一、選擇題1如果直線l與平面不垂直，那么在平面內(nèi)()A不存在與l垂直的直線B存在一條與l垂直的直線C存在無數(shù)條與l垂直的直線D任意一條都與l垂直答案C解析若l，顯然在內(nèi)存在無數(shù)條直線與l垂直；若l，過l作平面l，則ll，在內(nèi)存在無數(shù)條直線與l垂直，從而在內(nèi)存在無數(shù)條直線與l垂直；若l與斜交，設(shè)交點為A，在l上任取一點P，過P作PQ，垂足為Q，在內(nèi)存在無數(shù)條直線與AQ垂直，從而存在無數(shù)條直線與直線PA(即l)垂直2過一點和已知平面垂直的直線條數(shù)為()A1條B2條C無數(shù)條 D不能確定答案A解析已知：平面和一點P.求證：過點P與垂直的直線只有一條證明：不論點P在平面外或平面內(nèi)，設(shè)PA，垂足為A(或P)如果過點P還有一條直線PB，設(shè)PA、PB確定的平面為，且a，于是在平面內(nèi)過點P有兩條直線PA、PB垂直于交線a，這是不可能的所以過點P與垂直的直線只有一條3若兩直線a與b異面，則過a且與b垂直的平面()A有且只有一個B可能存在也可能不存在C有無數(shù)多個D一定不存在答案B解析當(dāng)ab時，有且只有一個當(dāng)a與b不垂直時，不存在4已知一平面平行于兩條異面直線，一直線與兩異面直線都垂直，那么這個平面與這條直線的位置關(guān)系是()A平行 B垂直C斜交 D不能確定答案B解析設(shè)a，b為異面直線，a平面，b，直線la，lb.過a作平面a，則aa，la.同理過b作平面b，則lb，a，b異面，a與b相交，l.5(20122013·杭州高二檢測)如下圖，設(shè)平面EF，AB，CD，垂足分別是B、D，如果增加一個條件，就能推出BDEF，這個條件不可能是下面四個選項中的()AACBACEFCAC與BD在內(nèi)的射影在同一條直線上DAC與、所成的角相等答案D6設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個不重合的平面，給定下列四個命題，其中真命題的是()若mn，n，則m；若a，a，則；若m，n，則mn；若m，n，則mn.A和 B和C和 D和答案B解析中，直線m垂直于平面內(nèi)的一條直線n，則直線m與平面不一定垂直，所以不是真命題；是平面與平面垂直的判定定理，所以是真命題是直線與平面垂直的性質(zhì)定理，所以是真命題；中m與n可能是異面直線，所以不正確7如下圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中點，則直線CE垂直于()AAC BBDCA1D DA1D1答案B解析易得BD面ACC1A1，又CE面ACC1A1，CEBD.8如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，并且總是保持APBD1，則動點P的軌跡是()A線段B1CB線段BC1CBB1中點與CC1中點連成的線段DBC中點與B1C1中點連成的線段答案A解析DD1平面ABCD，D1DAC，又ACBD，AC平面BDD1，ACBD1.同理BD1B1C.又B1CACC，BD1平面AB1C.而APBD1，AP平面AB1C.又P平面BB1C1C，P點軌跡為平面AB1C與平面BB1C1C的交線B1C.故選A.二、填空題9已知直線m平面，直線n平面，mnM，直線am，an，直線bm，bn，則直線a，b的位置關(guān)系是_答案平行解析由于直線a垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線m，n，則a.同理，b，則ab.10已知AF平面ABCD，DE平面ABCD，如右圖所示，且AFDE，AD6，則EF_.答案6解析AF平面AC，DE平面AC，AFDE.又AFDE，四邊形ADEF是平行四邊形EFAD6.11如圖，PA平面ABC，ACB90°，EFPA，則圖中直角三角形的個數(shù)是_答案6解析由PA平面ABC，得PAAB，PAAC，PABC，又BCAC，ACPAA，BC平面PAC，BCPC.EFPA，PA平面ABC，EF平面ABC，EFBE，EFEC.PAB，PAC，ABC，PBC，EFC，BEF均為直角三角形12ABC的三個頂點A、B、C到平面的距離分別為2 cm、3 cm、4cm，且它們在的同側(cè)，則ABC的重心到平面的距離為_答案3 cm解析如圖，設(shè)A、B、C在平面上的射影分別為A、B、C，ABC的重心為G，連接CG并延長交AB于中點E，又設(shè)E、G在平面上的射影分別為E、G，則EAB，GCE，EE(AABB)，CC4，CGGE21，在直角梯形EECC中，可求得GG3.三、解答題13如圖，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，ADDE2AB，F(xiàn)為CD的中點求證：平面BCE平面CDE.分析由題意易知AF平面CDE，只需在平面BCE中找一直線與AF平行即可證明取CE的中點G，連接FG，BG，AF.F為CD的中點，GFDE，且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE.則GFAB.又ABDE，GFAB.則四邊形GFAB為平行四邊形于是AFBG.ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，CD，DE平面CDE，AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.規(guī)律總結(jié)：此類問題是證明兩個平面垂直比較難的問題證明時要綜合題目中的條件，利用條件和已知定理來證或者從結(jié)論出發(fā)逆推分析14在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，且四邊形ABCD是矩形，AEPD于E，l平面PCD.求證：lAE.分析轉(zhuǎn)化為證明AE平面PCD，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明AE垂直于平面PCD內(nèi)的兩條相交直線PD和CD.證明PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又四邊形ABCD是矩形，CDAD，PAADA，PA平面PAD，AD平面PAD，CD平面PAD.又AE平面PAD，AEDC.又AEPD，PDCDD，PD平面PCD，CD平面PCD，AE平面PCD.又l平面PCD，lAE.15如下圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，EF與異面直線AC，A1D都垂直相交求證：EFBD1.分析轉(zhuǎn)化為證明EF平面AB1C，BD1平面AB1C.證明連接AB1，B1C，BD，B1D1，如圖所示DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，BDDD1D，AC平面BDD1B1.ACBD1，同理BD1B1C，又ACB1CC，BD1平面AB1C.EFA1D，且A1DB1C，EFB1C.又EFAC，ACB1CC，EF平面AB1C.EFBD1.規(guī)律總結(jié)：當(dāng)題中垂直條件很多，但又需證兩直線的平行關(guān)系時，就要考慮直線與平面垂直的性質(zhì)定理，從而完成垂直向平行的轉(zhuǎn)化16如圖，已知四邊形ABCD是矩形，PA平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點(1)求證：MNAB；(2)若PAAD，求證：MN平面PCD.證明(1)取CD的中點E，連接EM、EN，則CDEM，且ENPD.PA平面ABCD，PACD，又ADDC，PAADA，CD平面PAD，CDPD，從而CDEN.又EMENE，CD平面MNE.因此，MNCD，而CDAB，故MNAB.(2)在RtPAD中有PAAD，取PD的中點K，連接AK，KN，則KN綊DC綊AM，且AKPD.四邊形AMNK為平行四邊形，從而MNAK.因此MNPD.由(1)知MNDC，又PDDCD，MN平面PCD.