1.2 展開與折疊【學(xué)習(xí)目標(biāo)】： 1 通過折疊幾何體，發(fā)展學(xué)生空間觀念，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。2  2能根據(jù)展開圖判斷和制作簡(jiǎn)單的立體模型。 3經(jīng)歷和體驗(yàn)圖形的變化過程，體會(huì)幾何體與它的展開圖之間的關(guān)系。 【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】：     利用模型將展開圖折疊成幾何體是重點(diǎn)。 【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】：不用模型，展開想象，由展開圖怎樣疊成幾何體?；A(chǔ)知識(shí)1棱柱的表面展開圖棱柱是由兩個(gè)完全相同的多邊形底面和一些長(zhǎng)方形側(cè)面圍成的沿棱柱表面不同的棱剪開就可以得到不同的表面展開圖如圖是棱柱的一種展開圖棱柱的表面展開圖是兩個(gè)完全相同的多邊形(底面)和幾個(gè)長(zhǎng)方形(側(cè)面)【例題點(diǎn)撥1】 如圖，請(qǐng)你在橫線上寫出哪種立體圖形的表面能展開成下面的圖形解析：(1)三棱柱兩個(gè)底面是三角形(2)六棱柱兩個(gè)底面是六邊形(3)長(zhǎng)方體兩個(gè)底面是長(zhǎng)方形(4)三棱柱兩個(gè)底面是三角形答案：三棱柱 六棱柱 長(zhǎng)方體 三棱柱2圓柱、圓錐的表面展開圖(1)圓柱的表面展開圖沿著圓柱的一條高把圓柱剪開，就得到圓柱的表面展開圖圓柱的表面展開圖是兩個(gè)圓(底面)和一個(gè)長(zhǎng)方形(側(cè)面)，如圖所示如果兩個(gè)底面圓在長(zhǎng)方形的同一側(cè)(如圖所示)，折疊后上端沒有底，下端有兩個(gè)底，則它不能折疊成圓柱(2)圓錐的表面展開圖如圖所示，圓錐的表面展開圖是一個(gè)圓(底面)和一個(gè)扇形(側(cè)面)【例題點(diǎn)撥2】 如圖所示圖形都是幾何體的展開圖，你能說出這些幾何體的名稱嗎？分析：主要根據(jù)頂點(diǎn)、棱、面的數(shù)量及側(cè)面展開圖的形狀進(jìn)行判斷解：圓錐、圓柱、五棱柱3平面圖形的折疊平面圖形沿某些直線折疊可以圍成一定形狀的立體圖形，與立體圖形展開成平面圖形是一個(gè)互逆過程我們已經(jīng)見過很多平面圖形了，但并不是所有的平面圖形都能折成幾何體根據(jù)平面展開圖判斷立體圖形的方法：(1)能夠折疊成棱柱的特征：棱柱的底面邊數(shù)側(cè)面的個(gè)數(shù)棱柱的兩個(gè)底面要分別在側(cè)面展開圖的兩側(cè)(2)圓柱的表面展開圖一定是兩個(gè)相同的圓形和一個(gè)長(zhǎng)方形(3)圓錐的表面展開圖一定是一個(gè)圓形和一個(gè)扇形(4)能夠折疊成正方體的特征：6個(gè)面都是完全相同的正方形正方體展開圖連在一起的(指在同一條直線上的)正方形最多只能為4個(gè)以其中1個(gè)為底面，前、后、左、右、上面都有，且不重疊4正方體展開圖上的數(shù)字問題正方體是立體圖形的展開與折疊的代表圖形，與正方體的展開圖有關(guān)的數(shù)字問題主要是相對(duì)面的找法，確定了三組相對(duì)面，數(shù)字問題便可迎刃而解正方體的平面展開圖共有11種，可分為四類：(1)141型相對(duì)面的確定：第一行與第三行的正方形是相對(duì)面；中間一行的4個(gè)正方形中，相隔一個(gè)是相對(duì)面(2)132型相對(duì)面的確定：第一行的正方形與第三行的左邊第1個(gè)正方形是相對(duì)面；中間一行第1個(gè)與第3個(gè)為相對(duì)面；第2個(gè)與第三行第2個(gè)為相對(duì)面(3)222型相對(duì)面的確定：第一行的第1個(gè)與第二行的第2個(gè)是相對(duì)面；第二行第1個(gè)與第三行的第2個(gè)是相對(duì)面；第三行的第1個(gè)與第一行的第2個(gè)為相對(duì)面(4)33型相對(duì)面的確定：第一行的第1個(gè)與第3個(gè)為相對(duì)面；第二行的第1個(gè)與第3個(gè)為相對(duì)面；第一行的第2個(gè)與第二行的第2個(gè)為相對(duì)面【例題點(diǎn)撥31】 如圖所示，哪些圖形經(jīng)過折疊可以圍成一個(gè)棱柱？