三反證法與放縮法,第二講證明不等式的基本方法,學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解反證法的理論依據(jù)，掌握反證法的基本步驟，會用反證法證明不等式.2.理解用放縮法證明不等式的原理，會用放縮法證明一些不等式,問題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測,題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),知識點一反證法,思考什么是反證法？用反證法證明時，導(dǎo)出矛盾有哪幾種可能？,答案(1)反證法就是在否定結(jié)論的前提下推出矛盾，從而說明結(jié)論是正確的(2)矛盾可以是與已知條件矛盾，也可以是與已知的定義、定理矛盾,梳理反證法(1)反證法的定義：先假設(shè)要證明的命題不成立，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結(jié)論，以說明不正確，從而證明原命題成立(2)反證法證明不等式的一般步驟：假設(shè)命題不成立；依據(jù)假設(shè)推理論證；推出矛盾以說明，從而斷定原命題成立,正確的推理,假設(shè),假設(shè)不成立,知識點二放縮法,思考放縮法是證明不等式的一種特有的方法，那么放縮法的原理是什么？,答案不等式的傳遞性；等量加(減)不等量為不等量,梳理放縮法(1)放縮法證明的定義證明不等式時，通常把不等式中的某些部分的值或，簡化不等式，從而達(dá)到證明的目的這種方法稱為放縮法(2)放縮法的理論依據(jù)不等式的傳遞性等量加(減)不等量為同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較,放大,縮小,不等量,題型探究,類型一反證法證明不等式,命題角度1證明“否定性”結(jié)論,即ab2，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時等號成立,證明,(2)a2a2與b2b2不可能同時成立,證明假設(shè)a2a2與b2b2同時成立，則由a2a2及a0，得0a1；同理，0b1，從而ab1，這與ab1矛盾故a2a2與b2b2不可能同時成立,證明,反思與感悟當(dāng)待證不等式的結(jié)論為否定性命題時，常用反證法來證明，對結(jié)論的否定要全面不能遺漏，最后的結(jié)論可以與已知的定義、定理、已知條件、假設(shè)矛盾,跟蹤訓(xùn)練1設(shè)0a2,0b2,0c2，求證：(2a)c，(2b)a，(2c)b不可能都大于1.,證明,證明假設(shè)(2a)c，(2b)a，(2c)b都大于1，即(2a)c1，(2b)a1，(2c)b1，則(2a)c(2b)a(2c)b1，(2a)(2b)(2c)abc1.0a2,0b2,0c2，,同理(2b)b1，(2c)c1，(2a)a(2b)b(2c)c1，(2a)(2b)(2c)abc1，這與式矛盾(2a)c，(2b)a，(2c)b不可能都大于1.,命題角度2證明“至少”“至多”型問題,例2已知f(x)x2pxq，求證：(1)f(1)f(3)2f(2)2；,證明f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.,證明,則|f(1)|2|f(2)|f(3)|2，而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)2，矛盾，,證明,反思與感悟(1)當(dāng)欲證明的結(jié)論中含有“至多”“至少”“最多”等字眼時，若正面難以找到解題的突破口，可轉(zhuǎn)換視角，用反證法證明(2)在用反證法證明的過程中，由于作出了與結(jié)論相反的假設(shè)，相當(dāng)于增加了題設(shè)條件，因此在證明過程中必須使用這個增加的條件，否則將無法推出矛盾,證明,證明假設(shè)a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0，,30，且(x1)2(y1)2(z1)20，abc0，這與abc0矛盾，因此假設(shè)不成立a，b，c中至少有一個大于0.,類型二放縮法證明不等式,例3已知實數(shù)x，y，z不全為零，求證：,證明,由于x，y，z不全為零，故上述三式中至少有一式取不到等號，所以三式相加，得,反思與感悟(1)利用放縮法證明不等式，要根據(jù)不等式兩端的特點及已知條件(條件不等式)，謹(jǐn)慎地采取措施，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s，任何不適宜的放縮都會導(dǎo)致推證的失敗(2)一定要熟悉放縮法的具體措施及操作方法，利用放縮法證明不等式，就是采取舍掉式中一些正項或負(fù)項，或者在分式中放大或縮小分子、分母，或者把和式中各項或某項換成較大或較小的數(shù)，從而達(dá)到證明不等式的目的,證明,證明k(k1)k2k(k1)(kN且k2)，,分別令k2,3，n，得,將這些不等式相加，得,達(dá)標(biāo)檢測,1.用放縮法證明不等式時，下列各式正確的是,1,2,3,4,解析對于A，x的正、負(fù)不定；對于B，m的正、負(fù)不定；對于C，x的正、負(fù)不定；對于D，由絕對值三角不等式知，D正確,解析,答案,2.用反證法證明命題“a，b，c全為0”時，其假設(shè)為A.a，b，c全不為0B.a，b，c至少有一個為0C.a，b，c至少有一個不為0D.a，b，c至多有一個不為0,答案,1,2,3,4,1,2,3,4,a0，b0，ab,ab，a0，b0，ab.,解析,答案,1,2,3,4,證明,因為a，b，c均為小于3的正數(shù)，,1,2,3,4,顯然與相矛盾，假設(shè)不成立，故命題得證.,1,2,3,4,1.常見的涉及反證法的文字語言及其相對應(yīng)的否定假設(shè),規(guī)律與方法,2.放縮法證明不等式常用的技巧(1)增項或減項.(2)在分式中增大或減小分子或分母.,(4)利用函數(shù)的單調(diào)性等.,本課結(jié)束,