1,第三章多維隨機(jī)變量及其分布,1多維隨機(jī)變量的概念2隨機(jī)變量的獨(dú)立性3兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,2,從本講起，我們開始第三章的學(xué)習(xí).,一維隨機(jī)變量及其分布,多維隨機(jī)變量及其分布,它是第二章內(nèi)容的推廣.,3,到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維r.v及其分布.但有些隨機(jī)現(xiàn)象用一個(gè)隨機(jī)變量來描述還不夠，而需要用幾個(gè)隨機(jī)變量來描述.,在打靶時(shí),命中點(diǎn)的位置是由一對(duì)r.v(兩個(gè)坐標(biāo))來確定的.,飛機(jī)的重心在空中的位置是由三個(gè)r.v(三個(gè)坐標(biāo))來確定的等等.,4,設(shè),是定義在上的隨機(jī)變量,由它們構(gòu)成的一個(gè)維向,量.,以下重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量.,5,第一節(jié)二維隨機(jī)變量,二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)二維離散型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量,6,如果對(duì)于任意實(shí)數(shù),二元函數(shù),稱為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),定義1,一、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),7,而和都是隨機(jī)變量,也有各自的分,布函數(shù),分別記為,變量(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù).,依次稱為二維隨機(jī),邊緣分布函數(shù),8,將二維隨機(jī)變量看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),那么,分布函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)落在下面左圖所示的,以點(diǎn)為頂點(diǎn)而位于該點(diǎn)左下方的無窮矩形域內(nèi)的概率.,分布函數(shù)的函數(shù)值的幾何解釋,9,隨機(jī)點(diǎn)落在矩形域,內(nèi)的概率為,10,分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)：,（1）F(x,y)是變量x,y的不減函數(shù)，即對(duì)于任意固定的y,當(dāng)x1<x2時(shí)，,對(duì)于任意固定的y,且,對(duì)于任意固定的x,當(dāng)y1<y2時(shí)，,對(duì)于任意固定的x,11,（3）F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),即F(x,y)關(guān)于x右連續(xù)，關(guān)于y也右連續(xù).,y,x,o,x1,x2,y1,y2,(X,Y),(x2,y2),(x2,y1),(x1,y2),(x1,y1),12,說明:,上述四條性質(zhì)是二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的最基本的性質(zhì)，即任何二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)都具有這四條性質(zhì)；更進(jìn)一步地，我們還可以證明：如果某一個(gè)二元函數(shù)具有這四條性質(zhì)，那么，它一定是某一二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)（證明略）,13,或隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律.,k=1,2,X的分布律,k=1,2,定義2,的值是有限對(duì)或可列無窮多對(duì),設(shè)二維離散型隨機(jī)變量,可能取的值是,記,如果二維隨機(jī)變量,全部可能取到的不相同,稱之為二維離散型隨機(jī)變量的分布律,二、二維離散型隨機(jī)變量,14,也可用表格來表示隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律.,15,例1把一枚均勻硬幣拋擲3次，設(shè)X為3次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求(X,Y)的分布律.,解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3),PX=0,Y=3,PX=1,Y=1,PX=2,Y=1,PX=3,Y=0,=3/8,=3/8,16,一般地，對(duì)離散型r.v(X,Y)，,則(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律為,X和Y的聯(lián)合分布律為,離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律,17,(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律為,18,例1（續(xù)）把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求(X,Y)的分布律.,解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3),PX=0,Y=3,PX=1,Y=1,PX=2,Y=1,PX=3,Y=0,=3/8,=3/8,19,PX=0=,PX=1=,PX=2=,PX=3=,PY=1=,PY=3=,=1/8,PX=0,Y=1+PX=0,Y=3,=3/8,PX=1,Y=1+PX=1,Y=3,=3/8,PX=2,Y=1+PX=2,Y=3,PX=3,Y=1+PX=3,Y=3,=1/8.,=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.,20,我們常將邊緣分布律寫在聯(lián)合分布律表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個(gè)名詞.,21,聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系,由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;,但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.,22,X的概率密度函數(shù),定義3,函數(shù)稱為二維,三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量,23,二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度具有性質(zhì),24,（X,Y）的概率密度的性質(zhì):,在f(x,y)的連續(xù)點(diǎn),25,例2設(shè)(X,Y)的概率密度是,(1)求分布函數(shù),(2)求概率.,26,解(1),當(dāng)時(shí),故,當(dāng)時(shí),27,(2),28,例3.已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為,1)求常數(shù)A，B，C。2)求P0<X<2,0<Y0.若二維隨機(jī)變量（X,Y）具有概率密度,則稱（X,Y）在D上服從均勻分布.,記作:,37,例5:已知二維隨機(jī)變量（X,Y）服從區(qū)域D上的均勻分布，其中D:.求.,解（X,Y）的密度函數(shù)為,事件意味著隨機(jī)點(diǎn)（X,Y）落在區(qū)域,上，則,38,若二維隨機(jī)變量（X,Y）具有概率密度,則稱（X,Y）服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布.,記作（X,Y）N().,39,例6試求二維正態(tài)隨機(jī)變量的邊緣概率密度.,解,因?yàn)?所以,40,則有,41,二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布,并且不依賴于參數(shù).,同理,可見,由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.,也就是說,對(duì)于給定的不同的對(duì)應(yīng),不同的二維正態(tài)分布,但它們的邊緣分布卻都是一樣的.,此例表明,42,五、小結(jié),在這一節(jié)中，我們與一維情形相對(duì)照，介紹了二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),離散型隨機(jī)變量的分布律以及連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).二維隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù),離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律以及連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度函數(shù).,作業(yè)：P723，4,43,四、課堂練習(xí),44,解,暫時(shí)固定,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故,暫時(shí)固定,45,暫時(shí)固定,暫時(shí)固定,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故,46,四、課堂練習(xí),47,解(1),故,48,(2).,