A、B、C決定平均投資共同建一個中心醫(yī)院O,使得醫(yī)院到三個小區(qū)的距離相等,已知這三個小區(qū)之間的距離分別為AB=4.3km,BC=3.7km,AC=4.7km,問該醫(yī)院應(yīng)建在何處?(精確到0.1km或1),分析:實際問題的解決,應(yīng)首先根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為三角形模型,從而運用正、余弦定理解決,要注意題中給出的已知條件.本題實際上是在△ABC中,求△ABC的外接圓的半徑OB及OB與邊BC的夾角.,分析:(1)由平面向量共線定理可得出關(guān)于各角的一個關(guān)系式,化簡之后便可求出∠A;(2)分別利用三角形面積公式及余弦定理列出關(guān)于b,c的方程,求出b,c的值,進而求出∠B.,

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