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第7章 FIR 數字濾波器設計,7.1 FIR DF 設計的窗函數法 7.2 窗函數 7.3 FIR DF 設計的頻率抽樣法 7.4 FIR DF 設計的切比雪夫最佳一致逼近法 7.5 幾種簡單形式的濾波器 7.6 簡單整系數濾波器 7.7 差分濾波器,1,IIR數字濾波器：,有極點，也有零點，因此可以借用經典的連續(xù)濾波器的設計方法，且取得非常好的效果，如好的衰減特性，準確的邊緣頻率。由于FIR數字濾波器,只有零點而沒有極點，所以沒辦法借用連續(xù)濾波器的設計方法。其思路是： 直接從頻域出發(fā)，即以某種準則逼近理想的頻率特性，且保證濾波器具有線性相位。,2,7.1 Fourier 級數法（窗函數法）,1. 由理想的頻率響應 得到理想的 ；,2. 由 得到因果、 有限長的單位抽樣響應 ;,3. 對 加窗得到較好的頻率響應。,理想頻率響應,一、思路與方法：,3,設理想低通濾波器的幅頻為1，相頻為零：,,則：,特點： 無限長 非因果 偶對稱,4,于是：,注意： 是因果的，且是線性相位的，即,？,這樣：,5,于是：,使用了矩形窗,,上式的的表達式及設計 的思路可推廣到高通、帶阻及帶通濾波器，也可推廣到其它特殊類型的濾波器。實際上，給定一個 ，只要能積分得到 ，即可由截短、移位的方法得到因果的、且具有線性相位的FIR濾波器 。,6,高通：,令：,相當于用一個截止頻率在 處的低通濾波器 （實際上是全通濾波器）減去一個截止頻率 在 處的低通濾波器。,7,令：,相當于用一個截止頻率在 處的低通濾波器 減去一個截止頻率在 處的低通濾波器。,帶通：,8,令：,：窗函數，自然截短即是矩形窗。 當然也可以用其它形式的窗函數。,帶阻：,9,例1.設計低通 FIR DF, 令歸一化截止頻 率 ＝0.125, M＝10，20，40， 用矩形窗截短。,結果如右圖,10,接上例：M＝10 分別用矩形窗 和Hamming 窗,使用Hamming 窗后，阻帶衰減變好，但過渡帶變寬。,11,例： 理想差分器及其設計,令：,理想差分器的頻率特性：,理想微分器的頻率特性：,12,奇對稱，純虛函數,,13,實際相頻特性,,有關各種差分器的性能，本 章將繼續(xù)討論,,,幅頻： 1 矩形窗 2 哈明窗,14,例： 設計 Hilbert 變換器,思考：能否用上一章的方法設計差分器和Hilbert變換器？,,15,優(yōu)點：1. 無穩(wěn)定性問題； 2. 容易做到線性相位； 3. 可以設計各種特殊類型的濾波器； 4. 方法特別簡單。,缺點：1. 不易控制邊緣頻率； 2. 幅頻性能不理想； 3. 較長；,二、 FIR DF 設計的窗函數法的特點：,改進：1. 使用其它類型的窗函數； 2. 改進設計方法。,16,三、關于對 截短的討論,17,18,,最小,所以，有限項傅立葉級數是在最小平方意 義上對原信號的逼近。傅立葉級數是正交 變換，這也體現了正交變換的性質。,19,,窗函數法,20,7.2 窗函數,窗函數的使用在數字信號處理中是不可避免的。數據、頻譜、自相關函數等都需要截短。對窗函數提出那幾方面的要求？,關鍵是要搞清楚使用窗函數后所產生的影響：一個域相乘，在另一個域是卷積。,21,對窗函數的技術要求： 1. 3 dB 帶寬 ：主瓣歸一化幅度降到－ 3 dB 時的帶寬；或直接用 。令 則 的單位為 ；,2. 邊瓣最大峰值 （ dB）,3. 邊瓣譜峰衰減速度 （ dB/oct）,,22,常用窗函數：,1. 