1沐風(fēng)教育一、提出問題：一、提出問題：甲、乙兩個(gè)班，原來甲班比乙甲、乙兩個(gè)班，原來甲班比乙班多班多2020人現(xiàn)在學(xué)校從甲班抽調(diào)人現(xiàn)在學(xué)校從甲班抽調(diào)1414人去乙班，則甲班人數(shù)正好是乙班人去乙班，則甲班人數(shù)正好是乙班人數(shù)的人數(shù)的7/87/8，求甲、乙兩個(gè)班的現(xiàn)有，求甲、乙兩個(gè)班的現(xiàn)有人數(shù)人數(shù)2沐風(fēng)教育算術(shù)解法：甲班原比乙班多算術(shù)解法：甲班原比乙班多2020人，乙班現(xiàn)人，乙班現(xiàn)比甲班多比甲班多14142-202-20（人），相當(dāng)于乙班現(xiàn)（人），相當(dāng)于乙班現(xiàn)有人數(shù)的有人數(shù)的 .因此，乙班現(xiàn)有人數(shù)為因此，乙班現(xiàn)有人數(shù)為 ，甲班現(xiàn)，甲班現(xiàn)有人數(shù)為有人數(shù)為)871()(64)871()20214(人人 ).(568764人人 3沐風(fēng)教育代數(shù)解法：設(shè)甲班現(xiàn)有代數(shù)解法：設(shè)甲班現(xiàn)有x x人，則乙班現(xiàn)有人，則乙班現(xiàn)有x+14x+142-20=x+82-20=x+8（人），因此，人），因此，即甲班現(xiàn)有即甲班現(xiàn)有5656人，乙班現(xiàn)有人，乙班現(xiàn)有6464人人.).(56,)8(87人人 xxx4沐風(fēng)教育對(duì)比兩種解法可以看出：對(duì)比兩種解法可以看出：算術(shù)解法是把未知量置于特殊地位，設(shè)法用已知量算術(shù)解法是把未知量置于特殊地位，設(shè)法用已知量組成的混合運(yùn)算式表示出來組成的混合運(yùn)算式表示出來(在條件較復(fù)雜時(shí)，列出這在條件較復(fù)雜時(shí)，列出這樣的式子往往比較困難樣的式子往往比較困難)；代數(shù)解法是把未知量與已知量同等對(duì)待代數(shù)解法是把未知量與已知量同等對(duì)待(使未知量使未知量在分析問題的過程中也能發(fā)揮作用在分析問題的過程中也能發(fā)揮作用)，找出各量之間的，找出各量之間的等量關(guān)系，建立方程等量關(guān)系，建立方程 因此，代數(shù)解法的因此，代數(shù)解法的“直截了當(dāng)直截了當(dāng)”比算術(shù)解法的比算術(shù)解法的“拐拐彎抹角彎抹角”要方便得多但是，在由算術(shù)解法向代數(shù)解要方便得多但是，在由算術(shù)解法向代數(shù)解法轉(zhuǎn)化的過程中，同學(xué)們?cè)瓉淼乃季S定勢(shì)不同程度的法轉(zhuǎn)化的過程中，同學(xué)們?cè)瓉淼乃季S定勢(shì)不同程度的成為接受新思想的障礙，算術(shù)解法的思想會(huì)時(shí)隱時(shí)成為接受新思想的障礙，算術(shù)解法的思想會(huì)時(shí)隱時(shí)現(xiàn)要充分發(fā)揮代數(shù)解法的優(yōu)越性，必須有意識(shí)地進(jìn)現(xiàn)要充分發(fā)揮代數(shù)解法的優(yōu)越性，必須有意識(shí)地進(jìn)行對(duì)比性訓(xùn)練解題，使同學(xué)們從思想上認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)代行對(duì)比性訓(xùn)練解題，使同學(xué)們從思想上認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)代數(shù)解法的必要性，而自覺地運(yùn)用數(shù)解法的必要性，而自覺地運(yùn)用5沐風(fēng)教育二、知識(shí)梳理：二、知識(shí)梳理：1 1、列方程解應(yīng)用題、列方程解應(yīng)用題:學(xué)習(xí)列方程解應(yīng)用題是十分重要的，首學(xué)習(xí)列方程解應(yīng)用題是十分重要的，首先從學(xué)習(xí)內(nèi)容上講，中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開先從學(xué)習(xí)內(nèi)容上講，中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開方程，離不開利用列方程來解決應(yīng)用問題，方程，離不開利用列方程來解決應(yīng)用問題，特別是我們已經(jīng)明確了這樣一種思想：學(xué)習(xí)特別是我們已經(jīng)明確了這樣一種思想：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重在應(yīng)用因此列方程解應(yīng)用題中蘊(yùn)含數(shù)學(xué)重在應(yīng)用因此列方程解應(yīng)用題中蘊(yùn)含的思想方法對(duì)學(xué)習(xí)者而言是十分重要的第的思想方法對(duì)學(xué)習(xí)者而言是十分重要的第二，通過列方程解應(yīng)用題可以培養(yǎng)和提高分二，通過列方程解應(yīng)用題可以培養(yǎng)和提高分析問題和解決問題的能力這對(duì)于一個(gè)人的析問題和解決問題的能力這對(duì)于一個(gè)人的發(fā)展也是十分重要的發(fā)展也是十分重要的6沐風(fēng)教育 