第一章3平均值不等式,第1課時(shí)平均值不等式,學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握平均值不等式的特征結(jié)構(gòu).2.了解平均值不等式的推廣.3.會(huì)用平均值不等式解決相關(guān)問(wèn)題.,問(wèn)題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測(cè),題型探究,內(nèi)容索引,問(wèn)題導(dǎo)學(xué),知識(shí)點(diǎn)一二元平均值不等式,思考回顧a2b22ab的證明過(guò)程，并說(shuō)明等號(hào)成立的條件.,答案a2b22ab(ab)20，即a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，a2b22ab.,梳理(1)重要不等式定理1：對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，有a2b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”號(hào)).(2)二元平均值不等式定理2：對(duì)任意兩個(gè)正數(shù)a，b，有_(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號(hào)).定理2的應(yīng)用：對(duì)兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y，()如果它們的和S是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，它們的積P取得最值；()如果它們的積P是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，它們的和S取得最值.,ab,xy,大,xy,小,知識(shí)點(diǎn)二三元平均值不等式,思考類比二元平均值不等式：(a0，b0)，請(qǐng)寫(xiě)出a，b，cR時(shí)，三元平均值不等式.,梳理(1)定理3：對(duì)任意三個(gè)正數(shù)a，b，c，有a3b3c33abc(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取“”號(hào)).(2)定理4：對(duì)任意三個(gè)正數(shù)a，b，c，有(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取“”號(hào)).(3)平均值不等式的推廣,算術(shù)平均值,幾何平均值,題型探究,A.B.C.D.,類型一平均值不等式成立的條件,答案,解析,解析在中，lgxR，sinx1,1，不能確定lgx>0，sinx>0，因此錯(cuò)誤；,當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)取等號(hào)，故正確；,反思與感悟平均值不等式成立的條件(1)各項(xiàng)均為正數(shù).(2)當(dāng)且僅當(dāng)各項(xiàng)均相等時(shí)，“”才能成立.,跟蹤訓(xùn)練1設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且ab>0，下列不等式中一定成立的個(gè)數(shù)是,A.1B.2C.3D.4,當(dāng)a，b<0時(shí)，不成立；,當(dāng)a1，b2時(shí)，不成立.因此，成立，故選B.,答案,解析,類型二用平均值不等式證明不等式,當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立.,證明,引申探究,證明,當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào).,證明,證明,當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立.,反思與感悟證明不等式的方法(1)首先觀察所要證的式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及題目所給條件，看是否滿足“一正、二定、三相等”的條件.若滿足即可利用平均值不等式證明.(2)若題目不滿足該條件，則可靈活利用已知條件構(gòu)造出能利用三個(gè)正數(shù)的基本不等式的式子.,跟蹤訓(xùn)練2(1)已知a，b，cR，求證：a4b4c4a2b2b2c2c2a2；,證明,證明a4b42a2b2，同理a4c42a2c2，b4c42b2c2，將以上三個(gè)不等式相加，得a4b4a4c4b4c42a2b22a2c22b2c2，即a4b4c4a2b2a2c2b2c2，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立.,當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立.,證明,類型三證明不等式的技巧“1”的代換,證明,證明方法一a，b，c為正實(shí)數(shù)，且abc1，,方法二a，b，cR，且abc1，,當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立.,引申探究,證明,證明a2b22ab，,證明a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，a2b2b2c2a2c22ab2bc2ac，即2(a2b2c2)2ab2bc2ac，2(a2b2c2)a2b2c2a2b2c22ab2bc2ac(abc)21，,證明,證明a2b22ab，2(a2b2)(ab)2.,證明,反思與感悟用基本不等式證明不等式時(shí)，應(yīng)首先依據(jù)不等式兩邊式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行恒等變形，使之具備基本不等式的結(jié)構(gòu)和條件，然后合理地選擇基本不等式進(jìn)行證明.,證明a，b，cR且abc1，,由于上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘,證明,達(dá)標(biāo)檢測(cè),1,2,4,3,5,1.下列不等式中，正確的個(gè)數(shù)是,答案,解析,A.0B.1C.2D.3,1,2,4,3,5,解析顯然不正確；正確；,不正確，如a1，b4.,1,2,4,3,5,2.下列不等式的證明過(guò)程正確的是,答案,解析,1,2,4,3,5,解析對(duì)于A，a，b必須同號(hào)；對(duì)于B，cosx不一定大于0；對(duì)于C，由x0，,1,2,4,3,5,當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)，等號(hào)成立.,答案,解析,1,2,4,3,5,答案,解析,3,故函數(shù)的最小值為3.,1,2,4,3,5,證明a2b22ab，2(a2b2)a2b22ab(ab)21，,證明,規(guī)律與方法,1.應(yīng)用平均值不等式證明問(wèn)題時(shí)，如果能熟練掌握一些常見(jiàn)結(jié)論，可使應(yīng)用更加靈活快捷.對(duì)于二元平均值不等式有以下結(jié)論.,(5)a2b2c2abbcca.,2.對(duì)于三元平均值不等式有以下結(jié)論.,上式中a，b，c均為正數(shù)，等號(hào)成立的條件均為abc.,本課結(jié)束,