小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題  小學(xué)數(shù)學(xué)中把含有數(shù)量關(guān)系的實(shí)際問題用語言或文字?jǐn)⑹龀鰜?，這樣所形成的題目叫做應(yīng)用題。任何一道應(yīng)用題都由兩部分構(gòu)成。第一部分是已知條件（簡(jiǎn)稱條件），第二部分是所求問題（簡(jiǎn)稱問題）。應(yīng)用題的條件和問題，組成了應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)。 應(yīng)用題可分為一般應(yīng)用題與典型應(yīng)用題。 沒有特定的解答規(guī)律的兩步以上運(yùn)算的應(yīng)用題，叫做一般應(yīng)用題。 題目中有特殊的數(shù)量關(guān)系，可以用特定的步驟和方法來解答的應(yīng)用題，叫做典型應(yīng)用題。這本資料主要研究以下30類典型應(yīng)用題：  1、歸一問題  2、歸總問題  3、和差問題  4、和倍問題  5、差倍問題  6、倍比問題  7、相遇問題  8、追及問題  9、植樹問題 10、年齡問題 11、行船問題12、列車問題13、時(shí)鐘問題14、盈虧問題15、工程問題16、正反比例問題17、按比例分配18、百分?jǐn)?shù)問題19、“牛吃草”問題20、雞兔同籠問題 21、方陣問題 22、商品利潤(rùn)問題23、存款利率問題24、溶液濃度問題25、構(gòu)圖布數(shù)問題26、幻方問題27、抽屜原則問題28、公約公倍問題29、最值問題30、列方程問題             1  歸一問題【含義】    在解題時(shí)，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題。 【數(shù)量關(guān)系】    總量÷份數(shù)1份數(shù)量                   1份數(shù)量×所占份數(shù)所求幾份的數(shù)量                另一總量÷（總量÷份數(shù)）所求份數(shù) 【解題思路和方法】   先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。 例1   買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？           解（1）買1支鉛筆多少錢？       0.6÷50.12（元）              （2）買16支鉛筆需要多少錢？0.12×161.92（元）               列成綜合算式   0.6÷5×160.12×161.92（元）           答：需要1.92元。例2   3臺(tái)拖拉機(jī)3天耕地90公頃，照這樣計(jì)算，5臺(tái)拖拉機(jī)6 天耕地多少公頃？       解（1）1臺(tái)拖拉機(jī)1天耕地多少公頃？  90÷3÷310（公頃）         （2）5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地多少公頃？ 10×5×6300（公頃）              列成綜合算式  90÷3÷3×5×610×30300（公頃）       答：5臺(tái)拖拉機(jī)6 天耕地300公頃。例3   5輛汽車4次可以運(yùn)送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運(yùn)送105噸鋼材，需要運(yùn)幾次？       解 （1）1輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材？  100÷5÷45（噸）          （2）7輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材？   5×735（噸）          （3）105噸鋼材7輛汽車需要運(yùn)幾次？ 105÷353（次）           列成綜合算式  105÷（100÷5÷4×7）3（次）       答：需要運(yùn)3次。   2  歸總問題 【含義】     解題時(shí)，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價(jià)、幾小時(shí)（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時(shí)行的總路程等。  【數(shù)量關(guān)系】  1份數(shù)量×份數(shù)總量                    總量÷1份數(shù)量份數(shù)               總量÷另一份數(shù)另一每份數(shù)量  【解題思路和方法】  先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。  例1    服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進(jìn)裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？ 解  （1）這批布總共有多少米？    3.2×7912531.2（米） （2）現(xiàn)在可以做多少套？          2531.2÷2.8904（套）            列成綜合算式  3.2×791÷2.8904（套）                        答：現(xiàn)在可以做904套。 例2    小華每天讀24頁(yè)書，12天讀完了紅巖一書。小明每天讀36頁(yè)書，幾天可以讀完紅巖？ 解  （1）紅巖這本書總共多少頁(yè)？ 24×12288（頁(yè)）     （2）小明幾天可以讀完紅巖？ 288÷368（天）                    列成綜合算式  24×12÷368（天）                        答：小明8天可以讀完紅巖。 例3    食堂運(yùn)來一批蔬菜，原計(jì)劃每天吃50千克，30天慢慢消費(fèi)完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見，每天比原計(jì)劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？ 解  （1）這批蔬菜共有多少千克？  50×301500（千克）     （2）這批蔬菜可以吃多少天？  1500÷（5010）25（天） 列成綜合算式    50×30÷（5010）1500÷6025（天）                        答：這批蔬菜可以吃25天。3  和差問題 【含義】  已知兩個(gè)數(shù)量的和與差，求這兩個(gè)數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問題。  【數(shù)量關(guān)系】    大數(shù)（和差）÷ 2                        小數(shù)（和差）÷ 2  【解題思路和方法】  簡(jiǎn)單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式。  例1    甲乙兩班共有學(xué)生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？      解  甲班人數(shù)（986）÷252（人）          乙班人數(shù)（986）÷246（人）                         答：甲班有52人，乙班有46人。 