4-1力線平移定理,B,o,A,F,力的可傳性,第四章平面一般力系,(F1,F2)-平衡力,F1=F2=F,m=Fd=mo(F),(F2,F)-力偶,作用于剛體上的力,可以平移到同一剛體的任一指定點,但必須同時附加一力偶,其力偶矩等于原來的力對此指定點的矩。,力的平移定理：,一個力平移的結(jié)果可得到同平面的一個力和一個力偶。反之同平面的一個力F和一個力偶矩為m的力偶也一定能合成為一個大小和方向與力F相同的力，其作用點到力作用線的距離為,力的平移定理的逆定理,旋球,平面一般力系向一點簡化的實質(zhì)是利用力的平移定理將一個平面一般力系變換為平面匯交力系和平面力偶系。,一、主矢和主矩,設(shè)在剛體上作用一平面一般力系F1,F2,Fn各力作用點分別為A1,A2,An如圖所示。在平面上任選一點o為簡化中心。,4-2平面一般力系向一點的簡化,原力系轉(zhuǎn)化為作用于O點的一個平面匯交力系F1,F2,Fn以及相應(yīng)的一個力偶矩分別為m1,m2,mn的附加平面力偶系。,F1=F1,F2=F2,Fn=Fn,m1=mo(F1),m2=mo(F2),mn=mo(Fn),根據(jù)力的平移定理,將各力平移到簡化中心O。,其中：,一般情況下平面匯交力系F1,F2,Fn可合成為作用于O點的一個力,其力矢量R稱為原力系的主矢。,FR=Fi=Fi,一般情況下附加平面力偶系可合成一個力偶,其力偶矩Mo稱為原力系對于簡化中心O的主矩。,Mo=mi=mo(Fi),平面一般力系向作用面內(nèi)已知點簡化,一般可以得到一個力和一個力偶.這個力作用在簡化中心,其矢量稱為原力系的主矢,它等于這個力系中各力的矢量和;這個力偶的力偶矩稱為原力系對于簡化中心的主矩,它等于這個力系中各力對簡化中心的矩代數(shù)和。,力系的主矢FR只是原力系中各力的矢量和,所以它的大小和方向與簡化中心的位置無關(guān)。,力系對于簡化中心的主矩Mo,一般與簡化中心的位置有關(guān)。,結(jié)論,主矢的計算:,Mo=mo(Fi),F/Rx=F/xi=Fxi,F/Ry=F/yi=Fyi,主矩的計算:,二：簡化結(jié)果的討論,(a)FR0,Mo=0：,FR=Fi,原力系簡化為一個作用于簡化中心O的合力FR,原力系簡化為一個力偶.此力偶即為原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo。,Mo=mo(Fi),(b)FR=0,Mo0：,力系可以簡化為一個合力FR,其大小和方向均與FR/相同，但是作用在另一點O1。即：FR=FR,(c)FR0,Mo0：,根據(jù)力的平移定理的逆定理：,其作用線位置與簡化中心點O的距離為:,合力矩定理：,當(dāng)平面一般力系簡化為一個合力時,合力對力系所在平面內(nèi)任一點的矩,等于力系中各力對同一點的矩的代數(shù)和。,mo(FR)=FRd=MO,而MO=mo(Fi),mo(FR)=mo(Fi),d,合力對o點的矩：,(x,0),mo(FR)=mo(FRx)+mo(FRy)=FRyx=MO,x,(d)FR=0,Mo=0原力系為平衡力系，其簡化結(jié)果與簡化中心的位置無關(guān)。,三、固定端約束:,既能限制物體移動又能限制物體轉(zhuǎn)動的約束,A,FAy,FAx,mA,1、當(dāng)被固定端約束的物體所受的主動力是平面一般力系時，物體所受的約束反力也一定形成一個與主動力有關(guān)的平面一般力系。,mA,例題1圖示力系有合力。試求合力的大小,方向及作用線到A點的距離。