列方程過程的實(shí)質(zhì)有多種說法：如列方程過程的實(shí)質(zhì)有多種說法：如“通通過分析，找出等量關(guān)系，而列出方程過分析，找出等量關(guān)系，而列出方程”，或，或“把題目中蘊(yùn)含的相等關(guān)系找出來，列出方把題目中蘊(yùn)含的相等關(guān)系找出來，列出方程程”這些說法都指明了列方程的方向這些說法都指明了列方程的方向找出相等關(guān)系一般步驟如下：找出相等關(guān)系一般步驟如下：(1)(1)審題、弄清題意，分清哪些是已知量，哪審題、弄清題意，分清哪些是已知量，哪些是未知量些是未知量(2)(2)設(shè)未知數(shù)，選一個(gè)適當(dāng)?shù)奈粗吭O(shè)為未知設(shè)未知數(shù)，選一個(gè)適當(dāng)?shù)奈粗吭O(shè)為未知數(shù)數(shù)x x(3)(3)列方程列方程(4)(4)解所列的方程解所列的方程(5)(5)根據(jù)題意，作出答案根據(jù)題意，作出答案7沐風(fēng)教育具體可從以下三條途徑出發(fā)研究解決：具體可從以下三條途徑出發(fā)研究解決：(1)(1)圖解分析：圖解分析：分析問題中的數(shù)量關(guān)系時(shí)，借助圖分析問題中的數(shù)量關(guān)系時(shí)，借助圖形，可以使抽象的關(guān)系直觀化、簡單化，形，可以使抽象的關(guān)系直觀化、簡單化，根據(jù)題意畫圖列式是對(duì)同學(xué)們的思維能根據(jù)題意畫圖列式是對(duì)同學(xué)們的思維能力的有效培養(yǎng)這里，應(yīng)要求力的有效培養(yǎng)這里，應(yīng)要求“圖要達(dá)圖要達(dá)意意”，避免圖上發(fā)生錯(cuò)誤而造成列式錯(cuò)，避免圖上發(fā)生錯(cuò)誤而造成列式錯(cuò)誤誤8沐風(fēng)教育(2)(2)列表分析：列表分析：列表法的優(yōu)點(diǎn)是通過列表歸類使列表法的優(yōu)點(diǎn)是通過列表歸類使對(duì)應(yīng)量之間關(guān)系較為清晰，往往有利于對(duì)應(yīng)量之間關(guān)系較為清晰，往往有利于運(yùn)用比例分析法顯示解題思路運(yùn)用比例分析法顯示解題思路(3)(3)框圖分析：框圖分析：框圖分析是由文字語言、符號(hào)語框圖分析是由文字語言、符號(hào)語言及長方格通過題中相等關(guān)系確立而成，言及長方格通過題中相等關(guān)系確立而成，容易操作，不拘一格。容易操作，不拘一格。9沐風(fēng)教育例例1 1、某連隊(duì)從駐地出發(fā)前往某地執(zhí)行任、某連隊(duì)從駐地出發(fā)前往某地執(zhí)行任務(wù)行軍速度是務(wù)行軍速度是6 6千米千米/時(shí)，時(shí)，1818分鐘后，分鐘后，駐地接到緊急命令，派遣通訊員小王駐地接到緊急命令，派遣通訊員小王必 須 在 一 刻 鐘 內(nèi) 把 命 令 傳 達(dá) 給 連必 須 在 一 刻 鐘 內(nèi) 把 命 令 傳 達(dá) 給 連隊(duì)小王騎自行車以隊(duì)小王騎自行車以1414千米千米/時(shí)的速度時(shí)的速度沿同一路線追趕連隊(duì)問是否能在規(guī)沿同一路線追趕連隊(duì)問是否能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成任務(wù)定時(shí)間內(nèi)完成任務(wù)10沐風(fēng)教育例例2 2、汽船從甲地順?biāo)_往乙地，所用、汽船從甲地順?biāo)_往乙地，所用時(shí)間比從乙地逆水開往甲地少時(shí)間比從乙地逆水開往甲地少1.51.5小小時(shí)已知此船在靜水中速度為時(shí)已知此船在靜水中速度為1818千米千米/時(shí)，水流速度為時(shí)，水流速度為2 2千米千米/時(shí)求甲、時(shí)求甲、乙兩地間的距離乙兩地間的距離11沐風(fēng)教育2 2、抓住、抓住“不變量不變量”解應(yīng)用題解應(yīng)用題 