第六節(jié)拋物線A類：必記的內(nèi)容1. 拋物線的定義滿足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線：(1) 在平面內(nèi)；(2) 動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)尸距離與到定直線l的距離相等;(3) 定點(diǎn)不在定直線上.2. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形$末頂點(diǎn)0(0,0)對(duì)稱軸y=0x=0隹點(diǎn)八、八、F(p, 0)F( 2，0)F(0, p)F(0,p)離心率e=1準(zhǔn)線方程px=2x= px 2p y=2_p y=2范圍x30, y£RxW0, y£Ry30, x£RyW0, x£R開(kāi)口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0)pFf+2|PF|=0+2|PF|=y0+p|PF|=y0+pB類：必須明確的兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)1. 拋物線的定義中易忽視“定點(diǎn)不在定直線上”這一條件，當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，動(dòng) 點(diǎn)的軌跡是過(guò)定點(diǎn)且與直線垂直的直線.2. 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p易忽視只有p>0,才能證明其幾何意義是焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l 的距離，否則無(wú)幾何意義.試一試1. 拋物線y2=8x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是()A.1B.2C. 4D. 82. 動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)(1,0),且與直線x= 1相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為C類：必會(huì)的兩種方法1. 轉(zhuǎn)化思想在定義中應(yīng)用拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離常用定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.2. 與焦點(diǎn)弦有關(guān)的常用結(jié)論(以下圖為依據(jù))p2y1y2=p2，X1X2= 4"(2)|AB|=X+x2+p=有伊為AB的傾斜角).點(diǎn)+點(diǎn)為定值5(4) 以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.練一練1.若拋物線蔡=仲過(guò)點(diǎn)A(1, 9,則點(diǎn)A到此拋物線的焦點(diǎn)的距離為.2.已知過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A, B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，IAFI=2,則IBFI=，OAB 的面積是.D類：命題角度分析考點(diǎn)一拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)x2 y21.(2013-天津高考)已知雙曲線a2= 1(。0，b0)的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p >0)的準(zhǔn)線分別交于A, B兩點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2, AOB的面積為右, 則 p =()3A. 1B.2乙C.2D.32. (2013新課標(biāo)卷II)設(shè)拋物線C： y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)M在C上，MF = 5.若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2)，則C的方程為()A. y2=4x 或 y2=8xC. y2=4x 或 y2=16xB. y2=2x 或 y2=8xD. y2=2x 或 y2 = 16x3. 從拋物線x2=4y上一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M,且PMI = 5,設(shè)拋物線 的焦點(diǎn)為F,則MPF的面積為.類題通法1. 涉及拋物線幾何性質(zhì)的問(wèn)題常結(jié)合圖形思考，通過(guò)圖形可以直觀地看出拋物線的頂 點(diǎn)、對(duì)稱軸、開(kāi)口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性.2. 求拋物線方程應(yīng)注意的問(wèn)題(1) 當(dāng)坐標(biāo)系已建立時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件確定拋物線方程屬于四種類型中的哪一種；(2) 要注意把握拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開(kāi)口方向與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；(3) 要注意參數(shù)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用它的幾何意義來(lái)解決問(wèn)題.考點(diǎn)二拋物線的定義應(yīng)用與拋物線定義相關(guān)的最值問(wèn)題常涉及距離最短、距離和最小等等.歸納起來(lái)常見(jiàn)的 命題角度有：(1) 動(dòng)弦中點(diǎn)到坐標(biāo)軸距離最短問(wèn)題；(2) 距離之和最小問(wèn)題；(3) 焦點(diǎn)弦中距離之和最小問(wèn)題.角度一動(dòng)弦中點(diǎn)到坐標(biāo)軸距離最短問(wèn)題1. (2013鄭州質(zhì)檢)已知拋物線x2=4y上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦AB，則AB的中點(diǎn)到x軸 的最短距離為()a?bA.42C1D2角度二距離之和最小問(wèn)題2. (2014-哈爾濱四校統(tǒng)考)已知拋物線方程為y求p的取值范圍； 如果在x軸上只有一個(gè)點(diǎn)M，使MALMB，求 p的值及M的坐標(biāo).=4x，直線l的方程為xy+5 = 0,在 拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P 到 y軸的距離為",到直線l的距離為d2,則d1+d2的最小值為.角度三焦點(diǎn)弦中距離之和最小問(wèn)題3. 已知拋物線y2=4x，過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B分別作y 軸垂線，垂足分別為C、Q,則AC + BD的最小值為.類題通法與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題的解題策略該類問(wèn)題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).實(shí)現(xiàn)由點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的 轉(zhuǎn)化.(1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最 短”，使問(wèn)題得解.(2 )將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線 中垂線段最短”原理解決.