n 種不同的方法 1．2．1 排列 上課班別：高二 授課教師： 教材：人教版 選修 2—3 教學(xué)目標(biāo)： 1、知識(shí)與技能：了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法，從中體會(huì)“化歸”的數(shù)學(xué)思想， 并能運(yùn)用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。 2、過(guò)程與方法：能運(yùn)用所學(xué)的排列知識(shí)，正確地解決的實(shí)際問(wèn)題 3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：能運(yùn)用所學(xué)的排列知識(shí)，正確地解決的實(shí)際問(wèn)題. 教學(xué)重點(diǎn)：排列數(shù)公式的理解與運(yùn)用；排列應(yīng)用題常用的方法有直接法，間接法 教學(xué)難點(diǎn)：排列數(shù)公式的推導(dǎo) 授課類型：新授課 課時(shí)安排：1 課時(shí) 教 具：多媒體 內(nèi)容分析： 分類計(jì)數(shù)原理是對(duì)完成一件事的所有方法的一個(gè)劃分，依分類計(jì)數(shù)原理解題，首先明確要做的 這件事是什么，其次分類時(shí)要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，最后在確定的標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類.分 類要注意不重復(fù)、不遺漏，保證每類辦法都能完成這件事.分步計(jì)數(shù)原理是指完成一件事的任何方 法要按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分成幾個(gè)步驟，必須且只需連續(xù)完成這幾個(gè)步驟后才算完成這件事，每步中的 任何一種方法都不能完成這件事.分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的地位是有區(qū)別的，分類計(jì)數(shù)原理 更具有一般性，解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)往往需要先分類，每類中再分成幾步.在排列、組合教學(xué)的起始階 段，不能嫌羅嗦，教師一定要先做出表率并要求學(xué)生嚴(yán)格按原理去分析問(wèn)題. 只有這樣才能使學(xué)生 認(rèn)識(shí)深刻、理解到位、思路清晰，才會(huì)做到分類有據(jù)、分步有方，為排列、組合的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的 基礎(chǔ) 分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理既是推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式的基礎(chǔ)，也是解決排列、組合 問(wèn)題的主要依據(jù)，并且還常需要直接運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q問(wèn)題，這兩個(gè)原理貫穿排列、組合學(xué)習(xí)過(guò)程的 始終.搞好排列、組合問(wèn)題的教學(xué)從這兩個(gè)原理入手帶有根本性. 排列與組合都是研究從一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一組，并求有多少種不同 方法的問(wèn)題.排列與組合的區(qū)別在于問(wèn)題是否與順序有關(guān).與順序有關(guān)的是排列問(wèn)題，與順序無(wú)關(guān)是 組合問(wèn)題，順序?qū)ε帕?、組合問(wèn)題的求解特別重要.排列與組合的區(qū)別，從定義上來(lái)說(shuō)是簡(jiǎn)單的， 但在具體求解過(guò)程中學(xué)生往往感到困惑，分不清到底與順序有無(wú)關(guān)系. 教學(xué)過(guò)程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1 分類加法計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有 n 類辦法，在第一類辦法中有m 種不同 1 的方法，在第二類辦法中有 m 種不同的方法，……，在第 n 類辦法中有 m 種不同的方法 那么 2 n 完成這件事共有 N = m + m + + m 1 2 2.分步乘法計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成 n 個(gè)步驟，做第一步有 m 種不同的方 1 法，做第二步有 m 種不同的方法，……，做第 n 步有 m 種不同的方法，那么完成這件事有 2 n 第 1 頁(yè) N = m ´ m ´ ´ m 1 2 n  種不同的方法 二、講解新課： 問(wèn)題 1．