列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是尋找數(shù)列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是尋找數(shù)量間的相等關(guān)系，這要從分析題中的量間的相等關(guān)系，這要從分析題中的基本量入手去尋找一般說來，一個(gè)基本量入手去尋找一般說來，一個(gè)問題中有幾種基本量就可以找出幾種問題中有幾種基本量就可以找出幾種相等關(guān)系但有些應(yīng)用題中的相等關(guān)相等關(guān)系但有些應(yīng)用題中的相等關(guān)系不外露，如能抓住問題中的系不外露，如能抓住問題中的“不變不變量量”即可得到相等關(guān)系，從而列出方即可得到相等關(guān)系，從而列出方程，甚至能找出多種解法，拓寬解題程，甚至能找出多種解法，拓寬解題思路思路 12沐風(fēng)教育例例3 3、某工人在一定時(shí)間內(nèi)加工一批零件，、某工人在一定時(shí)間內(nèi)加工一批零件，如果每天加工如果每天加工4444個(gè)就比規(guī)定任務(wù)少加工個(gè)就比規(guī)定任務(wù)少加工 2020個(gè)；如果每天加工個(gè)；如果每天加工5050個(gè)，則可超額個(gè)，則可超額1010個(gè)求規(guī)定加工的零件數(shù)和計(jì)劃加工的個(gè)求規(guī)定加工的零件數(shù)和計(jì)劃加工的天數(shù)天數(shù)分析：本題每天加工的零件數(shù)是變量，實(shí)分析：本題每天加工的零件數(shù)是變量，實(shí)際做的工作總量也隨著變化，但有兩個(gè)際做的工作總量也隨著變化，但有兩個(gè)不變量，即計(jì)劃加工的時(shí)間不變，規(guī)定不變量，即計(jì)劃加工的時(shí)間不變，規(guī)定任務(wù)不變，這就是題目中的等量關(guān)系，任務(wù)不變，這就是題目中的等量關(guān)系，故可得到兩種解法故可得到兩種解法13沐風(fēng)教育例例4 4、一艘輪船從甲地順流而下、一艘輪船從甲地順流而下8 8小時(shí)到達(dá)小時(shí)到達(dá)乙地，原路返回要乙地，原路返回要1212小時(shí)，才能到達(dá)甲小時(shí)，才能到達(dá)甲地，已知水流速度是每小時(shí)地，已知水流速度是每小時(shí)3 3千米，求千米，求甲、乙兩地的距離甲、乙兩地的距離分析：本題中甲、乙兩地間的距離與輪船分析：本題中甲、乙兩地間的距離與輪船本身的速度本身的速度(靜水速度靜水速度)是是“不變量不變量”，分別抓住這兩個(gè)分別抓住這兩個(gè)“不變量不變量”即得兩種不即得兩種不同的等量關(guān)系可從兩個(gè)不同方面設(shè)出同的等量關(guān)系可從兩個(gè)不同方面設(shè)出未知數(shù)未知數(shù)14沐風(fēng)教育 有關(guān)溶液的濃度應(yīng)用題是初中有關(guān)溶液的濃度應(yīng)用題是初中代數(shù)中列方程解應(yīng)用題的一類基代數(shù)中列方程解應(yīng)用題的一類基本題解這類應(yīng)用題，關(guān)鍵的問本題解這類應(yīng)用題，關(guān)鍵的問題是：抓住不變量題是：抓住不變量(如稀釋前溶質(zhì)如稀釋前溶質(zhì)重量等于稀釋后溶質(zhì)重量重量等于稀釋后溶質(zhì)重量)列方列方程程 15沐風(fēng)教育（1 1）求溶質(zhì)）求溶質(zhì)例例5 5、現(xiàn)有濃度為、現(xiàn)有濃度為2020的鹽水的鹽水300300克和濃度為克和濃度為3030的鹽水的鹽水200200克，需配制成濃度為克，需配制成濃度為6060的鹽水，的鹽水，問兩種溶液全部混合后，還需加鹽多少克？問兩種溶液全部混合后，還需加鹽多少克？解：設(shè)兩種溶液全部混合后，還需加鹽解：設(shè)兩種溶液全部混合后，還需加鹽x x克，注克，注意混合前后溶質(zhì)總量不變，依題意得方程：意混合前后溶質(zhì)總量不變，依題意得方程：20 20300+30300+30200+200+x=60 x=60(300+200+x)(300+200+x)化簡得化簡得2 2x=900 x=900解這個(gè)方程得解這個(gè)方程得x=450 x=450答：兩種溶液全部混合后，還需加鹽答：兩種溶液全部混合后，還需加鹽450450克克16沐風(fēng)教育（2 2）求溶劑）求溶劑例例6 6、要把濃度為、要把濃度為9090的酒精溶液的酒精溶液500500克，克，稀釋成濃度為稀釋成濃度為7575的酒精溶液，需加水的酒精溶液，需加水多少克多少克解：設(shè)需加水解：設(shè)需加水x x克，因?yàn)榧铀昂笕苜|(zhì)數(shù)克，因?yàn)榧铀昂笕苜|(zhì)數(shù)量不變，依題意得方程量不變，依題意得方程 75 75(x+500)=90 x+500)=90 500500 化簡得化簡得1515x=1500 x=1500 解這個(gè)方程得解這個(gè)方程得x=100 x=100 答：需加水答：需加水100100克克17沐風(fēng)教育（3 3）求溶液）求溶液例例7 7、有若干克、有若干克4 4的鹽水蒸發(fā)了一些水分后，的鹽水蒸發(fā)了一些水分后，變成變成1010的鹽水，接著加進(jìn)的鹽水，接著加進(jìn)4 4的鹽水的鹽水300300克，克，混合后變?yōu)榛旌虾笞優(yōu)?.46.4的鹽水，的鹽水，問問:最初有鹽水多少克？