,解1取A點為簡化中心，建立圖示坐標(biāo)系：,主矢：FR/=Fi,主矩：MA=mA(Fi),平面一般力系的簡化示例,2、求力系的主矢,F/Rx=FiX=20cos60o+18cos30o=25.59kN,F/Ry=Fiy=25+20sin60o-18sin30o=33.3kN,3、求力系的主矩,MA=mA(Fi)=125+220sin60o-318sin30o=32.64kN.m,MA,因為主矢、主矩均不為0，所以簡化的最終結(jié)果為一個合力，此合力的大小和方向與主矢相同。,4、求合力的作用線位置,FR,X,所以簡化的最終結(jié)果為一個合力FR。,MA,=AC,q,qx,(1)定義,集中力;分布荷載;平行分布線荷載(線荷載),線荷載集度q,N/m;kN/m,均布線荷載,非均布線荷載,荷載圖,4-3分布荷載,(2)均布線荷載,R,C,l/2,l,C,l/2,l,R,合力大小:,R=qxi=qxi=ql,合力作用線通過中心線AB的中點C,xi,qxi,(3)按照線性規(guī)律變化的線荷載,dx,C,x,2l/3,l,R,qdx,合力大小:,合力作用點C的位置,4-4平面一般力系的平衡條件與平衡方程,一、平面一般力系的平衡條件,平面一般力系平衡的必要和充分條件是:力系的主矢和力系對任一點的主矩都等于零。,FR=0,MO=0,二、平面一般力系的平衡方程,=0,=0,主矩：Mo=mo(Fi),Fx=0,Fy=0,mo(Fi)=0,(a)一力矩式,(b)二力矩式,要求：投影軸x不能與矩心A和B的連線垂直。,(c)三力矩式,要求：三個矩心A,B和C不在一直線上。,一般力系平衡方程的應(yīng)用,1、審題，確定研究對象，取分離體，畫受力圖；,2、適當(dāng)選取投影軸和矩心或矩軸，列平衡方程；,3、解平衡方程，得未知量。,如何做到列一個方程，就能解出一個未知量,例題4-1.由水平桿AB和斜桿CD構(gòu)成的管道支架如圖所示。在AB桿上放重為G1=12KN和G2=7KN的管道。A,D,C處都是鉸鏈連接，不計各桿的自重。求:支座A、C處的約束反力。,mA(Fi)=0,FC=26KN,(a)一力矩式,2.建立坐標(biāo)系：,3.列平衡方程：,Fx=0,(a)一力矩式,FAx=-22.5KN,Fy=0,FAx+FCcos300=0,FAy+FCsin300-G1-G2=0,FAy=6KN,負(fù)號說明它的實際方向和假設(shè)方向相反。,(b)二力矩式,FAx=-22.5KN,Fx=0,FAx+FCcos300=0,mA(Fi)=0,mD(Fi)=0,FAy=6KN,FC=26KN,(c)三力矩式,FAx=-22.5KN,mA(Fi)=0,mD(Fi)=0,FAy=6KN,FC=26KN,mC(Fi)=0,例題4-2在水平梁AB上作用一力偶矩為m的力偶,在梁的中點C處作用一集中力P它與水平的夾角為,如圖所示。梁長為l且自重不計。求支座A和B的反力。,解:取水平梁AB為研究對象畫受力圖。,FAx,FAy,RB,FAx-Pcos=0,FAx=Pcos,mA(Fi)=0,FAy-Psin+RA=0,Fx=0,Fy=0,列平衡方程求解:,d,例題4-5平面剛架ABCD受力如圖所示,q1=5kN/m,q2=10kN/m,m=20kN.m。求支座A的約束反力。,FAx,FAy,mA,解:取平面剛架ABCD為研究對象畫受力圖,Q1=q18=40,Q2=0.5q212=60,Q1,Q2,Fx=0,FAx+Q2=0,FAx=-Q2=-60kN,Fy=0,FAy-Q1=0,FAy=Q1=40kN,mA(Fi)=0,mA-4Q2-4Q1-m=0,mA=420kN.m,列平衡方程求解:,4-6.靜定與靜不定問題.物體系統(tǒng)的平衡,(1)靜定與靜不定問題,對每一種力系而言,若未知量的數(shù)目等于獨立平衡方程的數(shù)目.則應(yīng)用剛體靜力學(xué)的理論,就可以求得全部未知量,這樣的問題稱為靜定問題.