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1、第二節(jié)直線與圓的位置關(guān)系,第十章選考部分,,課前自修,知識(shí)梳理,一、與圓有關(guān)的角的概念1．圓心角：頂點(diǎn)在圓心，兩邊和圓相交的角叫做圓心角(如圖1中的∠AOB)．2．圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊和圓相交的角叫做圓周角(如圖2中的∠BAC)．3．弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角(如圖3中的∠BAT)．,二、與圓有關(guān)的角的性質(zhì)1．圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．2．圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)．推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等．推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90的圓周角所對(duì)的

2、弦是直徑．3．弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角．,三、圓的切線的判定和性質(zhì)1．圓的切線的判定：經(jīng)過(guò)圓的半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．2．圓的切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心．,四、與圓有關(guān)的比例線段1．相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等．2．割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等．3．切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．4．切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，

3、它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．,五、圓內(nèi)接四邊形的判定和性質(zhì)1．圓內(nèi)接四邊形的判定：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．2．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角．,六、直線和圓的位置關(guān)系：相切，相離，相交設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則有,相交,相切,相離,七、圓與圓的位置關(guān)系：相離，外切，相交，內(nèi)切，內(nèi)含設(shè)圓O1與圓O2的半徑分別為r1和r2，兩圓的圓心距為d，于是有：1．d>r1＋r2?兩圓相離．2．d＝r1＋r2?兩

4、圓外切．3．|r1－r2|

5、則∠CED＝________.,解析：連接BD，BD與EC相交于點(diǎn)F，設(shè)∠1＝∠CED，∠2＝∠DFE，因?yàn)椤?＝∠A＋∠ACE，∠2＝∠CDB＋∠ECD，∠CDB＝∠A，∠ECD＝∠ACE，所以∠1＝∠2，而∠ADB＝90，所以∠CED＝45.答案：45,4．(2012湖北卷)如圖所示，點(diǎn)D在⊙O的弦AB上移動(dòng)，AB＝4，連接OD，過(guò)點(diǎn)D作OD的垂線交⊙O于點(diǎn)C，則CD的最大值為_(kāi)_______.,解析：因?yàn)镃D＝，且OC為⊙O的半徑，是定值，所以當(dāng)OD取最小值時(shí)，CD取最大值．顯然當(dāng)OD⊥AB時(shí)，OD取最小值，故此時(shí)CD＝AB＝2，即為所求的最大值．答案：2,,考點(diǎn)探究,,考點(diǎn)一,與圓有關(guān)

6、的量的計(jì)算,【例1】AB是半圓O的直徑，C，D是半圓上的兩點(diǎn)，半圓O的切線PC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，∠PCB＝25，則∠ADC為_(kāi)_______．,思路點(diǎn)撥：連接BD，將∠ADC分為∠ADB和∠BDC，再用弦切角定理和直徑所對(duì)的角為90，可得到結(jié)論．,解析：連接BD.∵PC是⊙O的切線，∴∠BDC＝∠PCB＝25.又AB為直徑，∴∠ADB＝90，∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝∠ADB＋∠PCB＝115.答案：115,變式探究,1．(2011廣州市一模)如圖，CD是圓O的切線，切點(diǎn)為C，點(diǎn)A，B在圓O上，BC＝1，∠BCD＝30，則圓O的面積為_(kāi)_______．,答案：π,,考點(diǎn)二,圓的切線、

7、割線定理的應(yīng)用,【例2】(2012肇慶市一模)如圖所示，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PD為⊙O的一切線，D是切點(diǎn)，割線經(jīng)過(guò)圓心O，若∠EFD＝30，PD＝2，則PE＝______________.,解析：由已知∠EFD＝30得∠POD＝60,在Rt△POD中，∠P＝90－60＝30,OD＝PDtan30＝2，PO＝4，所以PF＝PO＋OF＝4＋2＝6，又由割線定理得PD2＝PEPF，解得PE＝2.答案：2,變式探究,2．如圖，EB是⊙O的直徑，A是BE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線AC，切點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線BC，交AC于點(diǎn)C，若EB＝BC＝6，則AD＝________.,解析：連接OD，∵AC

8、，BC都是⊙O的切線，∴CB⊥AB，AC⊥OD，∴CD＝CB＝6，AD2＝AEAB，且△ADO∽△ABC，,∴AB＝2AD.∵AD2＝AEAB，∴AD＝2AE.∵AO＝AE＋3，在Rt△ADO中，AO2＝AD2＋OD2，∴(AE＋3)2＝4AE2＋9，解之得，AE＝2，∴AD＝4.,【例3】如圖，AB是圓O的直徑，D為圓O上一點(diǎn)，過(guò)D作圓O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，若DA＝DC，求證：AB＝2BC.,證明：(法一)連接OD，則OD⊥DC，又OA＝OD，DA＝DC(如右圖)，所以∠DAO＝∠ODA＝∠DCO，∠DOC＝∠DAO＋∠ODA＝2∠DCO，所以∠DCO＝30，∠DOC＝60，所以O(shè)C

9、＝2OD，即OB＝BC＝OD＝OA，所以AB＝2BC.,(法二)連接OD，BD(如右圖)．因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以∠ADB＝90，AB＝2OB.因?yàn)镈C是圓O的切線，所以∠CDO＝90.又因?yàn)镈A＝DC，所以∠DAC＝∠DCA，于是△ADB≌△CDO，從而AB＝CO.即2OB＝OB＋BC，得OB＝BC.故AB＝2BC.,變式探究,3．(2012湖南卷)如圖所示，過(guò)點(diǎn)P的直線與⊙O相交于A，B兩點(diǎn)．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，則⊙O的半徑等于______．,解析：設(shè)圓的半徑為r，由圓的割線定理可得，PAPB＝(PO－r)(PO＋r)，把PA＝1，PB＝1＋2＝3，PO＝3代入求解得3＝9－