最初有鹽水多少克？解：設(shè)最初有鹽水解：設(shè)最初有鹽水x x克，注意混合后的含鹽量，克，注意混合后的含鹽量，依題意得方程依題意得方程 化簡得化簡得 1.44 1.44x=720 x=720 解這個(gè)方程得解這個(gè)方程得x=500 x=500答：最初有鹽水答：最初有鹽水500500克克).300%10%4%(4.6300%4%4 xx18沐風(fēng)教育（4 4）求濃度）求濃度例例8 8、甲種硫酸溶液含硫酸的百分?jǐn)?shù)是乙種硫酸溶液、甲種硫酸溶液含硫酸的百分?jǐn)?shù)是乙種硫酸溶液的的1.51.5倍，甲種硫酸溶液倍，甲種硫酸溶液5 5份與乙種硫酸溶液份與乙種硫酸溶液3 3份混份混合成的硫酸溶液含硫酸合成的硫酸溶液含硫酸52.552.5，求兩種硫酸溶液含，求兩種硫酸溶液含硫酸的百分?jǐn)?shù)硫酸的百分?jǐn)?shù)解：設(shè)乙種硫酸溶液含硫酸的百分?jǐn)?shù)為解：設(shè)乙種硫酸溶液含硫酸的百分?jǐn)?shù)為x x，則甲種硫則甲種硫酸溶液含硫酸的百分?jǐn)?shù)為酸溶液含硫酸的百分?jǐn)?shù)為1.51.5x x，依題意得方程依題意得方程5 51.51.5x+3x=52.5x+3x=52.58 8化簡得化簡得105105x=42x=42解這個(gè)方程得解這個(gè)方程得x=0.4=40 x=0.4=40，則則 1.5 1.5x=1.5x=1.50.4=0.6=600.4=0.6=60答：甲種硫酸溶液含硫酸的百分?jǐn)?shù)是答：甲種硫酸溶液含硫酸的百分?jǐn)?shù)是6060，乙種硫酸，乙種硫酸溶液含硫酸的百分?jǐn)?shù)是溶液含硫酸的百分?jǐn)?shù)是404019沐風(fēng)教育從以上幾例可以看出：從以上幾例可以看出：抓住不變量關(guān)系是解決有抓住不變量關(guān)系是解決有關(guān)百分比濃度應(yīng)用題中所涉及的關(guān)百分比濃度應(yīng)用題中所涉及的各種量的關(guān)鍵各種量的關(guān)鍵20沐風(fēng)教育3 3、用整體思想解應(yīng)用題、用整體思想解應(yīng)用題 數(shù)學(xué)崇尚簡捷初中不少數(shù)學(xué)應(yīng)用題數(shù)學(xué)崇尚簡捷初中不少數(shù)學(xué)應(yīng)用題若能著眼于整體結(jié)構(gòu)，往往能觸及問若能著眼于整體結(jié)構(gòu)，往往能觸及問題的本質(zhì)，從而獲得簡捷明快的解題的本質(zhì)，從而獲得簡捷明快的解法把整體思想解題用于教學(xué)不但可法把整體思想解題用于教學(xué)不但可以培養(yǎng)學(xué)生著眼于整體的意識(shí)，而且以培養(yǎng)學(xué)生著眼于整體的意識(shí)，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性 21沐風(fēng)教育例例9 9、甲、乙兩人分別從、甲、乙兩人分別從A A、B B兩地同兩地同時(shí)相向出發(fā)，在離時(shí)相向出發(fā)，在離B B地地6 6千米處相遇千米處相遇后又繼續(xù)前進(jìn)，甲到后又繼續(xù)前進(jìn)，甲到B B地，乙到地，乙到A A地地后，都立即返回，又在離后，都立即返回，又在離A A地地8 8千米千米處相遇，求處相遇，求A A、B B兩地間的距離兩地間的距離22沐風(fēng)教育分析：用常規(guī)方法解決本題具有一定難度，若把兩個(gè)分析：用常規(guī)方法解決本題具有一定難度，若把兩個(gè)運(yùn)動(dòng)過程一起處理，便可使問題迎刃而解運(yùn)動(dòng)過程一起處理，便可使問題迎刃而解解：如圖，第一次相遇，甲、乙兩人合走一個(gè)全程，解：如圖，第一次相遇，甲、乙兩人合走一個(gè)全程，對(duì)應(yīng)乙走對(duì)應(yīng)乙走6 6千米；千米；第二次相遇，甲、乙兩人合走了三個(gè)全程，故乙共第二次相遇，甲、乙兩人合走了三個(gè)全程，故乙共走了走了1818千米，千米，設(shè)設(shè)A A、B B兩地間的距離為兩地間的距離為x x千米，第二次相遇時(shí)乙走了千米，第二次相遇時(shí)乙走了(x+8)x+8)千米，千米，所以所以x+8=18x+8=18，x=10 x=10答：答：A A、B B兩地間距兩地間距離為離為1010千米千米23沐風(fēng)教育例例1010、甲、乙兩人分別從、甲、乙兩人分別從A A、B B兩地相向而行，若兩人兩地相向而行，若兩人同時(shí)出發(fā)，則經(jīng)同時(shí)出發(fā)，則經(jīng)4 4小時(shí)相遇；若甲先出發(fā)小時(shí)相遇；若甲先出發(fā)3 3小時(shí)后乙小時(shí)后乙再出發(fā)，則經(jīng)再出發(fā)，則經(jīng)2 2小時(shí)相遇，問甲、乙單獨(dú)走完小時(shí)相遇，問甲、乙單獨(dú)走完ABAB這這段路程各需幾小時(shí)？