《矩形的性質與判定》PPT課件.ppt
矩形,1.2.1矩形的性質,在小學,我們初步認識了長方形,觀察圖2-41中的長方形,它是什么平行四邊形嗎?它有什么特點呢?,圖2-41,這些四邊形的四個角都是直角.,我發(fā)現(xiàn)這些長方形的對邊平行且相等,因此,它們是平行四邊形.,有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形,也稱為長方形.,平行四邊形,矩形,矩形的四個角都是直角,對邊相等,對角線互相平分.,可以知道:,矩形是中心對稱圖形,對角線的交點是它的對稱中心.,由于矩形是平行四邊形,因此,如圖2-42,四邊形ABCD為矩形,那么對角線AC與DB相等嗎?,圖2-42,圖2-42,如圖,四邊形ABCD是矩形,,于是有AB=DC,CBA=BCD=90,BC=CB.,因此CBABCD.(SAS),從而AC=BD.,即矩形的對角線相等.,圖2-42,矩形的對角線相等.,由此得到矩形的性質:,圖2-43,解ABCD是矩形,,從而,AOB是等邊三角形.,AB=OA=2cm.,又AOB=60,,ABC=90,,在RtABC中,,圖2-43,解ABCD是矩形,,從而,在紙上畫一個矩形ABCD(如圖2-44),把它剪下來,怎樣折疊能使矩形在折痕兩旁的部分互相重合?滿足這個要求的折疊方法有幾種?由此猜測:矩形是軸對稱圖形嗎?如果是,它有幾條對稱軸?你的猜測正確嗎?,圖2-44,如圖,矩形ABCD的對角線相交于點O.,O,過點O作直線EFBC,且分別與邊BC,AD相交于點E,F(xiàn).,由于,因此OBC是等腰三角形,從而直線EF是線段BC的垂直平分線.,由于ADBC,因此EFAD.同理,直線EF是線段AD的垂直平分線.,因此點B和點C關于直線EF對稱,點A和點D關于直線EF對稱,從而在關于直線EF的軸反射下,矩形ABCD的像與它自身重合,因此矩形ABCD是軸對稱圖形,直線EF是矩形ABCD的一條對稱軸.,類似地,過點O作直線MNAB,且分別與邊AB,DC相交于點M,N,則點M,N分別是邊AB,DC的中點,直線MN是矩形ABCD的一條對稱軸.,矩形是軸對稱圖形,過每一組對邊中點的直線都是矩形的對稱軸.,由此得到:,已知矩形的一條對角線的長度為2cm,兩條對角線的一個夾角為60,求矩形的各邊長.,1.,答:矩形的各邊長分別為1cm和,2.如圖,四邊形ABCD為矩形,試利用矩形的性質說明:直角三角形ABC斜邊AC上的中線BO等于斜邊的一半.,例,如圖,在矩形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,若AOB=60,AB=4cm,則AC的長為cm.,8,矩形,1.2.2矩形的判定,矩形的四個角是直角,那么,四個角是直角的四邊形是矩形嗎?三個角是直角呢?兩個角是直角呢?,如圖2-46,四邊形ABCD的四個角都是直角.由于“同旁內角互補,兩直線平行”,因此ABDC,ADBC,從而四邊形ABCD是平行四邊形.所以ABCD是矩形.由此得到四個角是直角的四邊形是矩形.,圖2-46,三個角是直角的四邊形是矩形.,三個角是直角的四邊形,容易知道另一個角也是直角,由此得到:,從“矩形的對角線相等且互相平分”這一性質受到啟發(fā),你能畫出對角線長度為4cm的一個矩形嗎?這樣的矩形有多少個?,你能說出這樣畫出的四邊形一定是矩形的道理嗎?,如圖2-47,由畫法可知,四邊形ABCD的兩條對角線互相平分,因此它是平行四邊形,又已知其對角線相等,上述問題抽象出來就是:對角線相等的平行四邊形是矩形嗎?,我們來進行證明.,在ABCD中,由于AB=DC,AC=DB,BC=CB,,因此ABCDCB.(SSS),從而ABC=DCB.,又ABC+DCB=180,,于是ABC=90.,所以ABCD是矩形.,圖2-47,對角線相等的平行四邊形是矩形.,由此得到矩形的判定定理:,對角線相等的四邊形是矩形嗎?,圖2-48,舉例,(2)OBC是等腰三角形,其中OB=OC,,AC與DB相等且互相平分.,OBC是等腰三角形.,AC=2OC=2OB=BD.,ABCD是矩形.,圖2-48,例3如圖:在ABCD中,對角線AC、BD交于點O,EFAC,O是垂足,EF分別交AB、CD于點E、F,且BE=OE=0.5AE求證:ABCD是矩形,1.如圖,在四邊形ABCD中,A=B=C=D,求證:四邊形ABCD是矩形.,證明:因為四邊形中,A=B=C=D,四邊形的內角和為360,所以A=B=C=D=90,所以四邊形ABCD是矩形.(三個角是直角的四邊形是矩形.),2.如圖,在ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,AOB=60,AB=2,AC=4,求ABCD的面積.,解:OA=2,AB=2,,OAB是等腰三角形.,OAB是等邊三角形.,又AOB=60,,OA=OB=2,AC=BD=4.,ABCD是矩形.(對角線相等的平行四邊形是矩形.),作OEAD于點E.,E,在RtOAE中,AO=2,OE=1,,例,在四邊形ABCD中,對角線AC與BD互相平分,交點為O,在不添加任何輔助線的前提下,要使四邊形ABCD成為矩形,還需添加一個條件,這個條件可以是.,AC=BD或ABC,CDA,BAD,BCD之中有任一個角為直角,