例2    長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之和為18厘米，長(zhǎng)比寬多2厘米，求長(zhǎng)方形的面積。            解  長(zhǎng)（182）÷210（厘米）                 寬（182）÷28（厘米）                長(zhǎng)方形的面積 10×880（平方厘米）                         答：長(zhǎng)方形的面積為80平方厘米。 例3    有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。    解  甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（3230）2千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知         甲袋化肥重量（222）÷212（千克）         丙袋化肥重量（222）÷210（千克）         乙袋化肥重量321220（千克）    答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。 例4    甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？    解  “從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐”，這說明甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是（14×23），甲與乙的和是97，因此      甲車筐數(shù)（9714×23）÷264（筐）             乙車筐數(shù)976433（筐）    答：甲車原來裝蘋果64筐，乙車原來裝蘋果33筐。 4  和倍問題【含義】    已知兩個(gè)數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問題。 【數(shù)量關(guān)系】  總和 ÷（幾倍1）較小的數(shù)                總和 較小的數(shù) 較大的數(shù)              較小的數(shù) ×幾倍 較大的數(shù) 【解題思路和方法】  簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。  例1    果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？    解  （1）杏樹有多少棵？  248÷（31）62（棵）        （2）桃樹有多少棵？   62×3186（棵）                           答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。 例2    東西兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)共存糧480噸，東庫(kù)存糧數(shù)是西庫(kù)存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫(kù)各存糧多少噸？    解  （1）西庫(kù)存糧數(shù)480÷（1.41）200（噸）        （2）東庫(kù)存糧數(shù)480200280（噸）                         答：東庫(kù)存糧280噸，西庫(kù)存糧200噸。  例3    甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？ 解  每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當(dāng)于每天從甲站開往乙站（2824）輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當(dāng)作1倍量，這時(shí)乙站的車輛數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)（5232）就相當(dāng)于（21）倍， 那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為                     （5232）÷（21）28（輛） 所求天數(shù)為     （5228）÷（2824）6（天）                    答：6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍。  例4    甲乙丙三數(shù)之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數(shù)各是多少？ 解  乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為1倍量。 因?yàn)橐冶燃椎?倍少4，所以給乙加上4，乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍； 又因?yàn)楸燃椎?倍多6，所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍； 這時(shí)（17046）就相當(dāng)于（123）倍。那么，           甲數(shù)（17046）÷（123）28           乙數(shù)28×2452           丙數(shù)28×3690                 答：甲數(shù)是28，乙數(shù)是52，丙數(shù)是90。5  差倍問題【含義】    已知兩個(gè)數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問題。 【數(shù)量關(guān)系】   兩個(gè)數(shù)的差÷（幾倍1）較小的數(shù)               較小的數(shù)×幾倍較大的數(shù) 【解題思路和方法】  簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。  例1    果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？     解  （1）杏樹有多少棵？    124÷（31）62（棵）         （2）桃樹有多少棵？     62×3186（棵）                   答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。  例2    爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？             解  （1）兒子年齡27÷（41）9（歲）                 （2）爸爸年齡9×436（歲）                  答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。  例3    商場(chǎng)改革經(jīng)營(yíng)管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個(gè)月盈利各是多少萬元？   解  如果把上月盈利作為1倍量，則（3012）萬元就相當(dāng)于上月盈利的（21）倍，因此            上月盈利（3012）÷（21）18（萬元）        本月盈利183048（萬元）                  答：上月盈利是18萬元，本月盈利是48萬元。  