段路程各需幾小時(shí)？解：由兩人同時(shí)出發(fā)經(jīng)解：由兩人同時(shí)出發(fā)經(jīng)4 4小時(shí)相遇，知兩人小時(shí)相遇，知兩人2 2小時(shí)走全小時(shí)走全程的一半；程的一半；又由甲出發(fā)又由甲出發(fā)3 3小時(shí)后乙再出發(fā)，經(jīng)小時(shí)后乙再出發(fā)，經(jīng)2 2小時(shí)相遇，知甲小時(shí)相遇，知甲3 3小時(shí)走完全程的一半小時(shí)走完全程的一半故甲走完全程需故甲走完全程需6 6小時(shí)小時(shí)因甲走因甲走5 5小時(shí)，乙走小時(shí)，乙走2 2小時(shí)可走完全程，而甲小時(shí)可走完全程，而甲6 6小時(shí)走小時(shí)走完全程，故甲走完全程，故甲走1 1小時(shí)的路程乙需走小時(shí)的路程乙需走2 2小時(shí)，故乙走小時(shí)，故乙走完全程需完全程需1212小時(shí)小時(shí)答：單獨(dú)走完全程，甲需答：單獨(dú)走完全程，甲需6 6小時(shí)，乙需小時(shí)，乙需1212小時(shí)小時(shí)24沐風(fēng)教育注意注意：用常規(guī)方法解題是必要的，但用常規(guī)方法解題是必要的，但本題運(yùn)用整體思想求解不但看透了本本題運(yùn)用整體思想求解不但看透了本質(zhì)，而且利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能質(zhì)，而且利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力力25沐風(fēng)教育4 4、合理設(shè)元巧解一元一次方程應(yīng)用題：、合理設(shè)元巧解一元一次方程應(yīng)用題：列方程解應(yīng)用題在初中代數(shù)中既是重點(diǎn)，又列方程解應(yīng)用題在初中代數(shù)中既是重點(diǎn)，又是難點(diǎn)怎樣列方程解應(yīng)用題，除了找出題中的相是難點(diǎn)怎樣列方程解應(yīng)用題，除了找出題中的相等關(guān)系外，關(guān)鍵還在于如何設(shè)元在列方程解應(yīng)用等關(guān)系外，關(guān)鍵還在于如何設(shè)元在列方程解應(yīng)用題時(shí)，大多時(shí)候是將要求的量設(shè)為未知元題時(shí)，大多時(shí)候是將要求的量設(shè)為未知元(設(shè)直接設(shè)直接元元)而有時(shí)設(shè)直接元時(shí)，不易找出題目中的相等而有時(shí)設(shè)直接元時(shí)，不易找出題目中的相等關(guān)系，此時(shí)則應(yīng)恰當(dāng)選擇題目中要求的未知量外有關(guān)系，此時(shí)則應(yīng)恰當(dāng)選擇題目中要求的未知量外有關(guān)的某個(gè)量為未知元關(guān)的某個(gè)量為未知元(設(shè)間接元設(shè)間接元)，求出這些量后，求出這些量后，再用這些量求出要求的量還有些時(shí)候除了設(shè)直接再用這些量求出要求的量還有些時(shí)候除了設(shè)直接元或間接元，還要設(shè)輔助列方程的量為未知元元或間接元，還要設(shè)輔助列方程的量為未知元(設(shè)設(shè)輔元輔元)，它在方程中，不需求出或不能求出，但便，它在方程中，不需求出或不能求出，但便于建立相等關(guān)系列方程于建立相等關(guān)系列方程 26沐風(fēng)教育（1 1）不同的設(shè)元有不同的方程）不同的設(shè)元有不同的方程 應(yīng)用題一般有多個(gè)未知量，因而有多種應(yīng)用題一般有多個(gè)未知量，因而有多種設(shè)元方法，從而有多種不同的方程設(shè)元方法，從而有多種不同的方程例例1111、從、從A A地到地到B B地，先下山然后走平路，某人地，先下山然后走平路，某人騎自行車以每小時(shí)騎自行車以每小時(shí)1212千米的速度下山，而以千米的速度下山，而以每小時(shí)每小時(shí)9 9千米的速度通過平路，到達(dá)千米的速度通過平路，到達(dá)B B地共用地共用5555分鐘回來時(shí)以每小時(shí)分鐘回來時(shí)以每小時(shí)8 8千米的速度通過平千米的速度通過平路而以每小時(shí)路而以每小時(shí)4 4千米的速度上山，回到千米的速度上山，回到A A地共地共用用1.51.5小時(shí)，從小時(shí)，從A A地到地到B B地有多少千米？地有多少千米？