分析：(1)底面是四邊形，側(cè)面有3個(gè)，顯然與三棱柱、四棱柱的特征不符；(3)的兩個(gè)底面在側(cè)面同側(cè)，折疊后也不能圍成棱柱；(2)(4)折疊后可以圍成棱柱解：(2)(4)可以【例題點(diǎn)撥32】 生活中我們經(jīng)?？梢砸姷礁鞣N各樣的包裝盒，你能用線將圖中的實(shí)物和它的平面展開圖連接起來嗎？分析：根據(jù)能折疊成不同幾何體的特征去判斷即可解：如圖所示【例例題點(diǎn)撥41】 如圖所示，假定用A，B表示正方體相鄰的兩個(gè)面，用字母C表示與A相對(duì)的面，請(qǐng)?jiān)谙旅娴恼襟w展開圖中填寫相應(yīng)的字母分析：先判斷屬于哪種類型，再確定相對(duì)面前三種的相對(duì)面都是隔一個(gè)即可；第四種的A與上面第一行中的第2個(gè)是相對(duì)面解：如圖所示【例例題點(diǎn)撥42】 要使圖中平面展開圖按虛線折疊成正方體后，相對(duì)面上兩個(gè)數(shù)之和為6，則x_，y_.解析：這里關(guān)鍵是要找到相對(duì)的面，折疊之后可知，x與1相對(duì)，所以x5，y與3相對(duì)，所以y3.答案：5 3【例例題點(diǎn)撥43】 小麗制作了一個(gè)對(duì)面圖案均相同的正方體禮品盒(如圖所示)，則這個(gè)正方體禮品盒的平面展開圖可能是( )解析：這個(gè)正方體的平面展開圖屬于141型的，根據(jù)規(guī)律可知，第一行的與第三行的為相對(duì)面，中間一行的第1個(gè)與第3個(gè)、第2個(gè)與第4個(gè)為相對(duì)面，故應(yīng)選A.答案：A5表面展開圖的應(yīng)用正方體與圖案正方體前面、上面、右面有不同的圖案，按不同的類型展開后，其圖案也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化根據(jù)展開圖判斷是否與模型對(duì)應(yīng)的方法：(1)三個(gè)面上的不同圖案不會(huì)對(duì)立，所以可排除三種圖案對(duì)立的情況；(2)位置判斷：相鄰三個(gè)面的圖案位置是否一致當(dāng)前面和上面的圖案確定位置后，另一個(gè)圖案是在左面還是右面，圖案放置的角度是否正確【例5】 圖中給出的是哪個(gè)正方體的展開圖？( )解析：顯然帶有黑色的面是相對(duì)的面，所以A，B錯(cuò)誤又因?yàn)閮蓚€(gè)黑色小正方形應(yīng)該是相對(duì)的，所以選D.答案：D基本方法【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1.下列第二行的哪種幾何體的表面能展開成第一行的平面圖形？請(qǐng)對(duì)應(yīng)連線。2.下列說法中正確的是 （ ）A、正方體是四面體 B、棱錐的底面一定是四邊形C、長(zhǎng)方體是四棱柱，四棱柱是長(zhǎng)方體 D、圓柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)方形1.有上圖每個(gè)圖形都是由6個(gè)全等的正方形組成的，其中不是正方體的展開圖的是（ ）A BCD3.將左邊的正方體展開能得到的圖形是 （ ） A B C D4. 如左上圖是一個(gè)正四面體，它的四個(gè)面都是正三角形，現(xiàn)沿它的三條棱AC、BC、CD剪開展成平面圖形，則所得的展開圖是（ ）5. 請(qǐng)你至少畫出同一個(gè)三棱柱的三種表面展開平面圖6.如圖（1）是一個(gè)小正方體的側(cè)面展開圖，小正方體從圖（2）所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，這時(shí)小正方體朝上一面的字是（ ） A奧 B運(yùn) C圣D火迎接奧運(yùn)圣火圖1迎接奧123圖25、下列圖形是某些幾何體的平面展開圖，說出這些幾何體的名稱： 6.圖3.3-4由六個(gè)正方形組成，將它們折疊可以組成一個(gè)正方體，正方體的表面編數(shù)碼為1、2、3、4、5、6。有3個(gè)面上的數(shù)字漏寫了，如果每一對(duì)面上的數(shù)的和都是7，求k的值。