4.1.2圓的一般方程,目標導航,新知探求,課堂探究,新知探求素養(yǎng)養(yǎng)成,點擊進入情境導學,知識探究,1.圓的一般方程當D2+E2-4F>0時,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一個圓,此方程叫做圓的一般方程,其中圓心為,半徑長為.,2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的圖形,3.用“待定系數法”求圓的方程的大致步驟(1)根據題意,選擇標準方程或一般方程;(2)根據條件列出關于a,b,r或D,E,F的方程組;(3)解出a,b,r或D,E,F,代入標準方程或一般方程.,自我檢測,1.(圓的一般方程)已知圓x2+y2-4x+2y-4=0,則圓心坐標、半徑的長分別是()(A)(2,-1),3(B)(-2,1),3(C)(-2,-1),3(D)(2,-1),9,A,C,3.(圓的一般方程的應用)若直線l:ax-by+1=0平分圓C:x2+y2+2x-4y+1=0的周長,則a+2b的值為()(A)1(B)-1(C)4(D)-4,A,4.(求圓的一般方程)以點A(0,0),B(4,3)為直徑的兩個端點的圓的一般方程是.,答案:x2+y2-4x-3y=0,5.(與圓有關的軌跡問題)已知M(-2,0),N(2,0),則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程是.,答案:x2+y2=4(y0),題型一,二元二次方程與圓的關系,課堂探究素養(yǎng)提升,【思考】1.圓的一般方程的結構有什么特征?提示:x2和y2的系數相等均為1,沒有xy項.2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具備什么條件才能表示圓?提示:需同時具備三個條件:A=C0;B=0;D2+E2-4AF>0.,【例1】下列方程各表示什么圖形?若表示圓,求出其圓心和半徑.(1)x2+y2+x+1=0;(2)x2+y2+2ax+a2=0(a0);(3)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a0).,解:(1)D=1,E=0,F=1,D2+E2-4F=1-4=-3<0,所以方程(1)不表示任何圖形.(2)D=2a,E=0,F=a2,D2+E2-4F=4a2-4a2=0,所以方程(2)表示點(-a,0).,方法技巧判斷二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圓的方法(1)利用圓的一般方程的定義,求出D2+E2-4F利用其符號判斷.(2)將方程配方化為(x-a)2+(y-b)2=m的形式,根據m的符號判斷.,即時訓練1-1:下列方程能表示圓嗎?若能表示圓,求出圓心坐標和半徑.(1)2x2+y2-7x+5=0;(2)x2-xy+y2+6x+yt=0;(3)2x2+2y2-4x=0;(4)x2+y2-2x+6y-8=0.,解:(1)不能表示圓,因為方程中x2,y2的系數不相同.(2)不能表示圓,因為方程中含有xy項.(3)能表示圓,原方程經過約分、配方后得(x-1)2+y2=1,知此方程表示的圓的圓心為(1,0),半徑為1.,(2)將原方程轉化為(x+a)2+y2=a2(a0),表示圓,圓心為(-a,0),半徑r=|a|.,(4)將原方程轉化為(x+10)2+y2=102-162<0,不表示任何圖形.,(4)因為D2+E2-4F=202+02-4162=-624<0,所以不表示任何圖形.,解:(1)由于x2,y2的系數不相等,所以該二元二次方程表示的不是圓.(2)由于該二元二次方程中含有xy項,所以該二元二次方程表示的不是圓.(3)由于D2+E2-4F=4+16-24=-4<0,所以該二元二次方程表示的不是圓.,【備用例1】判斷下列方程是否表示圓,若是,寫出圓心和半徑.(1)3x2+y2+2x+1=0;(2)x2+y2+xy+1=0;(3)x2+y2+2x-4y+6=0;(4)x2+y2+x+2y+1=0;(5)x2+y2-4mx+2my+20m-20=0.,題型二,求圓的方程,【例2】(12分)已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求ABC外接圓的方程.,變式探究:若本例改為已知圓過A(2,2),C(3,-1),且圓關于直線y=x對稱,求圓的一般方程.,方法技巧對圓的一般方程和標準方程的選擇(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑來列方程的問題,一般采用圓的標準方程,再用待定系數法求出a,b,r.(2)如果已知條件和圓心或半徑都無直接關系,一般采用圓的一般方程,再利用待定系數法求出常數D,E,F.,【備用例2】求圓心在y=-x上且過兩點(2,0),(0,-4)的圓的一般方程,并把它化成標準方程.,題型三,求動點的軌跡方程(或軌跡),【例3】已知直角ABC的斜邊為AB,且A(-1,0),B(3,0),求:(1)直角頂點C的軌跡方程;,法二同法一得x3且x-1.由勾股定理得|AC|2+|BC|2=|AB|2,即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16,化簡得x2+y2-2x-3=0.因此,直角頂點C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0(x3且x-1).,(2)直角邊BC中點M的軌跡方程.,方法技巧求與圓有關的軌跡方程的常用方法(1)直接法:根據題目的條件,建立適當的平面直角坐標系,設出動點坐標,并找出動點所滿足的條件,并用坐標表示,化簡即得軌跡方程.(2)定義法:當動點的軌跡符合圓的定義時,可直接寫出動點的軌跡方程.(3)相關點法:若動點P(x,y)隨著圓上的另一動點Q(x1,y1)運動而運動,且x1,y1可用x,y表示,則可將Q點的坐標代入已知圓的方程,即得動點P的軌跡方程.,即時訓練3-1:(1)動圓x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0的圓心的軌跡方程為.(2)如圖,經過圓x2+y2=4上任意一點P作x軸的垂線,垂足為Q.求線段PQ的中點M的軌跡方程.,答案:(1)x-2y-1=0,【備用例3】已知線段AB的端點B的坐標為(8,6),端點A在圓C:x2+y2+4x=0上運動,求線段AB的中點P的軌跡方程,并說明它的軌跡是什么?,題型四,易錯辨析忽略二元二次方程表示圓的條件而致誤,【例4】已知圓的方程是x2+y2+kx+2y+k2=0,且點(1,2)在圓外,求k的取值范圍.,謝謝觀賞！,