從甲、乙、丙 3 名同學(xué)中選取 2 名同學(xué)參加某一天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中一名同學(xué)參加 上午的活動(dòng)，一名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的方法？ 圖 1.2 一 1 把上面問(wèn)題中被取的對(duì)象叫做元素，于是問(wèn)題可敘述為：從 3 個(gè)不同的元素 a , b ，。中 任取 2 個(gè)，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？所有不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb, 共有 3×2=6 種． 問(wèn)題 2．從 1,2,3,4 這 4 個(gè)數(shù)字中，每次取出 3 個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不同 的三位數(shù)？ 第 1 步，確定百位上的數(shù)字，在 1 , 2 , 3 , 4這 4 個(gè)數(shù)字中任取 1 個(gè)，有 4 種方法； 第 2 步，確定十位上的數(shù)字，當(dāng)百位上的數(shù)字確定后，十位上的數(shù)字只能從余下的 3 個(gè) 數(shù)字中去取，有 3 種方法； 第 3 步，確定個(gè)位上的數(shù)字，當(dāng)百位、十位上的數(shù)字確定后，個(gè)位的數(shù)字只能從余下的 2 個(gè)數(shù)字中去取，有 2 種方法． 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從 1 , 2 , 3 , 4 這 4 個(gè)不同的數(shù)字中，每次取出 3 個(gè)數(shù)字， 按“百”“十”“個(gè)”位的順序排成一列，共有 4×3×2=24 種不同的排法， 因而共可得到 24 個(gè)不同的三位數(shù)，如圖 1. 2 一 2 所示． 由此可寫出所有的三位數(shù)： 123，124, 132, 134, 142, 143， 213，214, 231, 234, 241, 243， 312，314, 321, 324, 341, 342， 412，413, 421, 423, 431, 432 。 同樣，問(wèn)題 2 可以歸結(jié)為： 從 4 個(gè)不同的元素 a, b, c，d 中任取 3 個(gè)，然后按照一定的順序排成一列，共有多少種 第 2 頁(yè) 不同的排列方法？ 所有不同排列是 abc, abd, acb, acd, adb, adc,bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb,dab, dac, dba, dbc, dca, dcb. 共有 4×3×2=24 種. 樹(shù)形圖如下 a b ｃ ｄ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｄ ａ ｂ ｄ ａ ｂ ｃ 2．排列的概念： 從 n 個(gè)不同元素中，任取 m （ m £ n ）個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順 序排成一列，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè)排列 （ 說(shuō)明： 1）排列的定義包括兩個(gè)方面：①取出元素，②按一定的順序排列； （2）兩個(gè)排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同 3．排列數(shù)的定義： 從 n 個(gè)不同元素中，任取 m（ m £ n ）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從 n 個(gè)元素中取出 m 元 素的排列數(shù)，用符號(hào) Am 表示 n “ 注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個(gè)排列”是指：從 n 個(gè)不同元素中，任取 m 個(gè)元素按照 一定的順序排成一列，不是數(shù)； 排列數(shù)”是指從 n 個(gè)不同元素中，任取 m （ m £ n ）個(gè)元素的 所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù) 所以符號(hào) Am 只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列 n 4．