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1、第五章彎曲應力,,,目錄,第五章彎曲應力,,,5-2純彎曲時的正應力,5-3橫力彎曲時的正應力,5-4彎曲切應力,5-6提高彎曲強度的措施,目錄,5-1純彎曲,回顧與比較,內力,應力,,,目錄,5-1純彎曲,彎曲時，截面上的分布內力系可以合成為剪力Fs、彎矩M。,平面對稱彎曲：梁有縱向對稱面，外力作用在此面內，梁的變形對稱于縱向對稱面。,純彎曲,梁段CD上，只有彎矩，沒有剪力－－純彎曲,梁段AC和BD上，既有彎矩，又有剪力－－橫力彎曲,,,5-1純彎曲,目錄,5-2純彎曲時的正應力,一、變形幾何關系,5-2純彎曲時的正應力,,平面假設：橫截面變形后保持為平面，且仍然垂直于變形后的梁軸線，只是繞

2、截面內某一軸線偏轉了一個角度。,單向受力假設：縱向纖維只承受單向拉、壓，相互之間沒有擠壓。,,（b）必然有一層纖維既不伸長，也不縮短，稱為中性層。,內部變形,將梁視為無數(shù)平行底面的縱向纖維層（垂直縱向對稱面），則：,（a）每層上的各條纖維伸、縮量相等。（同層上的纖維條受力相同）,,純彎曲變形的特點：橫截面繞中性軸產(chǎn)生相對轉動。,中性層與橫截面的交線為中性軸。,中性軸z垂直與梁的縱向對稱面（加載平面）。,,,,,5-2純彎曲時的正應力,目錄,建立坐標,(a),橫截面內正應力的分布,此式不能用于求應力，ρ未知。,(b),胡克定理,二、物理關系,,,中性軸過形心,截面對z軸的慣性矩,橫截面上法向分布

3、力系可以簡化為FN、My、Mz,dA,彎曲變形基本公式,EIz：截面抗彎剛度,yz為形心主軸,三、靜力學關系,彎曲正應力公式,σ——橫截面上距中性軸為y的點的應力。,M——橫截面上的彎矩。,Iz——橫截面對中性軸z的慣性矩。,M、y代絕對值，應力為拉應力或壓應力由彎矩方向確定。,與中性軸距離相等的點，正應力相等；,正應力大小與其到中性軸距離成正比；,中性軸上,正應力等于零,,應力分布圖,,,,,,,,,,,,,常見截面的IZ和WZ,圓截面,矩形截面,空心圓截面,空心矩形截面,,,5-2純彎曲時的正應力,目錄,5-3橫力彎曲時的正應力,,,目錄,彈性力學精確分析表明，當跨度l與橫截面高度h之比l

4、/h>5（細長梁）時，純彎曲正應力公式對于橫力彎曲近似成立。,橫力彎曲,橫力彎曲正應力公式,橫力彎曲最大正應力,,,目錄,5-3橫力彎曲時的正應力,細長梁的純彎曲或橫力彎曲,橫截面慣性積IYZ=0,彈性變形階段,公式適用范圍,彎曲正應力強度條件,1.等截面梁彎矩最大的截面上,2.離中性軸最遠處,4.脆性材料抗拉和抗壓性能不同，兩方面都要考慮,3.變截面梁要綜合考慮與,,,目錄,5-3橫力彎曲時的正應力,利用強度條件，可以進行三方面強度計算。,（1）校核強度；,（2）設計幾何尺寸；,（3）確定許可載荷；,解題思路：,（1）外力分析（一般要求反力）；,（2）內力分析（要畫內力圖）；,（3）應力分析

5、與強度計算。,確定許可載荷應先設定單位,,解：,（1）作彎矩圖，求最大彎矩。,（2）最大應力。,在固定端。,固定端截面彎矩為負，截面上半部受拉，下半部受壓。,,,,,1.C截面上K點正應力,2.C截面上最大正應力,3.全梁上最大正應力,4.已知E=200GPa，C截面的曲率半徑ρ,1.求支反力,（壓應力）,解：,,,例題5-1,目錄,5-3橫力彎曲時的正應力,2.C截面最大正應力,C截面彎矩,C截面慣性矩,,,目錄,5-3橫力彎曲時的正應力,3.全梁最大正應力,最大彎矩,截面慣性矩,,,目錄,5-3橫力彎曲時的正應力,4.C截面曲率半徑ρ,C截面彎矩,C截面慣性矩,,,目錄,5-3橫力彎曲時的

6、正應力,例題5－2、T字形截面鑄鐵梁受力及截面尺寸如圖所示，已知材料的許用拉應力[?t]=40MPa，許用壓應力[?C]=80MPa，該校核該梁的強度。,解：,（1）求反力,畫彎矩圖,3.5kN,13.5kN,,,,,,,（2）確定截面幾何性質,?求形心的位置,?求截面對形心軸z的慣性矩,Iz=7.64?106mm4,,,Iz=7.64?106mm4,正彎矩段：上壓、下拉，最大拉壓應力發(fā)生在C截面（M+max）,負彎矩段：上拉、下壓，最大拉壓應力發(fā)生在B截面（M-max）,梁上最大拉、壓應力,例7-2,要求校核強度。,強度滿足要求。,5-4彎曲切應力,,,目錄,分幾種截面形狀討論彎曲切應力,一

