第7講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系A級基礎演練(時間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1(2013·濰坊一模)直線4kx4yk0與拋物線y2x交于A，B兩點，若|AB|4，則弦AB的中點到直線x0的距離等于()A. B2 C. D4解析直線4kx4yk0，即yk，即直線4kx4yk0過拋物線y2x的焦點.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x24，故x1x2，則弦AB的中點的橫坐標是，弦AB的中點到直線x0的距離是.答案C2(2012·臺州質(zhì)檢)設斜率為的直線l與橢圓1(a>b>0)交于不同的兩點，且這兩個交點在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點，則該橢圓的離心率為()A. B. C. D.解析由于直線與橢圓的兩交點A，B在x軸上的射影分別為左、右焦點F1，F(xiàn)2，故|AF1|BF2|，設直線與x軸交于C點，又直線傾斜角的正切值為，結(jié)合圖形易得tan ，故|CF1|CF2|F1F2|2c，整理并化簡得b2(a2c2)ac，即(1e2)e，解得e.答案C3(2012·臨沂二模)拋物線y22px與直線2xya0交于A，B兩點，其中點A的坐標為(1,2)，設拋物線的焦點為F，則|FA|FB|的值等于()A7 B3 C6 D5解析點A(1,2)在拋物線y22px和直線2xya0上，則p2，a4，F(xiàn)(1,0)，則B(4，4)，故|FA|FB|7.答案A4(2013·寧波十校聯(lián)考)設雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，若F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則e2()A12 B42C52 D32解析如圖，設|AF1|m，則|BF1|m，|AF2|m2a，|BF2|m2a，|AB|AF2|BF2|m2am2am，得m2a，又由|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，可得m2(m2a)24c2，即得(208)a24c2，e252，故應選C.答案C二、填空題(每小題5分，共10分)5橢圓y21的弦被點平分，則這條弦所在的直線方程是_解析設弦的兩個端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x21，y1y21.A，B在橢圓上，y1，y1.兩式相減得：(y1y2)(y1y2)0，即，x1x21，y1y21，即直線AB的斜率為.直線AB的方程為y，即該弦所在直線的方程為2x4y30.答案2x4y306(2013·東北三省聯(lián)考)已知橢圓C：1(a>b>0)，F(xiàn)(，0)為其右焦點，過F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2，則橢圓C的方程為_解析由題意，得解得橢圓C的方程為1.答案1三、解答題(共25分)7(12分)在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y24x相交于不同的A，B兩點(1)如果直線l過拋物線的焦點，求·的值；(2)如果·4，證明：直線l必過一定點，并求出該定點(1)解由題意：拋物線焦點為(1,0)，設l：xty1，代入拋物線y24x，消去x得y24ty40，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24t，y1y24，·x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)證明設l：xtyb，代入拋物線y24x，消去x得y24ty4b0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24t，y1y24b，·x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b.令b24b4，b24b40，b2，直線l過定點(2,0)若·4，則直線l必過一定點8(13分)給出雙曲線x21.(1)求以A(2,1)為中點的弦所在的直線方程；(2)若過點A(2,1)的直線l與所給雙曲線交于P1，P2兩點，求線段P1P2的中點P的軌跡方程；(3)過點B(1,1)能否作直線m，使得m與雙曲線交于兩點Q1，Q2，且B是Q1Q2的中點？這樣的直線m若存在，求出它的方程；若不存在，說明理由解(1)設弦的兩端點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則兩式相減得到2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，又x1x24，y1y22，所以直線斜率k4.故求得直線方程為4xy70.(2)設P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，按照(1)的解法可得，由于P1，P2，P，A四點共線，得，由可得，整理得2x2y24xy0，檢驗當x1x2時，x2，y0也滿足方程，故P1P2的中點P的軌跡方程是2x2y24xy0.(3)假設滿足題設條件的直線m存在，按照(1)的解法可得直線m的方程為y2x1.