例4    糧庫(kù)有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運(yùn)出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？   解  由于每天運(yùn)出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來的數(shù)量差（13894）。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（13894）就相當(dāng)于（31）倍，因此      剩下的小麥數(shù)量（13894）÷（31）22（噸）      運(yùn)出的小麥數(shù)量942272（噸）      運(yùn)糧的天數(shù)72÷98（天）                  答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。6  倍比問題【含義】    有兩個(gè)已知的同類量，其中一個(gè)量是另一個(gè)量的若干倍，解題時(shí)先求出這個(gè)倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問題。 【數(shù)量關(guān)系】  總量÷一個(gè)數(shù)量倍數(shù)                 另一個(gè)數(shù)量×倍數(shù)另一總量 【解題思路和方法】  先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。 例1    100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？解  （1）3700千克是100千克的多少倍？  3700÷10037（倍）    （2）可以榨油多少千克？           40×371480（千克）           列成綜合算式    40×（3700÷100）1480（千克）                        答：可以榨油1480千克。 例2    今年植樹節(jié)這天，某小學(xué)300名師生共植樹400棵，照這樣計(jì)算，全縣48000名師生共植樹多少棵？解  （1）48000名是300名的多少倍？  48000÷300160（倍）    （2）共植樹多少棵？            400×16064000（棵）        列成綜合算式    400×（48000÷300）64000（棵）                      答：全縣48000名師生共植樹64000棵。 例3    鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計(jì)算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？解  （1）800畝是4畝的幾倍？           800÷4200（倍）    （2）800畝收入多少元？        11111×2002222200（元）    （3）16000畝是800畝的幾倍？    16000÷80020（倍）    （4）16000畝收入多少元？    2222200×2044444000（元）          答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元，              全縣16000畝果園共收入44444000元。 7  相遇問題【含義】    兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問題。 【數(shù)量關(guān)系】    相遇時(shí)間總路程÷（甲速乙速）                總路程（甲速乙速）×相遇時(shí)間 【解題思路和方法】  簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。 例1    南京到上海的水路長(zhǎng)392千米，同時(shí)從兩港各開出一艘輪船相對(duì)而行，從南京開出的船每小時(shí)行28千米，從上海開出的船每小時(shí)行21千米，經(jīng)過幾小時(shí)兩船相遇？            解    392÷（2821）8（小時(shí)）                          答：經(jīng)過8小時(shí)兩船相遇。 例2    小李和小劉在周長(zhǎng)為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長(zhǎng)時(shí)間？      解   “第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。             因此總路程為400×2           相遇時(shí)間（400×2）÷（53）100（秒）              答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時(shí)間。 例3    甲乙二人同時(shí)從兩地騎自行車相向而行，甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)行13千米，兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇，求兩地的距離。  解  “兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點(diǎn)3千米，乙距中點(diǎn)3千米，就是說甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，           相遇時(shí)間（3×2）÷（1513）3（小時(shí)）           兩地距離（1513）×384（千米）                          答：兩地距離是84千米。 8  追及問題【含義】    兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)（或者在同一地點(diǎn)而不是同時(shí)出發(fā)，或者在不同地點(diǎn)又不是同時(shí)出發(fā)）作同向運(yùn)動(dòng)，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時(shí)間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問題。 【數(shù)量關(guān)系】   追及時(shí)間追及路程÷（快速慢速）               追及路程（快速慢速）×追及時(shí)間 【解題思路和方法】  簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。 例1    好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？解  （1）劣馬先走12天能走多少千米？  75×12900（千米）    （2）好馬幾天追上劣馬？   900÷（12075）20（天）   列成綜合算式   75×12÷（12075）900÷4520（天）                       答：好馬20天能追上劣馬。 