7、、矩形截面梁,1、橫截面上各點的切應力方向平行于剪力,2、切應力沿截面寬度均勻分布,關于切應力的分布作兩點假設：,5-4彎曲切應力,,,目錄,根據(jù)微段靜力平衡方程和切應力互等定理可以推導出橫截面上距離中性軸為y的橫線上的切應力為,Sz*—距中性軸為y的直線一側的面積對中性軸的靜矩。,Fs—截面上的剪力；,Iz—截面的對中性軸z的慣性矩；,b—截面上承受切應力的寬度；,,討論1、沿高度方向呈拋物線分布；2、中性軸上切應力最大；3、梁上下表面處切應力為零。,,矩形截面上的最大切應力為平均切應力1.5倍；,,5-4彎曲切應力,二、圓形截面梁,Fs,腹板是一狹長矩形，關于矩形截面的切應力的假設仍然成立

8、。,只討論腹板上的切應力,三、工字形截面,腹板上切應力近似均布，且承受了整個截面上97%的剪力。,中性軸上,在整個截面上,解：,最大彎矩,最大正應力,最大切應力,各個截面的剪力,若l＝5h，則?max＝0.05?max,可見，最大切應力遠小于最大正應力。,實心截面梁正應力與切應力比較,對于直徑為d的圓截面,5-4彎曲切應力,,,目錄,（l為梁的跨度）,實心截面梁正應力與切應力比較,對于寬為b、高為h的矩形截面,5-4彎曲切應力,,,目錄,（l為梁的跨度）,對于細長梁，控制因素為正應力。一般滿足了正應力強度條件，就滿足切應力強度條件。,梁的跨度較短（l/h<5），彎矩小、剪力大的梁，例如在支座附

9、近作用較大載荷（載荷靠近支座）；鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應比值時各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核切應力強度。薄壁截面梁,有些情況必須考慮彎曲切應力,彎曲切應力強度校核,一般而言，對于等直梁，梁上的最大切應力發(fā)生在剪力最大截面的中性軸上，且,型鋼可查表,是中性軸一側的面積對中性軸的靜矩。,切應力強度條件：,梁上的最大切應力?max≤[?],例題4-10圖示梁為工字型截面，跨長2a=4m、q=25KN/m；材料許用應力[s]=160MPa，[t]=100MPa。試選擇工字鋼型號。,2、內力分析——確定Fsmax、Mmax,解：1、外力分析——支反力,,,,

10、(-),3、按正應力強度條件選型鋼,查表選32a工字鋼,4、校核切應力,,因此，設計梁的主要依據(jù)是彎曲正應力強度條件。,梁的合理設計可從以下幾個方面考慮：,提高梁抗彎能力，也就是用盡可能少的材料，使梁承受盡可能大的載荷；或在載荷一定的情況下，減小最大應力，減小破壞的可能性。,1、合理安排梁的受力(降低最大彎矩）,2、選用合理的截面(增大彎曲截面系數(shù)）,3、采用變截面梁,,理論和實驗證明：,5-6提高彎曲強度的措施,1、合理安排梁的受力,（1）合理安排載荷,（2）分散載荷(從使用方案考慮),（3）調整支座位置（從設計角度）,(降低最大彎矩）,（1）合理安排載荷,1、合理安排梁的受力,(降低最大彎

11、矩）,（2）分散載荷(從使用方面考慮),1、合理安排梁的受力(降低最大彎矩）,若：,,（3）調整支座位置（從設計角度）,1、合理安排梁的受力(降低最大彎矩）,合理的支座位置應使最大正彎矩和最大負彎矩數(shù)值相等。,合理布置支座位置，使Mmax盡可能小。,移動支座后，可降低梁內的最大彎矩。,雙杠,,,當人在兩支座中點時，,當人在自由端點時，,合理的設計應使：,（1）在面積相等（即用材相等）的情況下，盡量增大彎曲截面系數(shù)。,2、選用合理的截面,即用最少的材料獲取最好的抗彎效果。,矩形截面梁豎放比平放抗彎效果好。,（2）在滿足所需彎曲截面系數(shù)的前提下，選擇適當截面，盡量減少面積，以達到減輕自重節(jié)約材料的

12、目的。,d=137,250000,3950,20b號h＝200,250000,10400,b=72h=144,250000,要求的Wz（mm3）,截面形狀,所需尺寸（mm）,14800,截面面積（mm2）,,采用關于中性軸對稱的截面,采用關于中性軸不對稱的截面,塑性材料,脆性材料,可調整各部分尺寸，使,（3）合理截面要符合材料的力學性能,理想情況：,,,3、采用變截面梁,以危險截面的彎矩設計梁的截面，而在其他截面的彎矩較小，材料不能被充分利用。,從強度的角度來看，如果在彎矩大的部位采用較大的截面，彎矩較小的部位采用較小的截面，就比較合理。截面尺寸沿梁軸線變化的梁叫變截面梁。,若各個截面上的最大應力都等于材料的許用應力，這種梁叫等強度梁。,設截面寬度不變，高度隨截面位置變化，,則：,由,得,例:設計等強度矩形截面懸臂梁。,由,得,由于等強度梁加工困難，因此采用近似的、便于加工的變截面梁。,汽車疊板彈簧,,,目錄,小結,,,1、了解純彎曲梁彎曲正應力的推導方法,2、熟練掌握彎曲正應力的計算、彎曲正應力強度條件及其應用,3、了解提高梁強度的主要措施,目錄,