考點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系A(chǔ)師生共研型典例(2014福州質(zhì)檢)已知曲線y2 = 2px(p>0)在第一象限內(nèi)與圓x2+y2 4x+1=0交 于不同的兩點(diǎn)A，B.類題通法求解直線與拋物線位置關(guān)系問(wèn)題的方法在解決直線與拋物線位置關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，其方法類似于直線與橢圓的位置關(guān)系.在解決 此類問(wèn)題時(shí)，除考慮代數(shù)法外，還應(yīng)借助平面幾何的知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解.針對(duì)訓(xùn)練已知過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為22的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2, y2)(%<x 2)兩點(diǎn)，且 iabi = 9.(1) 求該拋物線的方程；(2) 0為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若OC = OA +aOB，求久的值.E類：遷移應(yīng)用課堂練通考點(diǎn)1.已知m， n， m+n成等差數(shù)列，m， n， mn成等比數(shù)列，則拋物線mx2=ny的焦點(diǎn) 坐標(biāo)是()A.(0，DB.g °)C.0，£)D.Q，0)2. (2013福建模擬)設(shè)拋物線y2=6x的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為1，P為拋物線上一點(diǎn)，PALI，垂足為A，如果AP尸為正三角形，那么IP日等于()Hope Education-High School MathA. 4也B. 6-：BC. 6D. 123. （2013-鄭州質(zhì)檢）過(guò)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F作傾斜角為135。的直線交拋物線于A, B 兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為（）A. 4B. 8C.12D.164. （2014-遼寧五校聯(lián)考）設(shè)拋物線x2=12y的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2,1）的直線l與拋物線 相交于A, B兩點(diǎn)，又知點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn)，0AFI + IBFI=.5. （2014-廈門模擬）如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在 坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（1,2），A（x1，y1），B（x2, y2）均在拋物線上.（1）寫(xiě)出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求y1+y2的值及直線 AB的斜率.課下提升考能第I卷：夯基保分卷1. （2013-沈陽(yáng)模擬）拋物線x2=|y的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線l的距離是（A.2B.1c.21d.42.已知拋物線y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線與曲線x2+y26x 7 = 0相切，則p的值為（A.2B.1W/歧赦上，C1D1C.243. 已知拋物線y2=2px(p>0)，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A, B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()A. x 1B. x 1C. x=2D. x=2X2 y24. (2014-北京東城區(qū)期末)已知拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F與雙曲線了一；=1的右焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線與X軸的交點(diǎn)為"，點(diǎn)A在拋物線上，且axi = V2afi，則AAFK的面積 為()A. 4B. 8C. 16D. 325. (2014武漢調(diào)研)已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1,0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2)，則直線l的方程為.6. (2013江西高考)拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線|一號(hào)=1相交于 A，B兩點(diǎn)，若MBF為等邊三角形，則p=.7. 已知拋物線C： x2=4y的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)敬0，1)的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)， 點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D.(1) 證明：點(diǎn)F在直線BD上；8(2) 設(shè)FA FB =9，求DBK的平分線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).8. 已知過(guò)點(diǎn)A(-4,0)的動(dòng)直線l與拋物線G： x2=2py(p>0)相交于B, C兩點(diǎn).當(dāng)直 線l的斜率是2時(shí)，AC =4 AB .(1) 求拋物線G的方程;(2) 設(shè)線段BC的中垂線在y軸上的截距為，求b的取值范圍.第II卷：提能增分卷1. (2014淄博模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y2=4x相交于不同的A, B兩點(diǎn).(1) 如果直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，求OA OB的值；(2) 如果OA OB = -4，證明直線l必過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn).2，點(diǎn)p在當(dāng)M運(yùn)動(dòng)2. (2014-珠海模擬)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，設(shè)點(diǎn)F& 0)直線l： x=- 直線l上移動(dòng)，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，RQLFP, PQLl.(1) 求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程G(2) 設(shè)圓M過(guò)4(1,0)，且圓心M在曲線C上，TS是圓M在y軸上截得的弦， 時(shí)，弦長(zhǎng)|TS|是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由.3. (2014-長(zhǎng)春三校調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)2,?),點(diǎn)F為拋物線C：y=mx2(m>0)的焦點(diǎn)，線段MF恰被拋物線C平分.(1) 求m的值；(2) 過(guò)點(diǎn)M作直線l交拋物線C于A, B兩點(diǎn)，設(shè)直線FA, FM, FB的斜率分別為k, k2, k3,問(wèn)k, k2, k3能否成公差不為零的等差數(shù)列？若能，求直線l的方程；若不能，請(qǐng) 說(shuō)明理由.