相關(guān)性、平均值、標準差、相關(guān)系數(shù)、回歸線及最小二乘法概念
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相關(guān)性、平均值、標準差、相關(guān)系數(shù)、回歸線及最小二乘法概念
.平均值、標準差、相關(guān)系數(shù)、回歸線及最小二乘法相關(guān)性線性相關(guān)數(shù)據(jù)在一條直線附近波動,則變量間是線性相關(guān)非線性相關(guān)數(shù)據(jù)在一條曲線附近波動,則變量間是非線性相關(guān)不相關(guān)數(shù)據(jù)在圖中沒有顯示任何關(guān)系,則不相關(guān)平均值N個數(shù)據(jù) 的平均值計算公式:標準差標準差表示了所有數(shù)據(jù)與平均值的平均距離,表示了數(shù)據(jù)的散度,如果標準差小,表示數(shù)據(jù)集中在平均值附近,如果標準差大則表示數(shù)據(jù)離標準差比較遠,比較分散。標準差計算公式:x、y兩個變量組成了笛卡爾坐標系中的一個坐標(x,y),這個坐標標識了一個點的位置。各包含n個常量的X,Y兩組數(shù)據(jù)在笛卡爾坐標系中以n個點來進行表示。相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)用字母r來表示,表示兩組數(shù)據(jù)線性相關(guān)的程度(同時增大或減小的程度),從另一方面度量了點相對于標準差的散布情況,它沒有單位。包含n個數(shù)值的X、Y兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)r的計算方法:簡單的說,就是r=(以標準單位表示的 x )X(以標準單位表示的 y )的平均數(shù)根據(jù)上面點的定義,將X、Y兩組數(shù)據(jù)的關(guān)系以點的形式在笛卡爾坐標系中畫出,SD線表示了經(jīng)過中心點(以數(shù)據(jù)組X、Y平均值為坐標的點),當r>0時,斜率=X的標準差/Y的標準差;當r<0時,斜率=-X的標準差/Y的標準差;的直線。通常用SD線來直觀的表示數(shù)據(jù)的走向:1、當r<0時,SD線的斜率小于0時,則說明數(shù)據(jù)負相關(guān),即當x增大時y減少。2、當r>0時,SD線的斜率大于0時,則說明數(shù)據(jù)正相關(guān),此時當x增大時y增大。3、相關(guān)系數(shù)r的范圍在-1,1之間,當r=0時表示數(shù)據(jù)相關(guān)系數(shù)為0(不相關(guān))。當r=正負1時,表示數(shù)據(jù)負相關(guān),此(x,y)點數(shù)據(jù)都在SD線上。4、r的值越接近正負1說明(x,y)越靠攏SD線,說明數(shù)據(jù)相關(guān)性越強,r的值越接近0說明(x,y)點到SD線的散度越大(越分散),數(shù)據(jù)相關(guān)性越小?;貧w方法主要描述一個變量如何依賴于另一個變量。y對應(yīng)于x的回歸線描述了在不同的x值下y的平均值情況,它是這些平均值的光滑形式,如果這些平均值剛好在一條直線上,則這些平均值剛好和回歸線重合。通過回歸線,我們可以通過x值來預(yù)測y值(已知x值下y值的平均值)。下面是y對應(yīng)于x的回歸線方程:簡單的說,就是當x每增加1個SD,平均而言,相應(yīng)的y增加r個SD。從方程可以看出:1、回歸線是一條經(jīng)過點 ,斜率為 的直線。2、回歸線的斜率比SD線小,當r=1或-1時,回歸線和SD線重合。當用回歸線從x預(yù)測y時,實際值與預(yù)測值之間的差異叫預(yù)測誤差。而均方根誤差就是預(yù)測誤差的均方根。它度量回歸預(yù)測的精確程度。y關(guān)于x的回歸線的均方根誤差用下面的公式進行計算:由公式可以看出,當r越接近1或-1時,點越聚集在回歸線附近,均方根誤差越??;反之r越接近0時,點越分散,均方根誤差越大。最小二乘法尋找一條直線來擬合所有的點,使得這條直線到所有的點之間的均方根誤差最小。可以看到,當求兩個變量之間的關(guān)系時,最小二乘法求出的直線實際上就是回歸線。只不過表述的側(cè)重點不同:1、最小二乘法強調(diào)求出所有點的最佳擬合直線。2、回歸線則是在SD線的基礎(chǔ)上求出的線,表示了樣本中已知變量x的情況下變量y的平均值。由以上可知,一個散點圖可以用五個統(tǒng)計量來描述:1、所有點x值的平均數(shù),描述了所有點在x軸上的中心點。2、所有點x值的SD,描述了所有點距離x中心點的散度。3、所有點y值的平均數(shù),描述了所有點在y軸上的中心點。4、所有點y值的SD,描述了所有點距離y中心點的散度。5、相關(guān)系數(shù)r,基于標準單位,描述了所有點x值和y值之間的關(guān)系。相關(guān)系數(shù)r將平均值、標準差、回歸線這幾個概念聯(lián)系起來:1、r描述了相對于標準差,點沿SD線的群集程度。2、r說明了y的平均數(shù)如何的依賴于x - x每增加1個x標準差,平均來說,y將只增加r個y標準差。3、r通過均方根誤差公式,確定了回歸預(yù)測的精確度。注意:以上相關(guān)系數(shù)、回歸線、最小二乘法的計算要在以下兩個條件下才能成立:1、x、y兩組樣本數(shù)據(jù)是線性的,如果不是線性的先要做轉(zhuǎn)換。2、被研究的兩組樣本數(shù)據(jù)之間的關(guān)系必須有意義。R平方值=回歸平方和/總平方和其中:回歸平方和=總平方和-殘差平方和總平方和=y的實際值的平方和假設(shè),實際測的值是yi,擬合曲線計算出的值分別是Yi殘差平方和: 總平方和:相關(guān)系數(shù)的平方為判定系數(shù) 分布區(qū)間(0, 1),越小說明擬合得越差,越大說明擬合得越好,取對數(shù):.