第22章 二次函數(shù)一、選擇題1在下列關(guān)系式中，y是x的二次函數(shù)的關(guān)系式是（）A2xy+x2=1By2ax+2=0Cy+x22=0Dx2y2+4=02設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為x（x0），面積為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是（）Ay=x2By=Cy=Dy=3已知拋物線y=x28x+c的頂點(diǎn)在x軸上，則c等于（）A4B8C4D164若直線y=ax+b不經(jīng)過(guò)二、四象限，則拋物線y=ax2+bx+c（）A開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是y軸B開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是y軸C開(kāi)口向下，對(duì)稱軸平行于y軸D開(kāi)口向上，對(duì)稱軸平行于y軸5一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是（）ABCD6已知拋物線y=x2+mx+n的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，3），則m和n的值分別是（）A2，4B2，4C2，4D2，07對(duì)于函數(shù)y=x2+2x2，使得y隨x的增大而增大的x的取值范圍是（）Ax1Bx0Cx0Dx18拋物線y=x2（m+2）x+3（m1）與x軸（）A一定有兩個(gè)交點(diǎn)B只有一個(gè)交點(diǎn)C有兩個(gè)或一個(gè)交點(diǎn)D沒(méi)有交點(diǎn)9二次函數(shù)y=2x2+mx5的圖象與x軸交于點(diǎn)A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=，則m的值為（）A3B3C3或3D以上都不對(duì)10對(duì)于任何的實(shí)數(shù)t，拋物線y=x2+（2t）x+t總經(jīng)過(guò)一個(gè)固定的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)是（）A（1，0）B（1，0）C（1，3）D（1，3）二、填空題11拋物線y=2x+x2+7的開(kāi)口向 _，對(duì)稱軸是 _，頂點(diǎn)是 _12若二次函數(shù)y=mx23x+2mm2的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則m=_13如果把拋物線y=2x21向左平移1個(gè)單位，同時(shí)向上平移4個(gè)單位，那么得到的新的拋物線是_14對(duì)于二次函數(shù)y=ax2，已知當(dāng)x由1增加到2時(shí)，函數(shù)值減少4，則常數(shù)a的值是_15已知二次函數(shù)y=x26x+n的最小值為1，那么n的值是_16拋物線在y=x22x3在x軸上截得的線段長(zhǎng)度是_17設(shè)矩形窗戶的周長(zhǎng)為6m，則窗戶面積S（m2）與窗戶寬x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式是_，自變量x的取值范圍是_18設(shè)A、B、C三點(diǎn)依次分別是拋物線y=x22x5與y軸的交點(diǎn)以及與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，則ABC的面積是_19拋物線上有三點(diǎn)（2，3）、（2，8）、（1，3），此拋物線的解析式為_(kāi)20已知一個(gè)二次函數(shù)與x軸相交于A、B，與y軸相交于C，使得ABC為直角三角形，這樣的函數(shù)有許多，其中一個(gè)是_三、解答題21已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，2），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（2，3），求此二次函數(shù)的解析式22把拋物線y=ax2+bx+c向左平移2個(gè)單位，同時(shí)向下平移1個(gè)單位后，恰好與拋物線y=2x2+4x+1重合請(qǐng)求出a，b，c的值23二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的一部分如圖，已知它的頂點(diǎn)M在第二象限，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（0，1）（1）請(qǐng)判斷實(shí)數(shù)a的取值范圍，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)此二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，當(dāng)AMC的面積為ABC面積的倍時(shí)，求a的值24對(duì)于拋物線y=x2+bx+c，給出以下陳述：它的對(duì)稱軸為x=2； 它與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)為A、B；APB的面積不小于27（P為拋物線的頂點(diǎn)）求、得以同時(shí)成立時(shí)，常數(shù)b、c的取值范圍25分別寫(xiě)出函數(shù)y=x2+ax+3（1x1）在常數(shù)a滿足下列條件時(shí)的最小值：（l）0a；（2）a2.3（提示：可以利用圖象哦，最小值可用含有a的代數(shù)式表示）26已知OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，OA=10，OC=6，（1）如圖甲：在OA上選取一點(diǎn)D，將COD沿CD翻折，使點(diǎn)O落在BC邊上，記為E求折痕CD 