27沐風(fēng)教育（2 2）直接設(shè)元與間接設(shè)元）直接設(shè)元與間接設(shè)元 一般情況下采用直接設(shè)元，即問一般情況下采用直接設(shè)元，即問什么就設(shè)什么，但有時(shí)根據(jù)問題的什么就設(shè)什么，但有時(shí)根據(jù)問題的性質(zhì)，選設(shè)適當(dāng)?shù)拈g接未知量，就性質(zhì)，選設(shè)適當(dāng)?shù)拈g接未知量，就可能使數(shù)量之間的復(fù)雜關(guān)系變得比可能使數(shù)量之間的復(fù)雜關(guān)系變得比較簡單，容易列出關(guān)于間接未知量較簡單，容易列出關(guān)于間接未知量的方程來的方程來28沐風(fēng)教育例例1212、從家里騎車到火車站，若每小、從家里騎車到火車站，若每小時(shí)行時(shí)行3030千米，則比火車開車時(shí)間早千米，則比火車開車時(shí)間早到到1515分；若每小時(shí)行分；若每小時(shí)行1818千米，則比千米，則比火車開車時(shí)間遲到火車開車時(shí)間遲到1515分現(xiàn)要求在分現(xiàn)要求在火車開車前火車開車前1010分鐘到達(dá)火車站，騎分鐘到達(dá)火車站，騎車的速度應(yīng)是多少？車的速度應(yīng)是多少？29沐風(fēng)教育例例1313、設(shè)有五個(gè)數(shù)，其中每四個(gè)數(shù)之和分別是、設(shè)有五個(gè)數(shù)，其中每四個(gè)數(shù)之和分別是1515、2222、2323、2424、3232，求這五個(gè)數(shù)，求這五個(gè)數(shù)分析：這個(gè)題目如果設(shè)直接元，就應(yīng)設(shè)五個(gè)未知元，分析：這個(gè)題目如果設(shè)直接元，就應(yīng)設(shè)五個(gè)未知元，涉及幾個(gè)未知數(shù)的問題，須列出幾個(gè)方程，不易解涉及幾個(gè)未知數(shù)的問題，須列出幾個(gè)方程，不易解出因此，我們想到設(shè)間接元的方法，題中已知五出因此，我們想到設(shè)間接元的方法，題中已知五個(gè)數(shù)中四個(gè)數(shù)之和，若設(shè)五個(gè)數(shù)總和為個(gè)數(shù)中四個(gè)數(shù)之和，若設(shè)五個(gè)數(shù)總和為x x，則這五則這五個(gè)數(shù)分別是：個(gè)數(shù)分別是：x-15x-15，x-22x-22，x-23x-23，x-24x-24，x-32x-32，它它們的和等于們的和等于x x解：解：(設(shè)間接元設(shè)間接元)設(shè)這五個(gè)數(shù)的和是設(shè)這五個(gè)數(shù)的和是x x則則(x-15)+(x-22)+(x-23)+(x-24)+(x-32)=xx-15)+(x-22)+(x-23)+(x-24)+(x-32)=x解方程得解方程得x=29x=29這五個(gè)數(shù)分別為：這五個(gè)數(shù)分別為：29-15=1429-15=14，29-22=729-22=7，29-23=629-23=6，29-24=529-24=5，29-32=-329-32=-3答：這五個(gè)數(shù)是答：這五個(gè)數(shù)是1414，7 7，6 6，5 5，-3-330沐風(fēng)教育（3 3）加設(shè)輔助元）加設(shè)輔助元 有些應(yīng)用題中，常隱含一些未知的常有些應(yīng)用題中，常隱含一些未知的常量，這些量對(duì)于求解無直接聯(lián)系，但量，這些量對(duì)于求解無直接聯(lián)系，但如果不指明這些量的存在，則難求其如果不指明這些量的存在，則難求其解因而常把這些未知的常量設(shè)為參解因而常把這些未知的常量設(shè)為參數(shù)，作為橋梁幫助思考，這就是加設(shè)數(shù)，作為橋梁幫助思考，這就是加設(shè)輔助元輔助元 31沐風(fēng)教育例例1414、一輪船從重慶到武漢需、一輪船從重慶到武漢需5 5晝夜，從晝夜，從武漢到重慶需武漢到重慶需7 7晝夜，試問一木排從重晝夜，試問一木排從重慶漂流到武漢需要多少時(shí)間？慶漂流到武漢需要多少時(shí)間？分析：該題若設(shè)直接元，即木排漂流所需分析：該題若設(shè)直接元，即木排漂流所需時(shí)間，很難找到相等關(guān)系來列方程，但時(shí)間，很難找到相等關(guān)系來列方程，但由題意知輪船從重慶到武漢為順?biāo)叫?