矩形窗,2. 三角窗Bartlett窗,3.漢寧窗Hanning,4.漢明窗Hamming,,,,,23,窗函數,24,窗函數,25,7.3 FIR DF設計的頻率抽樣法,窗函數法：給定連續(xù)的理想的 ，用,得到因果的、具有線性相位的 FIR DF,,逼近,26,,離散化,直接賦值,,27,可指定：,如何指定,？,28,轉移函數、頻率響應和給定的 的關系：,用DFT系數作為權函數來表示設計出的,29,30,用插值的方法得到所要的濾波器：,插值函數,權重,,,線性相位,,,應為實數,,31,為偶數：,為奇數：,其它賦值方法見書。當然，阻帶內應指定為零。另外，為了得到好的幅頻響應，在1和0之間加過渡點，如0.5 。,32,7.4 用Chebyshev 最佳一致逼近設計 FIR DF 7.4.1 最佳一致逼近定理 7.4.2 利用最佳一致逼近理論設計 FIR DF 7.4.3 關于誤差函數的極值特性 7.4.4 FIR DF 的四種表示形式 7.4.5 設計舉例 7.4.6 濾波器階次估計,33,上述兩種方法（窗函數法和頻率抽樣法）設計 的 FIR DF 的頻率響應都不理想，即通帶不夠 平，阻帶衰減不夠大，過渡帶過寬，頻率邊緣 不能精確指定。因此我們要尋找新的設計方法。 此方法即是Chebyshev 最佳一致逼近 法。該方 法在數字信號處理中占有重要的定位，是設計 FIR DF 最理想的方法。但是，該方法的原理稍為復雜。,34,給定理想的 ， 設計 ， 使 是對 的“最佳”逼近。,對函數 逼近的方法：,目標：,35,插值法：尋找 階多項式 ，使其 在 個點 上滿足：,頻率抽樣方法,36,Chebyshev最佳一致逼近理論解決了 的存 在性、唯一性及構造方法等問題。,將最佳一致逼近理論應用于FIR DF的設計， 是數學和信號處理理論相結合的又一典型范 例。該方法可以設計出性能優(yōu)良的FIR DF， 是FIR設計的主要方法。該方法又稱,McClellan----Parks 方法,37,一、切比雪夫最佳一致逼近定理,在 階多項式的集合中，尋找多項式 使其相對其它所有的多項式 對 的偏差為最小：,最小最大原理,,38,交錯點組原理：,令：,誤差最大值,誤差曲線,,是 最佳一致逼近的充要條件是， 在 上至少存在 個交錯點,39,所以：,是 的極值點，它們構成了一個“交錯點 組”,Chebyshev 多項式：,在區(qū)間 [-1,1]上存在 個點：,40,輪流使 取極值＋1，－1。,是 的 階多項式，最高項系數是 ， 在所有階多項式的集合中， 和 0 的偏 差為最小。因此，可用 為誤差多項式。,,？,41,二、利用最佳一致逼近理論設計 FIR DF,,理想濾波器,要設計的濾波器,42,四種情況下的“濾波器增益” 都是實函數，也有四種表示形式。其一是：,線性相位FIR濾波器有四種形式：,,我們用 逼近理想濾波器。顯然，若能求 出 ，則濾波器也就設計出來了。,43,44,定義加權函數：,在設計濾波器時，對通帶和阻帶往往有不同的要求，如通帶要求特別平，這是需要犧牲阻帶；反之，要想阻帶衰減特別大，則需要犧牲通帶。實現方法：給以不同的加權。,45,由交錯點組定理：,注意，將頻率分成了 個離散的點。分 點在通帶和阻帶上，過渡帶不考慮。目的是 取得 個極值點。,46,方陣，可唯一地求出,然而，該方程的求解異常困難！,47,McClellan. J.H & Parks. T. W 等于70年代初提出用數值分析中的Remez算法，靠一次次的迭代來求解最優(yōu)的系數 及 。