所在直線的解析式；（2）如圖乙：在OC上選取一點(diǎn)F，將AOF沿AF翻折，使點(diǎn)O落在BC邊，記為G求折痕AF所在直線的解析式；再作GHAB交AF于點(diǎn)H，若拋物線過(guò)點(diǎn)H，求此拋物線的解析式，并判斷它與直線AF的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)（3）如圖丙：一般地，在以O(shè)A、OC上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)I、J，使紙片沿IJ翻折后，點(diǎn)O落在BC邊上，記為K請(qǐng)你猜想：折痕IJ所在直線與第（2）題中的拋物線會(huì)有幾個(gè)公共點(diǎn)；經(jīng)過(guò)K作KLAB與IJ相交于L，則點(diǎn)L是否必定在拋物線上將以上兩項(xiàng)猜想在（l）的情形下分別進(jìn)行驗(yàn)證第22章 二次函數(shù)參考答案一、選擇題1在下列關(guān)系式中，y是x的二次函數(shù)的關(guān)系式是（）A2xy+x2=1By2ax+2=0Cy+x22=0Dx2y2+4=0【解答】解：A、2xy+x2=1當(dāng)x0時(shí)，可化為y=的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、y2ax+2=0可化為y2=ax2不符合一元二次方程的一般形式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、y+x22=0可化為y=x2+2，符合一元二次方程的一般形式，故本選項(xiàng)正確；D、x2y2+4=0可化為y2=x2+4的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤故選C2設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為x（x0），面積為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是（）Ay=x2By=Cy=Dy=【解答】解：作出BC邊上的高ADABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為x，CD=x，高為h=x，y=x×h=x2故選：D3已知拋物線y=x28x+c的頂點(diǎn)在x軸上，則c等于（）A4B8C4D16【解答】解：根據(jù)題意，得=0，解得c=16故選D4若直線y=ax+b不經(jīng)過(guò)二、四象限，則拋物線y=ax2+bx+c（）A開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是y軸B開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是y軸C開(kāi)口向下，對(duì)稱軸平行于y軸D開(kāi)口向上，對(duì)稱軸平行于y軸【解答】解：直線y=ax+b不經(jīng)過(guò)二、四象限，a0，b=0，則拋物線y=ax2+bx+c開(kāi)口方向向上，對(duì)稱軸x=0故選A5一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是（）ABCD【解答】解：A、由一次函數(shù)y=ax+b的圖象可得：a0，此時(shí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象應(yīng)該開(kāi)口向上，錯(cuò)誤；B、由一次函數(shù)y=ax+b的圖象可得：a0，b0，此時(shí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象應(yīng)該開(kāi)口向上，對(duì)稱軸x=0，錯(cuò)誤；C、由一次函數(shù)y=ax+b的圖象可得：a0，b0，此時(shí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象應(yīng)該開(kāi)口向下，對(duì)稱軸x=0，正確D、由一次函數(shù)y=ax+b的圖象可得：a0，b0，此時(shí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象應(yīng)該開(kāi)口向下，錯(cuò)誤；故選C6已知拋物線y=x2+mx+n的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，3），則m和n的值分別是（）A2，4B2，4C2，4D2，0【解答】解：根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，得橫坐標(biāo)為： =1，解得m=2；縱坐標(biāo)為： =3，解得n=4故選B7對(duì)于函數(shù)y=x2+2x2，使得y隨x的增大而增大的x的取值范圍是（）Ax1Bx0Cx0Dx1【解答】解：y=x2+2x2=（x1）21，a=10，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線x=1，當(dāng)x1時(shí)，y隨x的增大而增大，故只有選項(xiàng)C，D這兩個(gè)范圍符合要求，又因?yàn)镃選項(xiàng)范圍包括選項(xiàng)D的范圍，故選：C8拋物線y=x2（m+2）x+3（m1）與x軸（）A一定有兩個(gè)交點(diǎn)B只有一個(gè)交點(diǎn)C有兩個(gè)或一個(gè)交點(diǎn)D沒(méi)有交點(diǎn)【解答】解：根據(jù)題意，得=b24ac=（m+2）24×1×3（m1）=（m4）2（1）當(dāng)m=4時(shí)，=0，即與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；（2）當(dāng)m4時(shí)，0，即與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；所以，原函數(shù)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)或兩個(gè)交點(diǎn)，故選C9二次函數(shù)y=2x2+mx5的圖象與x軸交于點(diǎn)A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=，則m的值為（）A3B3C3或3D以上都不對(duì)【解答】解：二次函數(shù)y=2x2