第四節(jié) 基本不等式及其應(yīng)用一、選擇題(6×5分30分)1(2009·天津高考)設(shè)a>0，b>0，若是3a與3b的等比中項，則的最小值為()A8B4C1 D.解析：由題意知3a·3b3，即3ab3，所以ab1.因為a>0，b>0，所以(ab)222 4，當且僅當ab時，等號成立答案：B2(2011·開封模擬)已知x>0，y>0，lg2xlg8ylg2，則的最小值是()A2 B2C4 D2解析：因為x>0，y>0，且lg2xlg8ylg2，所以x3y1，于是有(x3y)()2()4.答案：C3函數(shù)f(x)的最大值為()A. B.C. D1解析：顯然x0.x0時，f(x)0；當x>0時，x12，f(x)，當且僅當x1時，取等號，f(x)max.答案：B4(2009·重慶高考)已知a>0，b>0，則2的最小值是()A2 B2C4 D5解析：2224.當且僅當時，等號成立，即ab1，不等式取最小值4.答案：C5已知不等式(xy)()9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為()A8 B6C4 D2解析：(xy)()1a·aa12 a21，當且僅當a·等號成立，所以()2219，即()2280，得2或4(舍)，所以a4，即a的最小值為4.答案：C6(2011·長春質(zhì)檢)某學(xué)生用一不準確的天平(兩臂不等長)稱10 g藥品，他先將5 g的砝碼放在左盤，將藥品放在右盤使之平衡；然后又將5 g的砝碼放在右盤，將藥品放在左盤使之平衡，則此學(xué)生實際所得藥品()A小于10 g B大于10 gC大于等于10 g D小于等于10 g解析：設(shè)左、右臂長分別為t1、t2，第一次稱的藥品為x1，第二次稱的藥品為x2，則有5t1x1t2，x2t15t2，所以x1x25()>5×210，即大于10 g.答案：B二、填空題(3×5分15分)7(2010·濟寧模擬)函數(shù)y(x>1)的圖象的最低點坐標是_解析：y(x1)2，當且僅當x0時，取等號答案：(0,2)8函數(shù)yax1(a>0，且a1)的圖象恒過定點A，若點A在一次函數(shù)ymxn的圖象上，其中m，n>0，則的最小值為_解析：由題知A(1,1)，mn1，m，n>0.24.答案：49(2011·忻州模擬)設(shè)x，y，z為正實數(shù)，滿足x2y3z0，則的最小值是_解析：由x2y3z0得y，代入得3，當且僅當x3z時取“”答案：3三、解答題(共37分)10(12分)經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y(千輛/小時)與汽車的平均速度v(千米/小時)之間的函數(shù)關(guān)系式為y(v>0)(1)在該時段內(nèi)，當汽車的平均速度v為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？(精確到0.1千輛/小時)；(2)若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/小時，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？解析：(1)依題意，y，當且僅當v，即v40時，上式等號成立所以ymax11.1(千輛/小時)所以當v40千米/小時時，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/小時(2)由條件得>10，整理得v289v1 600<0，即(v25)(v64)<0，解得25<v<64.所以如果要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/小時，則汽車的平均速度應(yīng)大于25千米/小時且小于64千米/小時11(理)(12分)(2011·福州質(zhì)檢)(1)已知a，b是正常數(shù)，ab，x，y(0，)，求證：，并指出等號成立的條件(2)求函數(shù)f(x)，x(0，)的最小值，指出取最小值時x的值(1)證明：a，b，x，y都是正數(shù)，()(xy)a2b2a2b22ab(ab)2，當且僅當，即bxay時取“”，當且僅當bxay時等號成立(2)0<x<，0<12x<1.由(1)，知f(x)25，當且僅當3·2x2·(12x)，即x(0，)時取“”x時，f(x)的最小值為25.(文)(12分)(1)設(shè)x>1，求函數(shù)y的最小值(2)求yx(a2x)(0<x<，且a為常數(shù))的最大值解析：(1)x>1，y(x1)52 59.當且僅當x1，即x1時取等號函數(shù)的最小值為9.(2)0<x<，a2x>0，yx(a2x)·2x(a2x)·()2.當且僅當2xa2x，即x時取等號，當x時，函數(shù)的最大值為.12(13分)(2011·南通模擬)某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃在一樓區(qū)內(nèi)建造一個長方形公園ABCD，公園由長方形的休閑區(qū)A1B1C1D1和環(huán)公園人行道(陰影部分)組成已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4 000平方米，人行道的寬分別為4米和10米(如圖)(1)若設(shè)休閑區(qū)的長和寬的比x，求公園ABCD所占面積S關(guān)于x的函數(shù)S(x)的解析式；(2)要使公園所占面積最小，休閑區(qū)A1B1C1D1的長和寬該如何設(shè)計？解析：(1)設(shè)休閑區(qū)的寬B1C1為a米，則其長A1B1為ax米，a2x4 000a，S(a8)(ax20)a2x(8x20)a1604 000(8x20)·16080(2)4 160(x>1)(2)S1 6004 1605 760(當且僅當2x2.5)，即當x2.5時，公園所占面積最小此時a40，ax100，即休閑區(qū)A1B1C1D1的長為100米，寬為40米- 6 -用心 愛心 專心