從而達到濾波器設計的目的。,該方法不但可以用來設計低通、高通、帶通、帶阻等經典濾波器，而且可以用來設計差分濾波器，Hilbert變換器。不但可以給出好的幅頻特性、線性相位，而且可以給出較為準確定邊緣頻率。,數字信號處理中最有名的算法之一！,48,Step1. 先在通帶、阻帶頻率軸上等間隔取 M＋2 個頻率點 ，計算出 。它是相對第 一次指定的交錯點組產生的誤差,,A.,49,求出 后，利用插值公式，在不知 的情況下求出 。,B.,50,當然，初次求出的 肯定不是最優(yōu)的！,將求出的 代入,C.,可求出誤差函數 。,如果第一次迭代即是最優(yōu)，那么 應是 的極值點。當然，一次迭代是不夠的。,完成第一次迭代！,51,Step2. 檢查是否有 的頻率點（肯定 有）。將出現這種情況的頻率點和原來指定的 頻率點 中相距最近的點相交換（注 意：這樣的點可能不止一個），這樣，就得到 一組新的頻率點組 ，當然，它們不 再是原頻率區(qū)間的等分。,52,Step3. 將新的頻率點組,再重復步驟2，又可得到一組新的交錯點組：,53,如此重復迭代，每一次都是把新的局部極值點 當作新的交錯點組，所以，每一次的 都是遞 增的，最后收斂到自己的上限。再迭代一次， 也不會再增加，頻率點組也不會再移動， 這時的 即是對 的最佳一致逼近。,Step4. 將最優(yōu)的 配上線性相位，作傅 立葉反變換，即可得所設計濾波器的 。,54,,通帶內的峰 值偏差,最佳一致逼近是在通帶與阻帶內進行的，過渡帶沒有考慮。,迭代步驟,是阻帶峰值偏差 ；,55,,三、關于誤差函數的極值特性（見書） 四、FIR DF 的四種表示形式,56,,把上述四種形式稍作改造，得到如下的統一形式，目的是便于編程：,57,例1： 設計低通 FIR DF:,調整通帶、阻帶的加權及濾波器的長度。,,設計結果,五、設計舉例,58,,,參數調整對濾波器性能的影響：,59,例2： 設計多帶濾波器，抽樣頻率500Hz, 在 50Hz、 100Hz 及150Hz處陷波。,,通帶加權為8，阻帶為1,-17dB,通帶、阻帶加權都是1,-25dB,60,六、階次估計,設計濾波器之前，濾波器的長度（即階次）是未知道。顯然，要求：通帶越平，阻帶衰減越大，過渡帶越窄，濾波器的階次越高。,61,例如，對例1的第一種情況：,,求出：,,和原來給定的相同,62,7.5 幾種簡單形式的濾波器,一、平均濾波器 二、平滑濾波器 三、梳狀濾波器,這一類濾波器性能不是很好，但濾波器簡單，有時很實用，有的具有一些特殊的用途。,63,信噪比(SNR)與噪聲減少比（NRR）,信噪比：,,,,觀察信號,信號,噪聲,為了減少噪聲，將 通過一個濾波器,64,噪聲減少比（Noise Reduction Ration, NRR):,越小越好！,,可以證明：,,65,一、平均濾波器,,,點平均器,66,,,,,67,68,可以求出：,可見 N 足夠大，即可就可以獲得足夠小的NRR。 但是， N 過大會使濾波器具有過大的延遲： 群延遲=（N－1）/2 而且會使其主瓣的單邊的帶寬大大降低，這就 有可能在濾波時使有用的信號 s(n) 也受到損失。 因此，在平均器中，N 不宜取得過大。,69,二、平滑濾波器,Savitzky－Golay平滑器：基于多項式擬合的方法，具體推導過程見教材。,5點2次（拋物線）擬合：,7點3次擬合：,在NRR和階次N之間取得折中。MATLAB文件： sgolay.m,70,三、梳狀濾波器,作用：去除周期性的噪聲，或是增強周期 性的信號分量。