思路點(diǎn)撥：想象一下折疊成的正方體，如果k處于上面的話，3正好與k相對(duì)處于底面?！灸芰μ嵘?將如圖所示的正方體沿某些棱展開后，能得到的圖形是（ C ） 2下圖是某一立方體的側(cè)面展開圖，則該立方體是（ D ）ABCD3.如圖所示，用1、2、3、4標(biāo)出的四塊正方形，以及由字母標(biāo)出的八塊正方形中任意一塊，一共要用5塊連在一起的正方形折成一個(gè)無蓋方盒，共有幾種不同的方法？請(qǐng)選擇合適的方法。12344.如圖，正方體盒子中，一只螞蟻從B點(diǎn)沿正方體的表面爬到D1點(diǎn)，畫出螞蟻爬行的最短線路. 【解 析】正方體是空間圖形，解決空間圖形的問題，經(jīng)常是將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，這正是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn).將正方體展開成平面圖形，如圖所示，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短，所以，在圖中，BD1就是所要求的最短線路.思維擴(kuò)展1.如上圖，用白蘿卜等材料做一個(gè)正方體，并把正方體表面涂上顏色.（1）把正方體的棱二等分，然后沿等分線把正方體切開，得到8個(gè)小正方體.觀察其中三面被涂色的有a個(gè)，如圖,那么a等于 ；（2）把正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開，得到27個(gè)小正方體.觀察其中三面被涂色的有a個(gè)，各面都沒有涂色的b個(gè)，如圖,那么a+b= ； （3）把正方體的棱四等分，然后沿等分線把正方體切開，得到64個(gè)小正方體.觀察其中兩面被涂成紅色有c個(gè)，各面都沒有涂色的b個(gè)，如圖,那么b+c= . 2.某同學(xué)在制作正方體模型的時(shí)候，在方格紙上畫出幾個(gè)小正方形（圖上陰影部分），但是一不小心，少畫了一個(gè)，請(qǐng)你給他補(bǔ)上一個(gè)，可以組合成正方體，你有幾種畫法，在圖上用陰影注明。 答：畫圖如圖3.3-3，有四種方法。思路點(diǎn)撥：想象折疊成正方體時(shí)各個(gè)面所處的位置，看看缺哪個(gè)面，再確定在什么位置補(bǔ)畫。易錯(cuò)辨析：在想象困難時(shí)借助實(shí)物考慮。方法點(diǎn)評(píng)：平面圖形與立體圖形之間的轉(zhuǎn)換，在解題中應(yīng)盡可能充分地想象，或借助實(shí)物。 3.一只蜘蛛在一個(gè)正方體的頂點(diǎn)A處，一只蚊子在正方體的頂點(diǎn)B出，如圖3.3-7所示，現(xiàn)在蜘蛛想盡快地捉到這只蚊子，那么它所走的最短路線是怎樣的，在圖上畫出來，這樣的最短路線有幾條？ 思路點(diǎn)撥：欲求從A到B的最短路線，在立體圖形中難以解決，可以考慮把正方體展開成平面圖形來考慮。如圖3.2-8所示，我們都有這樣的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，在兩點(diǎn)之間，走直路路程最短，因而沿著從A到B的虛線走路程最短。然后再把展開圖折疊起來，在正方體上，象這樣最短的路線一共有六條。 4.給出兩個(gè)等邊三角形紙片如圖3.3-9，要求用其中一個(gè)剪成底面是等邊三角形的三棱錐，另一個(gè)剪成上下底面是等邊三角形的直三棱柱。請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種剪拼的方法，分別在圖上用虛線畫出來。6、把一個(gè)等腰三角形沿著中間的折痕剪開，得到兩個(gè)形狀和大小完全相同的直角三角形，將這兩個(gè)直角三角形拼在一起，使得它們有一條相等的邊是公共邊，能拼出多少種不同的幾何圖形？畫出這些圖形來。1236454下圖可以沿線折疊成一個(gè)帶數(shù)字的正方體，每三個(gè)帶數(shù)字的面交于正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，則相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面上的數(shù)字之和最小是( A ) （還原正方體）A 7 B 8 C 9 D 10 10