,歡迎選修線性代數,朱立永,北京航空航天大學數學與系統(tǒng)科學學院,這一講的主要內容,這門課程的主要內容這門課程的特點及考核方式行列式的定義,線性代數課程簡介,英文名字：LinearAlgebra線性代數是討論有限維空間中線性關系經典理論的課程；它具有較強的抽象性和邏輯性，是理工科大學本科各專業(yè)的重要基礎理論課；本課程不僅是學生必須掌握的數學基礎，同時也在現代科學技術的各個領域有著十分廣泛的應用。,本課程的主要內容,行列式（第1章)矩陣（第2章)向量的線性相關性（第3章)線性方程組（第4章)矩陣的相似標準型（第5章)二次型（第6章)線性空間（第7章-自學內容）線性變換（第8章自學內容）線性代數的一些應用（第9章-自學內容）,主要教材線性代數，高宗升周夢李紅裔編，北京航空航天大學出版社，2009。其它參考書（1）線性代數，周德潤等編，北京航空航天大學出版社，1996（2）線性代數，同濟大學數學教研室編，高等教育出版社（3）線性代數，謝邦杰編，人民教育出版社，1978（4）高等代數，北京大學數學系編，北京大學出版社，2003（5）線性代數復習必備，自印。,參考資料,本門課程的特點,具有較強的抽象性和邏輯性各部分內容有緊密的聯系,課程安排及考核方式,總學時：48=36課內學時+12學時習題課課內教師講授，課外學生自學與作習題考核方式及成績評定1.期末閉卷筆試，占總成績的902平時作業(yè)占10,其它要注意的幾點,課前一定要做好預習課后要認真完成作業(yè)有問題要及時問（baidu/google），（答疑時間和地點?)辦公室：學院路校區(qū)圖書館西配樓519室，Email：liyongzhu,第一章行列式,行列式是由解線性方程組引進的，是研究線性代數的重要工具，它在自然科學的許多領域有著廣泛的應用。,本章的主要內容,1.1n階行列式,1.1.1排列與逆序,1.1.2二階與三階行列式,1.1.3n階行列式的定義,1.1.1排列與逆序,定義1.1.1由自然數1，2，n組成的一個有序數組稱為一個n階排列，記為j1,j2,jn,1，2，n可組成n！個不同的n階排列按數字的自然順序由小到大的排列稱為標準排列或自然排列.,定義1.1.2在一個排列中，若一個較大的數排在一個較小的數的前面，則稱這兩個數構成一個逆序.一個排列中所有逆序的總數稱為這個排列的逆序數.用(j1,j2,jn)表示排列j1,j2,jn的逆序數.逆序數是偶數的排列稱為偶排列，逆序數是奇數的排列稱為奇排列.,對一個n階排列j1,j2,jn，如何求它的逆序數呢？,設這個排列中排在j后面比j小的數的個數為(j)，則排列j1,j2,jn的逆序數為,(j1,j2,jn)=(j1)+(j2)+(jn-1),例1.1.1求排列32514與n(n-1)321的逆序數.,定義1.1.3把一個排列中某兩個數的位置互換，而其余的數不動，就得到一個新的排列，這種變換稱為排列的一個對換.,定理1.1.1一次對換改變排列奇偶性.,推論任何一個n階排列都可以通過對換化成標準排列,并且所作對換的次數的奇偶性與該排列的奇偶性相同.,1.1.2二階與三階行列式,設二元一次線性方程組,（1.1.6）,用消元法去解此方程組，得,（1.1.7）,為了便于記憶，引入記號,(1.1.8),式(1.1.8)稱為二階行列式.D中橫寫的稱為行，豎寫的稱為列.數aij稱為行列式的元素,它的第一個下標i表示這個元素所在的行，稱為行指標，第二個下標j表示這個元素所在的列，稱為列指標.,行列式中從左上角到右下角的連線稱為主對角線，從右上角到左下角的連線稱為副對角線.由(1.1.8)可知，二階行列式的值是主對角線上元素a11,a22的乘積減去副對角線上元素a12,a21的乘積.按照這個規(guī)則，我們有,二元線性方程組（1.1.6）的解可用二階行列式表示成,同理，考慮三元一次線性方程組,(1.1.9),應用消元法先后消去x2和x3，得到,把x1的系數記為式(1.1.10）,類似:三階行列式對角線法則:實線上元素之積為正,虛線上元素之積為負.,由于D中共有三行三列,我們把它稱為三階行列式.因為它由方程組(1.1.9)中變元的系數組成,又稱其為方程組(1.1.9)的系數行列式.如果D0,容易算出方程組(1.1.9)有唯一解:,其中Dj(j=1,2,3)分別是在D中把第j列的元素換成方程組(1.1.9)右端的常數項b1,b2,b3得到.,由上面的討論,自然會想到如何把二階、三階行列式推廣到一般的n階行列式,并用它來表達由n個未知量n個方程所組成的線性方程組的解.通過觀察二階、三階行列式,發(fā)現它們有以下特點：,(1)二階、三階行列式的每一項都是取自不同行不同列的元素的乘積,其代數和即為該行列式之值.二階行列式有2!項，三階行列式有3!項.,(2)代數和中每一項前的符號有以下規(guī)律：行指標取成標準排列時，由列指標組成排列的奇偶性決定每項前的正負號,偶者為正,奇者為負.,綜上,我們有,1.1.3n階行列式的定義,定義1.1.4由n2個元素排成n行n列,以,記之，稱其為n階行列式,它代表一個數值.此數值是取自上式中不同行不同列的n個元素,乘積的代數和，其中j1,j2,jn是數字1,2,n的某一個排列，故共有n!項。,每項前的符號按下列規(guī)定：當j1,j2,jn為偶排列時取正號，當j1,j2,jn為奇排列時取負號，即,(1.1.11),表示對1,2,n這n個數組成的所有排列j1,j2,jn取和.,其中,當n=1時,即為一階行列式,我們規(guī)定|a|=a;n=2,3時,即為前面定義的二階、三階行列式.,為了書寫方便,n階行列式也可記為Dn=|aij|n.,例1.1.2計算n階下三角形行列式,特別地,對于對角形行列式,有,例1.1.3計算n階行列式,在行列式的定義中,我們規(guī)定n個元素相乘時,元素的行指標按標準排列,由列指標排列的逆序數決定各項前的正負號.那么能否在定義中n個元素的相乘項里把元素的列指標排列按標準排列,而由行指標排列的逆序數決定各項前的正負號呢？,下面的定理回答了這一問題,定理1.1.2n階行列式也可定義為,(1.1.12),其中表示對1,2,n這n個數組成的所有排列i1,i2,in取和.,作業(yè),Page7習題1.1：4.（3）-（4）；6.,