第三章 一類具有五階細(xì)焦點(diǎn)的平面五次系統(tǒng)的定性分析3.1引言本文對如下系統(tǒng)做定性分析 (3.1)其中均為任意實(shí)數(shù)。利用基于Poincar思想的形式級數(shù)法和對稱原理對系統(tǒng)進(jìn)行分析判定系統(tǒng)的奇點(diǎn)類型。依據(jù)Hopf分支理論判定系統(tǒng)極限環(huán)的穩(wěn)定性。3.2平衡點(diǎn)的性態(tài)定理3.2.1 對于系統(tǒng)（3.1）當(dāng)時(shí),(1) 系統(tǒng)(3.1)的有限處實(shí)奇點(diǎn)為O(0,0)，N(1，0)。且對于O(0,0),時(shí)為系統(tǒng)(3.1)的穩(wěn)定粗焦點(diǎn)，時(shí)為(3.1)的不穩(wěn)定粗焦點(diǎn)。(2) N(1，0)是系統(tǒng)(3.1)的鞍點(diǎn)。證明 考慮方程組的解。(1)由奇點(diǎn)類型的判定方法知O(0，0)為系統(tǒng)的有限處奇點(diǎn)。由以下式子 (3.2)可得系統(tǒng)(3.1)的線性近似系統(tǒng)的Jacobi矩陣為其特征方程為=其中，于是可知，當(dāng)時(shí)，O(0,0)為系統(tǒng)(3.1)的穩(wěn)定粗焦點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，O(0,0)為系統(tǒng)(3.1)的不穩(wěn)的粗焦點(diǎn)。(2)易知，N(1,0)也為有限處奇點(diǎn)?，F(xiàn)對N(1,0)進(jìn)行判定。令（3.2）式中的，可得系統(tǒng)（3.1）的線性近似系統(tǒng)的Jacobi矩陣為其特征方程為令，則有，根據(jù)p-q法則判定知N(1,0)為系統(tǒng)(3.1)的鞍點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，對應(yīng)于（3.1）的線性系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為，故O(0,0)為系統(tǒng)(3.1)的所對應(yīng)線性系統(tǒng)的中心。需要對奇點(diǎn)O(0,0)進(jìn)行中心焦點(diǎn)的判定。下面采用基于Poincar思想的形式基數(shù)法來研究當(dāng)時(shí)奇點(diǎn)O(0,0)的性質(zhì)。定理3.2.2 對于系統(tǒng)（3.1），當(dāng)時(shí)，有(1)當(dāng)時(shí)，O(0,0)為一階不穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，O(0,0)為一階穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn)；(3)當(dāng)，時(shí)，O(0,0)為二階不穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn)；(4)當(dāng)，時(shí)，O(0,0)為二階穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn)； (5)當(dāng)，時(shí)，O(0,0)為五階不穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn)；(6)當(dāng)，時(shí)，O(0,0)為五階穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn)；證明 當(dāng)=0時(shí)，令其中是的k次多項(xiàng)式(k=3,4)，則有 (3.3)令（3.3）式右端的3次冪項(xiàng)為0，有將上式取極坐標(biāo)，并且消去后可得=取，即。令（3.3）式右端的4次冪項(xiàng)為0，有將上式取極坐標(biāo)，并且消去后可得下面分情況討論(1) 當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，改取滿足方程，其中，且與同號。設(shè) ，則有.從而，當(dāng)時(shí)，O(0,0)為一階不穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，O(0,0)為一階穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn)。 (2)當(dāng)時(shí)，有=0，所以令（3.3）式右端的5次項(xiàng)為0，有將上式取極坐標(biāo)，并且消去后可得取 取 令(3.3)式右端的6次冪項(xiàng)為0，則有將上式取極坐標(biāo)，并且消去后可得(2)當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，改取滿足方程,其中，且與同號。設(shè)+ ，則有.從而，當(dāng)時(shí)，O(0,0)為二階不穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，O(0,0)為二階穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn)。 (3)當(dāng)時(shí)，有令(3.3)式右端的7次冪項(xiàng)為0，有 將上式取極坐標(biāo)，并且消去后可得故取,即。令(3.3)式右端的8次冪項(xiàng)為0，有將上式取極坐標(biāo)，并且消去后可得取 令(3.3)式右端的9次冪項(xiàng)為0，有將上式取極坐標(biāo)，并且消去后可得整理得令（3.3）式右端的10次冪項(xiàng)為0，有將上式取極坐標(biāo)，并且消去后可得由于 同理有所以 故令(3.3)式右端的11次冪項(xiàng)為0，有將上式取極坐標(biāo)，并且消去后可得故令(3.3)式右端的12次冪項(xiàng)為0有 將上式取極坐標(biāo)，并且消去后可得 由于 同理得 所以(4)當(dāng)，時(shí)得到改取滿足方程其中 且與同號。設(shè)，則有從而，當(dāng)，時(shí)， O(0,0)為系統(tǒng)(4.1)的五階不穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn)；當(dāng)，O(0,0)為系統(tǒng)(4.1)的五階穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn)。3.3極限環(huán)的存在性定理3.3.1 下列條件之一成立時(shí)，系統(tǒng)(3.1)在O(0,0)外圍存在一個(gè)極限環(huán)，且時(shí)所產(chǎn)生的環(huán)不穩(wěn)定，時(shí)產(chǎn)生的環(huán)穩(wěn)定 (1)， ；(2)，；(3)， ；(4)，；(5)， ；(6)，；證明 在定理的條件（1）、（3）或（5）下，當(dāng)時(shí)系統(tǒng)(3.1)以O(shè)(0,0)為不穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn)。而當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)（3.1）以O(shè)(0,0)為穩(wěn)定的粗焦點(diǎn)。當(dāng)從零開始減小時(shí)，系統(tǒng)(3.1)的奇點(diǎn)O(0,0)由不穩(wěn)定的細(xì)焦點(diǎn)變?yōu)榉€(wěn)定的粗焦點(diǎn)。從物理學(xué)的角度看，奇點(diǎn)由吸收能量到釋放能量，此過程必產(chǎn)生等幅震蕩，故可知在此幾種參數(shù)的條件下系統(tǒng)(3.1)在點(diǎn)O(0,0)外圍至少產(chǎn)生一個(gè)不穩(wěn)定的極限環(huán)。在定理（2）、（4）或（6）的條件下，當(dāng)時(shí)系統(tǒng)(3.1)以O(shè)(0,0)為穩(wěn)定的細(xì)焦點(diǎn)。而當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)(3.1)以O(shè)(0,0)為不穩(wěn)定的粗焦點(diǎn)。當(dāng)從零開始增加時(shí)，系統(tǒng)的奇點(diǎn)O(0,0)由穩(wěn)定的細(xì)焦點(diǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定的粗焦點(diǎn)。從物理學(xué)的角度講，奇點(diǎn)由釋放能量到吸收能量，此過程中必產(chǎn)生等幅震蕩，故可知在此幾種參數(shù)的條件下系統(tǒng)(3.1)在點(diǎn)O(0,0)外圍至少產(chǎn)生一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)。