排列數(shù)公式及其推導(dǎo)： 求 A3 可以按依次填 3 個(gè)空位來(lái)考慮，∴ A3 = n(n - 1)(n - 2) ， n n 求 Am 以按依次填 m 個(gè)空位來(lái)考慮 Am = n(n - 1)(n - 2) n n (n - m + 1) ， 排列數(shù)公式： Am = n(n - 1)(n - 2) (n - m + 1) n （ m, n Î N *, m £ n ） （ 說(shuō)明： 1）公式特征：第一個(gè)因數(shù)是 n ，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè) 少 1，最后一個(gè)因數(shù)是 n - m + 1 ，共有 m 個(gè)因數(shù)； （2）全排列：當(dāng) n = m 時(shí)即 n 個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列 全排列數(shù)： An = n(n - 1)(n - 2) 2 ×1 = n ! （叫做 n 的階乘） n 另外，我們規(guī)定 0! =1 . Am = n An n An-m n-m  = n! (n - m)!  . 第 3 頁(yè) 例 7．(課本例 2)．某年全國(guó)足球甲級(jí)（A 組）聯(lián)賽共有 14 個(gè)隊(duì)參加，每隊(duì)要與其余各隊(duì)在 主、客場(chǎng)分別比賽一次，共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？ 解：任意兩隊(duì)間進(jìn)行 1 次主場(chǎng)比賽與 1 次客場(chǎng)比賽，對(duì)應(yīng)于從 14 個(gè)元素中任取 2 個(gè)元素 的一個(gè)排列．因此，比賽的總場(chǎng)次是 A2 =14×13=182. 14 例 8． (1）從 5 本不同的書中選 3 本送給 3 名同學(xué)，每人各 1 本，有多少種不同的送法？ (2）從 5 種不同的書中買 3 本送給 3 名同學(xué)，每人各 1 本，共有多少種不同的送法？ 解：(1）從 5 本不同的書中選出 3 本分別送給 3 名同學(xué)，對(duì)應(yīng)于從 5 個(gè)不同元素中任取 3 個(gè) 元素的一個(gè)排列，因此不同送法的種數(shù)是 A3 =5×4×3=60. 5 (2）由于有 5 種不同的書，送給每個(gè)同學(xué)的 1 本書都有 5 種不同的選購(gòu)方法，因此送給 3 名同學(xué)每人各 1 本書的不同方法種數(shù)是 5×5×5=125. 例 8 中兩個(gè)問(wèn)題的區(qū)別在于： ( 1 ）是從 5 本不同的書中選出 3 本分送 3 名同學(xué)，各 人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問(wèn)題；而（ 2 ）中，由于不同的人得到的書可能相同，因此不 符合使用排列數(shù)公式的條件，只能用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算． 例 9．(課本例 4)．用 0 到 9 這 10 個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分析： 在本問(wèn)題的。到 9 這 10 個(gè)數(shù)字中，因?yàn)?。不能排在百位上，而其他?shù)可以排在任意位置上， 因此。是一個(gè)特殊的元素．一般的，我們可以從特殊元素的排列位置人手來(lái)考慮問(wèn)題 解法 1 ：由于在沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，百位上 的數(shù)字不能是 O，因此可以分兩步完成排列．第 1 步，排 百位上的數(shù)字，可以從 1 到 9 這九個(gè)數(shù)字中任選 1 個(gè)， 有 A1 種選法；第 2 步，排十位和個(gè)位上的數(shù)字，可以從 9 余下的 9 個(gè)數(shù)字中任選 2 個(gè)，有 A2 種選法（圖 1.2 一 9 5) ．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，所求的三位數(shù)有 A1 A2 =9×9×8=648（個(gè)） . 9 9 解法 2：從 0 到 9 這 10 個(gè)數(shù)字中任取 3 個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為 A3 ，其中 O 在百位上的排列數(shù) 10 是 A2 ，它們的差就是用這 10 個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)， 9 A3 - A2 =10×9×8-9×8=648. 10 9 鞏固練習(xí)：書本 20 頁(yè)１，３,5,6 課外作業(yè)：第 27 頁(yè) 習(xí)題 1.2 A 組,4,5，6,7 教學(xué)反思： 排列的特征：一個(gè)是“取出元素”；二是“按照一定順序排列” ,“一定順序”就是與位 置有關(guān)，這也是判斷一個(gè)問(wèn)題是不是排列問(wèn)題的重要標(biāo)志。根據(jù)排列的定義，兩個(gè)排列相同， 且僅當(dāng)兩個(gè)排列的元素完全相同，而且元素的排列順序也相同 . 了解排列數(shù)的意義，掌握排列 數(shù)公式及推導(dǎo)方法，從中體會(huì)“化歸”的數(shù)學(xué)思想，并能運(yùn)用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。 第 4 頁(yè)