第7講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差A(yù)級基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1(2013·西安模擬)樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1，則樣本方差為 ()A. B. C. D2解析由題意，知a01235×1，解得，a1.s22.答案D2簽盒中有編號為1、2、3、4、5、6的六支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個(gè)，則X的數(shù)學(xué)期望為 ()A5 B5.25 C5.8 D4.6解析由題意可知，X可以取3,4,5,6，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E(X)5.25.答案B3若p為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量的分布列為012Ppp則E()的最大值為()A1 B. C. D2解析由p0，p0，則0p，E()p1.答案B4(2013·廣州一模)已知隨機(jī)變量X8，若XB(10，0.6)，則E()，D()分別是()A6和2.4 B2和2.4 C2和5.6 D6和5.6解析由已知隨機(jī)變量X8，所以有8X.因此，求得E()8E(X)810×0.62，D()(1)2D(X)10×0.6×0.42.4.答案B二、填空題(每小題5分，共10分)5某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望E()8.9，則y的值為_解析x0.10.3y1，即xy0.6.又7x0.82.710y8.9，化簡得7x10y5.4.由聯(lián)立解得x0.2，y0.4.答案0.4(2013·溫州調(diào)研)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如右表，若E(X)0，D(X)1，則a_，b_.X1012Pabc解析由題意知解得答案三、解答題(共25分)7(12分)若隨機(jī)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用隨機(jī)變量X表示A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)(1)求方差D(X)的最大值；(2)求的最大值解隨機(jī)變量X的所有可能的取值是0.1，并且有P(X1)p，P(X0)1p.從而E(X)0×(1p)1×pp，D(X)(0p)2×(1p)(1p)2×ppp2.(1)D(X)pp22.0<p<1，當(dāng)p時(shí)，D(X)取最大值，最大值是.(2)2.0<p<1，2p2.當(dāng)2p，即p時(shí)取“”因此當(dāng)p時(shí)，取最大值22.8(13分)(2013·汕頭一模)袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號的有10個(gè)，記上n號的有n個(gè)(n1,2,3,4)現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若aXb，E()1，D()11，試求a，b的值解(1)X的分布列為X01234PE(X)0×1×2×3×4×1.5.D(X)(01.5)2×(11.5)2×(21.5)2×(31.5)2×(41.5)2×2.75.(2)由D()a2D(X)，得a2×2.7511，即a±2.又E()aE(X)b，所以當(dāng)a2時(shí)，由12×1.5b，得b2.當(dāng)a2時(shí)，由12×1.5b，得b4.或即為所求B級能力突破(時(shí)間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1一個(gè)籃球運(yùn)動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c(0,1)，已知他投籃一次得分的均值為2，則的最小值為 ()A. B. C. D.解析由已知得，3a2b0×c2，即3a2b2，其中0<a<，0<b<1.又32 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即a2b時(shí)取“等號”，又3a2b2，即當(dāng)a，b時(shí)，的最小值為，故選D.答案D2(2012·上海)設(shè)10x1<x2<x3<x4104，x5105.隨機(jī)變量1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均為0.2，隨機(jī)變量2取值、的概率也均為0.2.若記D(1)、D(2)分別為1、2的方差，則 ()AD(1)>D(2)BD(1)D(2)CD(1)<D(2)DD(1)與D(2)的大小關(guān)系與x1、x2、x3、x4的取值有關(guān)解析利用期望與方差公式直接計(jì)算E(1)0.2x10.2x20.2x30.2x40.2x50.2(x1x2x3x4x5)E(2)0.2×0.2×0.2×0.2(x1x2x3x4x5)E(1)E(2)，記作，D(1)0.2(x1)2(x2)2(x5)20.2xxx522(x1x2x5)0.2(xxx52)同理D(2)0.22225 2.2<，2<，222<xxxxx.D(1)>D(2)答案A二、填空題(每小題5分，共10分)3隨機(jī)變量的分布列如下：101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列若E()，則D()的值是_解析根據(jù)已知條件：解得：a，b，c，D()×2×2×2.答案4(2013·濱州一模)設(shè)l為平面上過點(diǎn)(0,1)的直線，l的斜率等可能地取2，0，2，用表示坐標(biāo)原點(diǎn)到l的距離，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E()_.解析當(dāng)l的斜率k為±2時(shí)，直線l的方程為±2xy10，此時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)到l的距離d；當(dāng)k為±時(shí)，d；當(dāng)k為±時(shí)，d；當(dāng)k為0時(shí)，d1，由古典概型的概率公式可得分布列如下：1P所以E()×××1×.答案三、解答題(共25分)5(12分)(2013·大連二模)甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動員射中目標(biāo)的概率分別為，a，a(0<a<1)，三人各射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)記為.(1)求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)在概率P(i)(i0,1,2,3)中，若P(1)的值最大，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)P()是“個(gè)人命中，3個(gè)人未命中”的概率其中的可能取值為0,1,2,3.P(0)(1a)2(1a)2，P(1)(1a)2a(1a)(1a)a(1a2)，P(2)a2(1a)aa(1a)(2aa2)，P(3).所以的分布列為0123P(1a)2(1a2)(2aa2)的數(shù)學(xué)期望為E()0×(1a)21×(1a)22×(2aa2)3×.(2)P(1)P(0)(1a2)(1a)2a(1a)，P(1)P(2)(1a2)(2aa2)，P(1)P(3)(1a2)a2.由及0<a<1，得0<a，即a的取值范圍是.6(13分)(2013·福州模擬)隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位：萬元)為.(1)求的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即的均值)；(3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%.如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？思維啟迪：本題在求解時(shí)，一定要分清求解的是哪一個(gè)變量的均值，理清隨機(jī)變量取值時(shí)的概率解(1)由于1件產(chǎn)品的利潤為，則的所有可能取值為6,2,1，2，由題意知P(6)0.63，P(2)0.25，P(1)0.1，P(2)0.02.故的分布列為6212P0.630.250.10.02(2)1件產(chǎn)品的平均利潤為E()6×0.632×0.251×0.1(2)×0.024.34(萬元)(3)設(shè)技術(shù)革新后三等品率為x，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤為E()6×0.72×(10.7x0.01)1×x(2)×0.014.76x.由E()4.73，得4.76x4.73，解得x0.03，所以三等品率最多為3%.探究提高(1)求解離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟：理解X的意義，寫出X可能取的全部值；求X取每個(gè)值的概率；寫出X的分布列求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對應(yīng)的概率，在求解時(shí)，要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識(2)求解離散型隨機(jī)變量X的均值與方差時(shí)，只要在求解分布列的前提下，根據(jù)均值、方差的定義求E(X)，D(X)即可.特別提醒：教師配贈習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)光盤中內(nèi)容.