,,,71,72,73,7.6 建立在極零抵消基礎上的 簡單整系數的濾波器,對信號作實時濾波處理時，有時對濾波器的性能要求并不很高，但要求計算速度快，濾波器的設計也應簡單易行，因而希望濾波器的系數為整數。特別是當用匯編語言編寫程序時，更希望如此。采用極零抵消的方法，可以設計出簡單整系數的低通、高通、帶通和帶阻濾波器。,74,1. 低通,75,2. 高通,單位圓上均勻分布M個零點,設置一極點，抵消掉z=－1處零點,,,76,上述低通和高通濾波器的系數都是整系數（系數1/N可最后單獨處理），如果認為幅頻響應不滿意，可以取,77,3. 帶通,實際應用,78,為保證分母取整數，要求,取整數,因此：,,在要求整系數的情況下，對帶通濾波器，其通帶的中心頻率收到限制。,79,4. 帶阻,設計方法,幅頻： 全通幅頻－帶通幅頻,相頻： 配置相頻,,令 ，設計50Hz陷波器， 中心頻率范圍在,解：取,80,由于,因此增加一對共軛極點：,150Hz,,現在需要確定M:,,,?,,81,具有相同相位,,,82,83,7.7 低階低通差分濾波器,,,？,理想微分器：,理想差分器：,84,為了防止在高頻端將噪聲放大，?。?低通差分器：,差分器的一般形式：,85,差分器的抽樣響應：,所以，差分器是奇對稱的。 現在的任務是確定系數,兩點中心差分：,86,“最佳”差分器,,逼近,誤差：,得到最佳系數,得到最佳通帶,,,87,最佳通帶：,可求出：M＝2,可求出：M＝3,88,M＝2 和 3 時“最佳”差分器的幅頻特性：,但是，上述“最佳”差分器的系數全是小數，我們希望得到整系數。實際上，人們從不同的角度，已給出了不同形式的整系數差分器。后來，人們還導出了“次最佳”的整系數差分器。,89,單純 M 次差分； 牛頓－柯斯特差分； Lanczos差分（多項式擬合）； 平滑化差分； 最佳差分；,整系數,,比較參數：,90,7.8 濾波器設計小結,IIR 濾波器的優(yōu)點： 1. 好的通帶與阻帶衰減;準確的通帶與阻帶邊緣頻率; 2. 濾波時需要的計算量較少 缺點: 不具有線性相位，有可能存在穩(wěn)定性問題。,FIR 濾波器的優(yōu)點： 1. 可取得線性相位; 2. 無穩(wěn)定性問題; 缺點： 濾波時需要的計算量較少,91,FIR,窗函數法 頻率抽樣法 一致逼近法 簡單平均 簡單平滑,,設計方法簡單，性能不夠好,性能非常好,,,,簡單，實用，性能不夠好,,,IIR,梳狀濾波器 極零抵消濾波器,,特殊用途，周期性,,簡單實用，速度快,,92,與本章內容有關的MATLAB文件：,產生窗函數的文件有八個： bartlett（三角窗）; 2. blackman（布萊克曼窗） ; 3. boxcar（矩形窗）; 4. hamming（哈明窗）; 5. hanning（漢寧窗）; 6. triang（三角窗）; 7. chebwin（切比雪夫窗）; 8 .kaiser（凱賽窗）;,兩端為零,,,兩端不為零,調用方式都非常簡單請見help文件,,稍為復雜,,93,9．fir1.m 用“窗函數法”設計FIR DF。 調用格式： （1）b = fir1(N,Wn); (2) b = fir1(N,Wn,‘high’); (3) b = fir1(N,Wn, ‘stop’); N：階次，濾波器長度為N＋1； Wn：通帶截止頻率，其值在0～1之間，1對應 Fs/2 b: 濾波器系數。,94,對格式（1），若Wn為標量，則設計低通濾波器，若 Wn是1×2的向量，則用來設計帶通濾波器，若Wn是 1×L的向量，則可用來設計L帶濾波器。