+mx5的圖象與x軸交于點(diǎn)A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=2×（）=，解得：m=±3，故選：C10對(duì)于任何的實(shí)數(shù)t，拋物線y=x2+（2t）x+t總經(jīng)過(guò)一個(gè)固定的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)是（）A（1，0）B（1，0）C（1，3）D（1，3）【解答】解：把y=x2+（2t）x+t變形得到（1x）t=yx22x，對(duì)于任何的實(shí)數(shù)t，拋物線y=x2+（2t）x+t總經(jīng)過(guò)一個(gè)固定的點(diǎn)，1x=0且yx22x=0，x=1，y=3，即這個(gè)固定的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3）故選D二、填空題11拋物線y=2x+x2+7的開(kāi)口向 上，對(duì)稱軸是 x=1，頂點(diǎn)是 （1，6）【解答】解：y=x22x+7=（x1）2+6，二次項(xiàng)系數(shù)a=10，拋物線開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，6），對(duì)稱軸為直線x=1故答案為：上，x=1，（1，6）12若二次函數(shù)y=mx23x+2mm2的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則m=2【解答】解：由于二次函數(shù)y=mx23x+2mm2的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，代入（0，0）得：2mm2=0，解得：m=2，m=0；又m0，m=2故答案為：213如果把拋物線y=2x21向左平移1個(gè)單位，同時(shí)向上平移4個(gè)單位，那么得到的新的拋物線是y=2（x+1）2+3【解答】解：原拋物線的頂點(diǎn)為（0，1），向左平移1個(gè)單位，同時(shí)向上平移4個(gè)單位，那么新拋物線的頂點(diǎn)為（1，3）；可設(shè)新拋物線的解析式為y=2（xh）2+k，代入得：y=2（x+1）2+314對(duì)于二次函數(shù)y=ax2，已知當(dāng)x由1增加到2時(shí)，函數(shù)值減少4，則常數(shù)a的值是【解答】解：當(dāng)x=1時(shí)，y=ax2=a；當(dāng)x=2時(shí)，y=ax2=4a，所以a4a=4，解得a=故答案為：15已知二次函數(shù)y=x26x+n的最小值為1，那么n的值是10【解答】解：原式可化為：y=（x3）29+n，函數(shù)的最小值是1，9+n=1，n=10故答案為：1016拋物線在y=x22x3在x軸上截得的線段長(zhǎng)度是4【解答】解：設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)為：（x1，0），（x2，0），x1+x2=2，x1x2=3，|x1x2|=4，拋物線在y=x22x3在x軸上截得的線段長(zhǎng)度是4故答案為：417設(shè)矩形窗戶的周長(zhǎng)為6m，則窗戶面積S（m2）與窗戶寬x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式是S=x2+3x，自變量x的取值范圍是0x3【解答】解：由題意可得：S=x（3x）=x2+3x自變量x的取值范圍是：0x3故答案為：S=x2+3x，0x318設(shè)A、B、C三點(diǎn)依次分別是拋物線y=x22x5與y軸的交點(diǎn)以及與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，則ABC的面積是5【解答】解：令x=0，則y=5，即A（0，5）；設(shè)B（b，0），C（c，0）令y=0，則x22x5=0，則b+c=2，bc=5，則|bc|=2，則ABC的面積是×5×=5故答案為519拋物線上有三點(diǎn)（2，3）、（2，8）、（1，3），此拋物線的解析式為y=x2x+【解答】解：設(shè)此拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，把點(diǎn)（2，3）、（2，8）、（1，3）代入得，解得所以此拋物線的解析式為y=x2x+，故答案為：y=x2x+20已知一個(gè)二次函數(shù)與x軸相交于A、B，與y軸相交于C，使得ABC為直角三角形，這樣的函數(shù)有許多，其中一個(gè)是y=x2+3【解答】解：如圖所示：當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（3，0），C（0，3），則設(shè)拋物線解析式為：y=ax2+3，故0=9a+3，解得：a=，即拋物線解析式為：y=x2+3故答案為：y=x2+3三、解答題21已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，2），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（2，3），求此二次函數(shù)的解析式【解答】解：已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，2），設(shè)此二次函數(shù)的解析式為y=a（x1）22，把點(diǎn)（2，3）代入解析式，得：a2=3，即a=5，此函數(shù)的解析式為y=5（x1）2222把拋物線y=ax2+bx+c向左平移2個(gè)單位，同時(shí)向下平移1個(gè)單位后，恰好與拋物線y=2x2+4x+1重合請(qǐng)求出a，b，c的值【解答】解：將y=2x2+4x+1 整理得y=2x2+4x+1=2（x+1）21因?yàn)閽佄锞€y=ax2+bx+c 