第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§4.1 數(shù)學(xué)期望,2,§4.1 數(shù)學(xué)期望,布萊士·帕斯卡,兩個(gè)賭徒甲、乙向他提出了一個(gè)問(wèn)題：甲乙兩個(gè)人賭博，兩人獲勝的機(jī)率相等，約定誰(shuí)先贏(yíng)滿(mǎn)5局，誰(shuí)就獲得100法郎。甲贏(yíng)了4局，乙贏(yíng)了3局，時(shí)間很晚了，他們都不想再賭下去了。那么，這個(gè)錢(qián)應(yīng)該怎么分？,甲的期望所得值就是0×0.25+100×0.75=75 乙的期望所得值就是0×0.75+100×0.25=25,一、數(shù)學(xué)期望的由來(lái),設(shè)X為甲獲得的法郎，Y為乙獲得的法郎,3,§4.1 數(shù)學(xué)期望,二、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為 P(X=xk) =pk, k=1,2, 若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，則稱(chēng)級(jí)數(shù) 為隨機(jī) 變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X),即,4,§4.1 數(shù)學(xué)期望,關(guān)于定義的幾點(diǎn)說(shuō)明,(1) E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的算術(shù)平均值不同 , 它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量 X 取可能值的真正的平均值, 也稱(chēng)均值.,(2) 級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性保證了級(jí)數(shù)的和不隨級(jí)數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變 , 之所以這樣要求是因?yàn)閿?shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量X 取可能值的平均值,它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變.,5,§4.1 數(shù)學(xué)期望,例1：設(shè)有10個(gè)同種電子元件，其中2個(gè)廢品。裝配儀器時(shí)，從這10個(gè)中任取1個(gè)，若是廢品，扔掉后重取1只，求在取到正品之前已取出的廢品數(shù)X的期望。,解：X的分布律為：,6,§4.1 數(shù)學(xué)期望,例2：某車(chē)站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一輛客車(chē)到站，但到站的時(shí)刻是隨機(jī)的，且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立。其規(guī)律為 一旅客8:20到車(chē)站，求他候車(chē)時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。,8:10 8:30 8:50 到站時(shí)刻 9:10 9:30 9:50 概率,7,§4.1 數(shù)學(xué)期望,例3：,8,§4.1 數(shù)學(xué)期望,三、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,9,§4.1 數(shù)學(xué)期望,例4：,10,例5：設(shè)X的概率密度為 求 解：,§4.1 數(shù)學(xué)期望,11,§4.1 數(shù)學(xué)期望,幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望,12,§4.1 數(shù)學(xué)期望,四、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,1. 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,若 Y=g(X), 且,則有,13,§4.1 數(shù)學(xué)期望,例6 設(shè),X,-2 0 2,0.4 0.3 0.3,P,則 E(X)=-2×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2,E(X 2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8,E(3X 2+5)= 3E(X 2) +5=13.4（思考）,14,§4.1 數(shù)學(xué)期望,2. 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,若 X 是連續(xù)型r.v, 其密度為 f (x) , 則g(X)的期望為,15,例7：,§4.1 數(shù)學(xué)期望,16,§4.1 數(shù)學(xué)期望,1. 設(shè) C 是常數(shù), 則有,證明,2. 設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量,C 是常數(shù), 則有,證明,例如,五、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),17,§4.1 數(shù)學(xué)期望,4. 設(shè) X, Y 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 則有,3. 設(shè) X, Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量, 則有,一般地， E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y),18,數(shù)學(xué)期望是一個(gè)實(shí)數(shù), 而非變量,它是一種加權(quán)平均, 與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量 X 取可能值的真正的平均值.,2. 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),§4.1 數(shù)學(xué)期望,六、小結(jié),19,§4.2 方差,20,§4.2 方差,現(xiàn)有兩批燈泡，第一批燈泡壽命為:一半約950小時(shí),另一半約1050小時(shí),平均壽命為1000小時(shí);第二批燈泡壽命為一半約1300小時(shí),另一半約700小時(shí),平均壽命為1000小時(shí)。 問(wèn)題：哪批燈泡的質(zhì)量更好？(質(zhì)量更穩(wěn)定),單從平均壽命這一指標(biāo)無(wú)法判斷，進(jìn)一步考察燈泡壽命X與均值1000小時(shí)的偏離程度。,21,§4.2 方差,一、 方差的定義,1、方差是一個(gè)特殊的函數(shù) g(X) =X-E(X)2 的期望； 2、方差用來(lái)度量隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望（即均值） 的偏離程度。,22,§4.2 方差,離散型隨機(jī)變量的方差,連續(xù)型隨機(jī)變量的方差,二、方差的計(jì)算,(1) 利用定義計(jì)算,23,§4.2 方差,證明,(2) 利用公式計(jì)算,24,§4.2 方差,證明,三、方差的性質(zhì),(1) 設(shè) C 是常數(shù), 則有,(2) 設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量, C 是常數(shù), 則有,證明,25,§4.2 方差,(3) 設(shè) X, Y 相互獨(dú)立, D(X), D(Y) 存在, 則,證明,注：相互獨(dú)立時(shí)，乘積的期望等于期望的乘積。,26,§4.2 方差,綜上：設(shè) X, Y 相互獨(dú)立, E(X),E(Y),D(X), D(Y) 存在, a,b,c是常數(shù),則,注意：對(duì)任意的隨機(jī)變量X、Y都有 E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y),27,例1：設(shè)隨機(jī)變量X具有0-1分布，其分布律為：,解：,§4.2 方差,28,§4.2 方差,例2：,解：,29,§4.2 方差,解,例3：,30,§4.2 方差,解,例4：,于是,31,§4.2 方差,解,例5：,32,§4.2 方差,33,§4.2 方差,34,§4.2 方差,35,§4.2 方差,契比雪夫不等式,36,§4.2 方差,四、小結(jié),1. 方差是一個(gè)常用來(lái)體現(xiàn)隨機(jī)變量 X 取值分散程度的量.,2. 方差的計(jì)算公式,37,