，由題意知輪船從重慶到武漢為順?biāo)叫校瑥奈錆h到重慶為逆水航行，輪船在靜水從武漢到重慶為逆水航行，輪船在靜水中速度不變，木排漂流速度為水流速度，中速度不變，木排漂流速度為水流速度，引入輔助元：重慶到武漢輪船行駛路程引入輔助元：重慶到武漢輪船行駛路程為為s s，水流速度為水流速度為v v，由輪船在靜水中速由輪船在靜水中速度不變可列方程度不變可列方程32沐風(fēng)教育說明：在列出一元一次方程解應(yīng)用題時(shí)，說明：在列出一元一次方程解應(yīng)用題時(shí)，因?yàn)榉匠讨兄挥幸粋€(gè)未知數(shù)，所以不因?yàn)榉匠讨兄挥幸粋€(gè)未知數(shù)，所以不管應(yīng)用題中有幾問，都只能設(shè)一個(gè)未管應(yīng)用題中有幾問，都只能設(shè)一個(gè)未知數(shù)，但有時(shí)只設(shè)出一個(gè)未知數(shù)，有知數(shù)，但有時(shí)只設(shè)出一個(gè)未知數(shù)，有關(guān)的等量關(guān)系很難表達(dá)，這樣就需要關(guān)的等量關(guān)系很難表達(dá)，這樣就需要在方程中引入一個(gè)輔助元，便于列出在方程中引入一個(gè)輔助元，便于列出方程表達(dá)等量關(guān)系，這個(gè)輔助元在解方程表達(dá)等量關(guān)系，這個(gè)輔助元在解的過程中，常常被約掉，實(shí)際上還是的過程中，常常被約掉，實(shí)際上還是一個(gè)未知數(shù)一個(gè)未知數(shù)33沐風(fēng)教育例例1515、某人上午、某人上午8 8時(shí)乘裝有竹桿的船逆流時(shí)乘裝有竹桿的船逆流而上，而上，1010時(shí)半發(fā)現(xiàn)一捆竹桿掉入河中，時(shí)半發(fā)現(xiàn)一捆竹桿掉入河中，他立即掉頭順流去追，用他立即掉頭順流去追，用3030分追上了分追上了竹桿竹桿是何時(shí)掉入河中的？竹桿竹桿是何時(shí)掉入河中的？注：在以上求解中，我們是以河岸為參注：在以上求解中，我們是以河岸為參照物來設(shè)定船速照物來設(shè)定船速V V和水流速度和水流速度v v的并的并且，我們發(fā)現(xiàn)船速和水速實(shí)際上對(duì)結(jié)且，我們發(fā)現(xiàn)船速和水速實(shí)際上對(duì)結(jié)果都無影響可以說這里的參數(shù)果都無影響可以說這里的參數(shù)V V、v v是設(shè)而不求，只起到一個(gè)中間過渡作是設(shè)而不求，只起到一個(gè)中間過渡作用用34沐風(fēng)教育例例1616、一組割草人要把兩塊到處長得一、一組割草人要把兩塊到處長得一樣密的草地里的草割完，大的一塊比樣密的草地里的草割完，大的一塊比小的一塊大一倍，上半天全部人在大小的一塊大一倍，上半天全部人在大草地割草；下半天一半人仍留在大草草地割草；下半天一半人仍留在大草地上，到晚上把草割完，另一半人去地上，到晚上把草割完，另一半人去割小草地的草，到晚上還剩下一小塊，割小草地的草，到晚上還剩下一小塊，最后由一人再用一天的時(shí)間剛好割最后由一人再用一天的時(shí)間剛好割完如果這組割草人每天割草速度是完如果這組割草人每天割草速度是相等的，問他們共有多少人？相等的，問他們共有多少人？35沐風(fēng)教育（4 4）整體設(shè)元）整體設(shè)元 在某些應(yīng)用題中，直接設(shè)元相在某些應(yīng)用題中，直接設(shè)元相當(dāng)困難，就是間接設(shè)元，也會(huì)感到未當(dāng)困難，就是間接設(shè)元，也會(huì)感到未知數(shù)太多，已知關(guān)系太少如果在未知數(shù)太多，已知關(guān)系太少如果在未知數(shù)的某一部分中存在一個(gè)整體關(guān)系，知數(shù)的某一部分中存在一個(gè)整體關(guān)系，可設(shè)這一部分為一個(gè)未知量，這樣就可設(shè)這一部分為一個(gè)未知量，這樣就減少了設(shè)元的個(gè)數(shù)，從而易列出方程減少了設(shè)元的個(gè)數(shù)，從而易列出方程(組組)這種設(shè)元方法稱之為整體設(shè)這種設(shè)元方法稱之為整體設(shè)元元 36沐風(fēng)教育例例1717、一個(gè)五位數(shù)的最高位上數(shù)字是、一個(gè)五位數(shù)的最高位上數(shù)字是5 5，若將這個(gè)若將這個(gè)5 5移至最右邊的數(shù)位上，這所移至最右邊的數(shù)位上，這所得的五位數(shù)比原數(shù)的得的五位數(shù)比原數(shù)的2/32/3多多70017001，求原，求原五位數(shù)。五位數(shù)?！