考慮到方程組無解，因此滿足題設條件的直線m是不存在的B級能力突破(時間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1(2013·皖南八校聯(lián)考)已知直線l：yk(x2)(k>0)與拋物線C：y28x交于A，B兩點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，若|AF|2|BF|，則k的值是()A. B. C2 D.解析法一據(jù)題意畫圖，作AA1l，BB1l，BDAA1.設直線l的傾斜角為，|AF|2|BF|2r，則|AA1|2|BB1|2|AD|2r，所以有|AB|3r，|AD|r，則|BD|2r，ktan tanBAD2.法二直線yk(x2)恰好經(jīng)過拋物線y28x的焦點F(2,0)，由可得ky28y16k0，因為|FA|2|FB|，所以yA2yB.則yAyB2yByB，所以yB，yA·yB16，所以2y16，即yB±2.又k>0，故k2.答案C2(2012·沈陽二模)過雙曲線1(a>0)的右焦點F作一條直線，當直線斜率為2時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點；當直線斜率為3時，直線與雙曲線右支有兩個不同交點，則雙曲線離心率的取值范圍是()A(，5) B(，) C(1，) D(5,5)解析令b，c，則雙曲線的離心率為e，雙曲線的漸近線的斜率為±.據(jù)題意，2<<3，如圖所示，2<<3，5<e2<10，<e<.答案B二、填空題(每小題5分，共10分)3(2013·揭陽模擬)過橢圓1(ab0)的左頂點A且斜率為1的直線與橢圓的另一個交點為M，與y軸的交點為B，若|AM|MB|，則該橢圓的離心率為_解析由題意知A點的坐標為(a,0)，l的方程為yxa，B點的坐標為(0，a)，故M點的坐標為，代入橢圓方程得a23b2，c22b2，e.答案4已知曲線1(a·b0，且ab)與直線xy10相交于P，Q兩點，且·0(O為原點)，則的值為_解析將y1x代入1，得(ba)x22ax(aab)0.設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x2，x1x2.·x1x2y1y2x1x2(1x1)·(1x2)2x1x2(x1x2)1.所以10，即2a2ab2aab0，即ba2ab，所以2.答案2三、解答題(共25分)5(12分)(2012·上海)在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2y21.(1)過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積(2)設斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點若l與圓x2y21相切，求證：OPOQ.(3)設橢圓C2：4x2y21.若M、N分別是C1、C2上的動點，且OMON，求證：O到直線MN的距離是定值(1)解雙曲線C1：y21，左頂點A，漸近線方程：y±x.不妨取過點A與漸近線yx平行的直線方程為y，即yx1.解方程組得所以所求三角形的面積為S|OA|y|.(2)證明設直線PQ的方程是yxb.因為直線PQ與已知圓相切，故1，即b22.由得x22bxb210.設P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則又y1y2(x1b)(x2b)，所以·x1x2y1y22x1x2b(x1x2)b22(1b2)2b2b2b220.故OPOQ.(3)證明當直線ON垂直于x軸時，|ON|1，|OM|，則O到直線MN的距離為.當直線ON不垂直于x軸時，設直線ON的方程為ykx，則直線OM的方程為yx.由得所以|ON|2.同理|OM|2.設O到直線MN的距離為d，因為(|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2，所以3，即d.綜上，O到直線MN的距離是定值6(13分)(2012·臨沂二模)在圓x2y24上任取一點P，過點P作x軸的垂線段，D為垂足，點M在線段PD上，且|DP|DM|，點P在圓上運動(1)求點M的軌跡方程；(2)過定點C(1,0)的直線與點M的軌跡交于A，B兩點，在x軸上是否存在點N，使·為常數(shù)，若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由解(1)設P(x0，y0)，M(x，y)，則x0x，y0y.P(x0，y0)在x2y24上，xy4.x22y24，即1.點M的軌跡方程為1(x±2)(2)假設存在當直線AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,0)，聯(lián)立方程組整理得(12k2)x24k2x2k240，x1x2，x1x2.·(x1n，y1)·(x2n，y2)(1k2)x1·x2(x1x2)(k2n)n2k2(1k2)×(k2n)×k2n2n2n2(2n24n1).·是與k無關(guān)的常數(shù)，2n0.n，即N，此時·.當直線AB與x軸垂直時，若n，則·.綜上所述，在x軸上存在定點N，使·為常數(shù)特別提醒：教師配贈習題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見創(chuàng)新設計·高考總復習光盤中內(nèi)容.