若未知量的數(shù)目超過獨立平衡方程的數(shù)目.則單獨應(yīng)用剛體靜力學(xué)的理論,就不能求出全部未知量,這樣的問題稱為靜不定問題.,(2)物體系統(tǒng)的平衡,物體系統(tǒng)是指由若干個物體通過適當(dāng)?shù)募s束相互連接而組成的系統(tǒng).,解靜定物體系統(tǒng)平衡問題的一般步驟:,(a)分析系統(tǒng)由幾個物體組成.,(b)按照便于求解的原則,適當(dāng)選取整體或個體為研究對象進行受力分析并畫受力圖.,(c)列平衡方程并解出未知量,例題4-6三鉸剛架ABC的支承及荷載情況如圖所示。已知均布荷載q=8kN/L=12m,h=6m,f=2m。求支座A和B的約束反力。,無主次之分但支座在同一水平線上的物體系統(tǒng)的平衡。,mA(Fi)=0,Fy=0,FAy+FBy-Fq=0,FAy=48kN,Fq=ql,Fx=0,FAx+FBx=0,解：1、取整體為研究對象，受力分析：,mC(Fi)=0,2、取BC部分為研究對象，受力分析：,Fx=0,FAx+FBx=0,3、再取整體為研究對象：,例題4-7.組合梁ABC的支承與受力情況如圖所示.已知P=30kN,Q=20kN,=35o.求支座A和C的約束反力.,解:取整體為研究對象畫受力圖.,Xi=0,XA-20cos35o=0,XA=13.13kN,Yi=0,YA-30-20sin35o+RC=0(1),RC,XA,YA,mA,mA(Fi)=0,mA-230-620sin35o+8RC=0(2),取BC桿為研究對象畫受力圖.,XB,YB,RC,mB(Fi)=0,-220sin35o+4RC=0,RC=7.07kN(3),把(3)式分別代入(1)和(2)式得:,YA=37.07kN,mA=31.72kN.m,4-5平面平行力系的平衡方程:,Fx0,Fy=0,mo(Fi)=0,(a)一力矩式,(b)二力矩式,mA(Fi)=0mB(Fi)=0,G2,G3,G1,C,A,B,e,a,b,例4-7：塔式起重機如圖所示。設(shè)機身的重力為G1，載重的重力為G2，距離右軌的最大距離為L，平衡重物的重量為G3，求起重機滿載和空載均不致翻倒時，平衡重物的重量G3所滿足的條件。,L,G2,G1,C,e,a,b,L,NA,NB,G3,A,B,解：取起重機為研究對象，畫出受力圖,1、滿載時，當(dāng)重物距離右軌最遠(yuǎn)時，當(dāng)起重機平衡時：,mB(F)=0,-G1e-G2L-NAb+G3（a+b）=0,NA=-G1e-G2L+G3（a+b）/b,起重機不翻倒的條件為：,NA0,G3(G1e+G2L)/（a+b）,2、空載時，G2=0，當(dāng)起重機平衡時：,mA(F)=0,G3a-G1（b+e）+NBb=0,NB=-G3a+G1（b+e）/b,起重機不翻倒的條件為：,NB0,G3G1（b+e)/a,(G1e+G2L)/（a+b）G3G1（b+e)/a,所以，兩種情況下起重機均不翻倒的條件為：,靜定與靜不定問題,對每一種力系而言,若未知量的數(shù)目等于獨立平衡方程的數(shù)目。則應(yīng)用剛體靜力學(xué)的理論,就可以求得全部未知量,這樣的問題稱為靜定問題。,若未知量的數(shù)目超過獨立平衡方程的數(shù)目。則單獨應(yīng)用剛體靜力學(xué)的理論,就不能求出全部未知量,這樣的問題稱為靜不定問題。,RA,靜定問題,靜不定問題,小結(jié)：靜力學(xué)平衡問題的解題方法,1、審題，確定已知條件與待求問題；2、選擇好研究對象，尤其是物系的平衡問題，較靈活；3、作受力圖，判斷二力桿；注意作用力與反作用力關(guān)系及三力平衡匯交原理；4、解方程，校核計算結(jié)果。,