咀ⅰ俊咀ⅰ看祟}中的原五位數(shù)后四位組成的此題中的原五位數(shù)后四位組成的數(shù)在題中沒有變化，故可設(shè)其為數(shù)在題中沒有變化，故可設(shè)其為x x若若分別設(shè)個(gè)十百千上的數(shù)字，則有四個(gè)未分別設(shè)個(gè)十百千上的數(shù)字，則有四個(gè)未知量，僅一個(gè)相等關(guān)系，無法解題知量，僅一個(gè)相等關(guān)系，無法解題37沐風(fēng)教育 列方程解應(yīng)用題中的設(shè)元問題是列方程解應(yīng)用題中的設(shè)元問題是一個(gè)十分廣泛、靈活而有趣的內(nèi)容，一個(gè)十分廣泛、靈活而有趣的內(nèi)容，沒有一種萬能的方法，沒有一種必由沒有一種萬能的方法，沒有一種必由的途徑總之，設(shè)元的宗旨要使列方的途徑總之，設(shè)元的宗旨要使列方程的思路簡捷，列出的方程的解法容程的思路簡捷，列出的方程的解法容易在學(xué)習(xí)中必須靈活運(yùn)用切忌生易在學(xué)習(xí)中必須靈活運(yùn)用切忌生搬硬套搬硬套 38沐風(fēng)教育三、小結(jié)：三、小結(jié)：列方程解應(yīng)用題的原理是：正確列出的列方程解應(yīng)用題的原理是：正確列出的方程能準(zhǔn)確地表達(dá)出題目中各量之間的關(guān)方程能準(zhǔn)確地表達(dá)出題目中各量之間的關(guān)系就是說，方程即表達(dá)了題意，這樣方程系就是說，方程即表達(dá)了題意，這樣方程中未知數(shù)的值能使方程成立，也就符合題中未知數(shù)的值能使方程成立，也就符合題意意 我們對(duì)間接未知數(shù)的作用有了一個(gè)初步我們對(duì)間接未知數(shù)的作用有了一個(gè)初步的了解，它是我們從已知通向未知，從復(fù)雜的了解，它是我們從已知通向未知，從復(fù)雜通向簡單，從困難通向容易的一座橋梁。正通向簡單，從困難通向容易的一座橋梁。正因?yàn)槿绱耍谶x擇哪一個(gè)未知數(shù)作為間接未因?yàn)槿绱?，在選擇哪一個(gè)未知數(shù)作為間接未知數(shù)時(shí)，要經(jīng)過認(rèn)真思考，為此一定要弄清知數(shù)時(shí)，要經(jīng)過認(rèn)真思考，為此一定要弄清題意，弄清題目中已知數(shù)與未知數(shù)之間的數(shù)題意，弄清題目中已知數(shù)與未知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系。量關(guān)系。39沐風(fēng)教育四、課后練習(xí)：四、課后練習(xí)：1 1、現(xiàn)有含鹽、現(xiàn)有含鹽1515的鹽水的鹽水350350克，稀釋成克，稀釋成含鹽含鹽2 2的鹽水，問應(yīng)加水多少克？的鹽水，問應(yīng)加水多少克？2 2、甲、乙兩人從同一村莊步行去縣城，、甲、乙兩人從同一村莊步行去縣城，甲比乙早出發(fā)甲比乙早出發(fā)1 1小時(shí)，而晚到小時(shí)，而晚到1 1小時(shí)，甲小時(shí)，甲每小時(shí)走每小時(shí)走4 4千米，乙每小時(shí)走千米，乙每小時(shí)走6 6千米，求千米，求從村莊到縣城的路程？從村莊到縣城的路程？3 3、三個(gè)數(shù)中每兩個(gè)數(shù)之和分別是、三個(gè)數(shù)中每兩個(gè)數(shù)之和分別是2727、2828、2929，求這三個(gè)數(shù)，求這三個(gè)數(shù) 40沐風(fēng)教育4 4、李偉從家里騎摩托車到火車站，如、李偉從家里騎摩托車到火車站，如果每小時(shí)行果每小時(shí)行3030千米，那么比火車開車千米，那么比火車開車時(shí)間早到時(shí)間早到1515分鐘；若每小時(shí)行分鐘；若每小時(shí)行1818千米，千米，則比火車開車時(shí)間遲到則比火車開車時(shí)間遲到1515分鐘現(xiàn)在分鐘現(xiàn)在李偉打算在火車開車前李偉打算在火車開車前1010分鐘趕到火分鐘趕到火車站，李偉此時(shí)騎摩托車的速度應(yīng)該車站，李偉此時(shí)騎摩托車的速度應(yīng)該是多少？是多少？41沐風(fēng)教育5 5、從兩塊重量分別為、從兩塊重量分別為1212千克和千克和8 8千克，千克，并且含銅百分?jǐn)?shù)不同的合金上，分別并且含銅百分?jǐn)?shù)不同的合金上，分別切下重量相同的一塊，并把所切下的切下重量相同的一塊，并把所切下的一塊與另外一種合金所剩下的部分合一塊與另外一種合金所剩下的部分合在一起熔煉，形成兩塊新的合金，并在一起熔煉，形成兩塊新的合金，并且這兩塊新合金的含銅百分?jǐn)?shù)相同，且這兩塊新合金的含銅百分?jǐn)?shù)相同，問開始在每種合金上切下的一部分重問開始在每種合金上切下的一部分重量是多少千克？量是多少千克？42沐風(fēng)教育6 6、一船往返于甲、乙兩個(gè)碼頭之間，、一船往返于甲、乙兩個(gè)碼頭之間，由甲到乙是順?biāo)业郊资悄嫠?，由甲到乙是順?biāo)?，乙到甲是逆水，并知船在靜水中的速度為并知船在靜水中的速度為8 8千米千米/時(shí)，時(shí)，平時(shí)逆水行與順?biāo)幸淮蔚臅r(shí)間比平時(shí)逆水行與順?biāo)幸淮蔚臅r(shí)間比為為2121，某天恰逢暴雨，水流速度，某天恰逢暴雨，水流速度是原來的是原來的2 2倍，這條船往返甲、乙兩倍，這條船往返甲、乙兩碼頭之間一次共用碼頭之間一次共用9 9小時(shí)，求甲、乙小時(shí)，求甲、乙兩碼頭間的距離是多少千米？兩碼頭間的距離是多少千米？43沐風(fēng)教育