向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得y=2x2+4x+1=2（x+1）21，所以將y=2x2+4x+1=2（x+1）21向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位即得y=ax2+bx+c，故y=ax2+bx+c=2（x+12）1+1=2（x1）=2x24x+2，所以a=2，b=4，c=223二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的一部分如圖，已知它的頂點(diǎn)M在第二象限，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（0，1）（1）請(qǐng)判斷實(shí)數(shù)a的取值范圍，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)此二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，當(dāng)AMC的面積為ABC面積的倍時(shí)，求a的值【解答】解：（1）由圖象可知：a0圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），所以c=1，圖象過(guò)點(diǎn)（1，0），則a+b+1=0當(dāng)x=1時(shí)，應(yīng)有y0，則ab+10將a+b+1=0代入，可得a+（a+1）+10，解得a1所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為1a0；（2）此時(shí)函數(shù)y=ax2（a+1）x+1，M點(diǎn)縱坐標(biāo)為： =，圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：ax2（a+1）x+1=0，解得；x 1=1，x 2=，則AC=1=，要使SAMC=××=SABC=可求得a=24對(duì)于拋物線y=x2+bx+c，給出以下陳述：它的對(duì)稱軸為x=2； 它與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)為A、B；APB的面積不小于27（P為拋物線的頂點(diǎn)）求、得以同時(shí)成立時(shí)，常數(shù)b、c的取值范圍【解答】解：拋物線y=x2+bx+c=（x+）2+，拋物線y=x2+bx+c的對(duì)稱軸為x=2，=2，則b=4，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)是=c4，又它與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，=b24ac=164c0，且AB=2解得 c4，又APB的面積不小于27，×2×|c16|27，即×|c16|27由解得 c5綜上所述，b的值是4，c的取值范圍是c525分別寫(xiě)出函數(shù)y=x2+ax+3（1x1）在常數(shù)a滿足下列條件時(shí)的最小值：（l）0a；（2）a2.3（提示：可以利用圖象哦，最小值可用含有a的代數(shù)式表示）【解答】解：對(duì)稱軸x=，（1）當(dāng)0a時(shí)，即0，當(dāng)x=時(shí)有最小值，最小值y=（）2+a×（）+3=3，（2）當(dāng)a2.3即1.1，在1x1范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x=1時(shí)，y最小，最小值y=（1）2+a×（1）+3=4a26已知OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，OA=10，OC=6，（1）如圖甲：在OA上選取一點(diǎn)D，將COD沿CD翻折，使點(diǎn)O落在BC邊上，記為E求折痕CD 所在直線的解析式；（2）如圖乙：在OC上選取一點(diǎn)F，將AOF沿AF翻折，使點(diǎn)O落在BC邊，記為G求折痕AF所在直線的解析式；再作GHAB交AF于點(diǎn)H，若拋物線過(guò)點(diǎn)H，求此拋物線的解析式，并判斷它與直線AF的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)（3）如圖丙：一般地，在以O(shè)A、OC上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)I、J，使紙片沿IJ翻折后，點(diǎn)O落在BC邊上，記為K請(qǐng)你猜想：折痕IJ所在直線與第（2）題中的拋物線會(huì)有幾個(gè)公共點(diǎn)；經(jīng)過(guò)K作KLAB與IJ相交于L，則點(diǎn)L是否必定在拋物線上將以上兩項(xiàng)猜想在（l）的情形下分別進(jìn)行驗(yàn)證【解答】解：（1）由折法知：四邊形ODEC是正方形，OD=OC=6，D（6，0），C（0，6），設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，則，解得，直線CD的解析式為y=x+6（2）在直角ABG中，因AG=AO=10，故BG=8，CG=2，設(shè)OF=m，則FG=m，CF=6m，在直角CFG中，m2=（6m）2+22，解得m=，則F（0，），設(shè)直線AF為y=kx+，將A（10，0）代入，得k=，AF所在直線的解析式為：y=x+GHAB，且G（2，6），可設(shè)H（2，yF），由于H在直線AF上，把H（2，yF）代入直線AF：yF=×2+=，H（2，），又H在拋物線上， =×22+h，解得h=3，拋物線的解析式為y=x2+3，將直線y=x+，代入到拋物線y=x2+3，得x2+x=0，=4×（）×（）=0，直線AF與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）可以猜想以下兩個(gè)結(jié)論：折痕IJ所在直線與拋物線y=x2+3只有一個(gè)公共點(diǎn)；經(jīng)過(guò)K作KLAB與IJ相交于L，則點(diǎn)L一定在拋物線y=x2+3上驗(yàn)證，在圖甲的特殊情況中，I即為D，J即為C，G即為E，K也是E，KL即為ED，L就是D，將折痕CD：y=x+6代入y=x2+3中，得x2+x3=0，=14×（）×（3）=0，折痕CD所在的直線與拋物線y=x2+3只有一個(gè)公共點(diǎn)驗(yàn)證，在圖甲的特殊情況中，I就是C，J就是D，那么L就是D（6，0），當(dāng)x=6時(shí)，y=×62+3=0，點(diǎn)L在這條拋物線上