3.2數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,學(xué)習(xí)目標(biāo),1.會用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式，特別是絕對值不等式、平均值不等式和柯西不等式.2.了解貝努利不等式，學(xué)會貝努利不等式的簡單應(yīng)用.3.會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式.,預(yù)習(xí)自測,1.對任何實(shí)數(shù)x1和任何正整數(shù)n，有(1x)n1nx.2.設(shè)為有理數(shù)，x>1，如果01，則(1x)_1x，當(dāng)且僅當(dāng)_時等號成立.,x0,典例剖析知識點(diǎn)1用數(shù)學(xué)歸納法證明絕對值不等式,【例1】設(shè)x1，x2，xn為實(shí)數(shù)，證明：|x1x2xn|x1|x2|xn|.,1.證明不等式|sinn|n|sin|(nN).,證明(1)當(dāng)n1時，上式左邊|sin|右邊，不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時，命題成立，即有|sink|k|sin|.當(dāng)nk1時，|sin(k1)|sin(k)|sinkcoscosksin|sinkcos|cosksin|sink|sin|k|sin|sin|(k1)|sin|.即當(dāng)nk1時不等式成立.由(1)(2)可知，不等式對一切正整數(shù)n均成立.,知識點(diǎn)2用數(shù)學(xué)歸納法證明平均值不等式,【反思感悟】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的第二步，設(shè)nk時命題成立，證nk1時命題也成立時，往往要通過放縮法來實(shí)現(xiàn)nk1時命題所需要的形式.,2.證明：如果n(n為正整數(shù))個正數(shù)a1，a2，an的乘積a1a2an1，那么它們的和a1a2ann.,a3a4akak1ka1a2a1a2akak1(k1)a1a2ka1a2k1a1a2a1a21(a11)(a21)a1>1，a20a1a2akak1k1>0，即a1a2akak1>k1，當(dāng)nk1時命題成立由(1)(2)可知，對一切正整數(shù)n，如果n個正數(shù)a1，a2，an的乘積a1a2an1，那么它們的和a1a2ann成立.,知識點(diǎn)3用數(shù)學(xué)歸納法證明柯西不等式,【反思感悟】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，難點(diǎn)不在于數(shù)學(xué)歸納法的原理，而在于如何變形.放縮以便于用上假設(shè)，再經(jīng)過變形運(yùn)算使命題得證.,課堂小結(jié),數(shù)學(xué)歸納法能證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式，但并不是所有與正整數(shù)n有關(guān)的不等式都能用數(shù)學(xué)歸納法證明.證明不等式的難點(diǎn)在于對命題的變形.在推證nk1命題成立時，往往利用放縮法通過增加一些項(xiàng)(或舍去一些項(xiàng))或利用二項(xiàng)式定理后舍去一些項(xiàng)達(dá)到滿足nk1時所需要的形式.有時也會利用比較法證明nk1時命題成立.,隨堂演練,