10、r2，∴r＝.答案：,,考點(diǎn)三,直線與圓的綜合問(wèn)題,【例4】(2012新課標(biāo)全國(guó)卷)如圖所示，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點(diǎn)．若CF∥AB，證明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.,證明：(1)因?yàn)镈，E分別為AB，AC的中點(diǎn),所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四邊形BCFD是平行四邊形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，連接AF，所以四邊形ADCF是平行四邊形，故CD＝AF.,因?yàn)镃F∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因?yàn)镕G∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，所以∠BGD＝∠BDG.由BC＝C

11、D知∠CBD＝∠CDB，而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.,變式探究,4．(2012深圳高級(jí)中學(xué)期末)如圖，AB是圓O的直徑，直線CE和圓O相切于點(diǎn)C，AD⊥CE于D，若AD＝1，∠ABC＝30，則圓O的面積是____．,解析：因?yàn)橹本€CE和圓O相切于點(diǎn)C，連接OC，則OC⊥DE.又AD⊥CE，所以O(shè)C∥AD，又∠ABC＝30，∴∠AOC＝60，∴△AOC為正三角形，所以∠ACO＝∠AOC＝60，所以∠ACD＝30，所以在Rt△ADC中,AC＝R＝2AD＝2，所以圓的面積為4π.答案：4π,,考點(diǎn)四,四點(diǎn)共圓問(wèn)題,【例5】如圖，已知△ABC的兩條角平分線AD和CE相交于H，

12、∠B＝60，F(xiàn)在AC上，且AE＝AF.(1)證明：B，D，H，E四點(diǎn)共圓；(2)證明：CE平分∠DEF.,證明：(1)在△ABC中，因?yàn)椤螧＝60，所以∠BAC＋∠BCA＝120.因?yàn)锳D，CE是角平分線，所以∠HAC＋∠HCA＝60，故∠AHC＝120.于是∠EHD＝∠AHC＝120.因?yàn)椤螮BD＋∠EHD＝180，所以B，D，H，E四點(diǎn)共圓．,(2)連接BH，則BH為∠ABC的平分線，得∠HBD＝30.由(1)知B，D，H，E四點(diǎn)共圓，所以∠CED＝∠HBD＝30.又∠AHE＝∠EBD＝60，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30.所以CE平分∠DEF.點(diǎn)評(píng)：抓住角度相等或互補(bǔ)，轉(zhuǎn)化為四

13、點(diǎn)共圓，另一方面，利用四點(diǎn)共圓，可以得到相關(guān)的角度相等．,變式探究,5．(2012深圳市松崗中學(xué)模擬)如圖，在△ABC中，∠A＝60，∠ACB＝70，CF是△ABC的邊AB上的高，F(xiàn)P⊥BC于點(diǎn)P，F(xiàn)Q⊥AC于點(diǎn)Q，則∠CQP的大小為_(kāi)_________．,解析：因?yàn)椤螦QF＝∠CPF＝90，所以P，C，Q，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，所以∠CQP＝∠CFP，在Rt△AFC和Rt△BFC中，∠PCF＝∠ACB－∠ACF＝70－30＝40，在Rt△CPF中，得∠CFP＝90－∠PCF＝50，所以∠CQP＝∠CFP＝50.答案：50,1．和圓有關(guān)的問(wèn)題，常常以與圓有關(guān)的角(圓心角、圓周角、弦切角等)作為條件，因此

14、熟練掌握、運(yùn)用這些角的性質(zhì)，是順利解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．和圓有關(guān)的問(wèn)題，常常要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，轉(zhuǎn)化為相似三角形問(wèn)題來(lái)解決.,,感悟高考,品味高考,1．(2012北京卷)如圖所示，∠ACB＝90，CD⊥AB于點(diǎn)D，以BD為直徑的圓與BC交于點(diǎn)E，則()A．CECB＝ADDBB．CECB＝ADABC．ADAB＝CD2D．CEEB＝CD2,解析：對(duì)于A，CECB＝CD2＝ADDB；對(duì)于B，CECB＝CD2≠AC2＝ADAB；對(duì)于C，CD2＝ADDB≠ADAB；對(duì)于D，ED2＝CEEB≠CD2.答案：A,2．(2012廣東卷)如圖所示，直線PB與圓O相切于點(diǎn)B，D是弦AC上的點(diǎn)，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，則AB＝______.,高考預(yù)測(cè),1．(2012佛山市一模)如圖，P為圓O外一點(diǎn)，由P引圓O的切線PA與圓O相切于A點(diǎn)，引圓O的割線PB與圓O相交于C點(diǎn)．已知AB⊥AC，PA＝2，PC＝1，則圓O的面積為_(kāi)_______．,解析：由切割線定理得PA2＝PC(PC＋BC)，因?yàn)镻A＝2，PC＝1，所以BC＝3，所以圓O的半徑為.所以圓O面積為答案：,2．(2012惠州市一模)如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90，BC＝4，AC＝3，以AC為直徑作圓O交AB于D，則CD＝________.,感謝您的使用，退出請(qǐng)按ESC鍵,本小節(jié)結(jié)束,