這時，格式 （1）要改為: b = fir1(N,Wn, 'DC-1'), 或 b = fir1(N,Wn, 'DC-0') 前者保證第一個帶為通帶，后者保證第一個帶為阻帶。 格式（2）用來設計高通濾波器， 格式（3）用來設計帶阻濾波器。 在上述所有格式中，若不指定窗函數的類型，fir1自動選擇Hamming窗。,95,10．fir2.m 本文件采用“窗函數法”設計具有任意幅 頻相應的FIR 數字濾波器。其調用格式是： b = fir1(N, F, M); F是頻率向量，其值在0～1之間，M是和F相對應 的所希望的幅頻相應。如同fir1, 缺省時自動選用 Hamming窗。,例 ：設計一多帶濾波器，要求頻率在0.2~0.3, 0.6~0.8 之間為1，其余處為零。,設計結果如下：,96,N=30,90時幅頻響應響應及理想幅頻響應；,N=30,N=90,97,11. remez.m 設計Chebyshev最佳一致逼近FIR濾波器、Hilbert變換器和差分器。調用格式是： (1) b=remez(N, F, A); (2) b=remez(N, F, A, W); （3）b=remez(N,F,A,W,‘Hilbert’); (4) b=remez(N, F, A,W, ‘'differentiator') N是給定的濾波器的階次，b是設計的濾波器的系數，其長度為N＋1；F是頻率向量，A是對應F的各頻段上的理想幅頻響應，W是各頻段上的加權向量。,98,F、A及W的指定方式和例7.4.1和7.4.2所討論過 的一樣，唯一的差別是F的范圍為0～1，而非～ 0～0.5, 1對應抽樣頻率的一半。需要指出的是， 若b的長度為偶數，設計高通和帶阻濾波器時 有可能出現錯誤，因此，最好保證b的長度為 奇數，也即N應為偶數。,99,例1： 設計低通 FIR DF:,b=remez(N, F, A, W),F = (0, 0.6, 0.7, 1),A = (1, 0),W = (1, 10),100,12．remezord.m 本文件用來確定在用Chebyshev最佳一致逼近設計FIR濾波器時所需要的濾波器階次。其調用格式是： [N, Fo, Ao, W] = remezord(F, A, DEV, Fs)。 F、A的含意同文件remez，DEV是通帶和阻帶上的偏差；輸出的是適合要求的濾波器階次N、頻率向量Fo、幅度向量Ao和加權向量W。若設計者事先不能確定要設計的濾波器的階次，那么，調用remezord后，就可利用這一族參數調用remez, 即 b=remez(N, Fo, Ao, W)，從而設計出所需要濾波器。因此，remez和remezord常結合起來使用。需要說明的是，remezord給出的階次N有可能偏低，這時適當增加N即可；另外，最好判斷一下，若N為奇數，就令其加一，使其變?yōu)榕紨?，這樣b的長度為奇數。,101,13. firls.m 用最小平方法設計線性相位FIR濾波器，可設計任意給定的理想幅頻響應； 14. fircls.m用帶約束的最小平方法設計線性相位FIR濾波器，可設計任意給定的理想幅頻響應； 15. fircls1.m 用帶約束的最小平方方法設計線性相位FIR低通和高通濾波器。 16. sgolay.m 用來設計 Savitzky-Golay FIR 平滑濾波器，其原理見9.1.1節(jié) 17. firrcos.m 用來設計低通線性相位FIR濾波器，其過渡帶為余弦函數形狀。,102,