例2    小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解  小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈，即200米，此時(shí)小亮跑了（500200）米，要知小亮的速度，須知追及時(shí)間，即小明跑500米所用的時(shí)間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用40×（500÷200）秒，所以小亮的速度是              （500200）÷40×（500÷200）          300÷1003（米）                      答：小亮的速度是每秒3米。 例3    我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點(diǎn)開始從甲地以每小時(shí)10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點(diǎn)接到命令，以每小時(shí)30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個(gè)小時(shí)可以追上敵人？解  敵人逃跑時(shí)間與解放軍追擊時(shí)間的時(shí)差是（2216）小時(shí)，這段時(shí)間敵人逃跑的路程是10×（226）千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知       追及時(shí)間10×（226）60÷（3010）               220÷2011（小時(shí)）                    答：解放軍在11小時(shí)后可以追上敵人。 例4    一輛客車從甲站開往乙站，每小時(shí)行48千米；一輛貨車同時(shí)從乙站開往甲站，每小時(shí)行40千米，兩車在距兩站中點(diǎn)16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。解  這道題可以由相遇問題轉(zhuǎn)化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車（16×2）千米，客車追上貨車的時(shí)間就是前面所說的相遇時(shí)間，這個(gè)時(shí)間為                16×2÷（4840）4（小時(shí)）所以兩站間的距離為          （4840）×4352（千米）列成綜合算式   （4840）×16×2÷（4840）               88×4               352（千米）                        答：甲乙兩站的距離是352千米。 例5    兄妹二人同時(shí)由家上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時(shí)發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？解  要求距離，速度已知，所以關(guān)鍵是求出相遇時(shí)間。從題中可知，在相同時(shí)間（從出發(fā)到相遇）內(nèi)哥哥比妹妹多走（180×2）米，這是因?yàn)楦绺绫让妹妹糠昼姸嘧撸?060）米，那么，二人從家出走到相遇所用時(shí)間為                  180×2÷（9060）12（分鐘）    家離學(xué)校的距離為      90×12180900（米）                    答：家離學(xué)校有900米遠(yuǎn)。 例6    孫亮打算上課前5分鐘到學(xué)校，他以每小時(shí)4千米的速度從家步行去學(xué)校，當(dāng)他走了1千米時(shí)，發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進(jìn)，到學(xué)校恰好準(zhǔn)時(shí)上課。后來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早9分鐘到學(xué)校。求孫亮跑步的速度。解  手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到（105）分鐘，后段路程跑步恰準(zhǔn)時(shí)到學(xué)校，說明后段路程跑比走少用了（105）分鐘。如果從家一開始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1千米，跑步比步行少用9（105）分鐘。所以步行1千米所用時(shí)間為    1÷9（105）                     0.25（小時(shí)）                     15（分鐘）跑步1千米所用時(shí)間為    159（105）11（分鐘）跑步速度為每小時(shí)        1÷11605.5（千米）答：孫亮跑步速度為每小時(shí) 5.5千米。 9  植樹問題【含義】    按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個(gè)量之間，已知其中的兩個(gè)量，要求第三個(gè)量，這類應(yīng)用題叫做植樹問題。 【數(shù)量關(guān)系】        線形植樹     棵數(shù)距離÷棵距1                    環(huán)形植樹     棵數(shù)距離÷棵距                    方形植樹     棵數(shù)距離÷棵距4                    三角形植樹     棵數(shù)距離÷棵距3                    面積植樹     棵數(shù)面積÷（棵距×行距） 【解題思路和方法】  先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。 例1    一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？               解   136÷2168169（棵）                            答：一共要栽69棵垂柳。 例2    一個(gè)圓形池塘周長(zhǎng)為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？              解   400÷4100（棵）                              答：一共能栽100棵白楊樹。 例3    一個(gè)正方形的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，每邊長(zhǎng)220米，每隔8米安裝一個(gè)照明燈，一共可以安裝多少個(gè)照明燈？             解   220×4÷841104106（個(gè)）                          答：一共可以安裝106個(gè)照明燈。 例4    給一個(gè)面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長(zhǎng)和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？             解  96÷（0.6×0.4）96÷0.24400（塊）                          答：至少需要400塊地板磚。 例5    一座大橋長(zhǎng)500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個(gè)電桿，每個(gè)電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？解  （1）橋的一邊有多少個(gè)電桿？  500÷50111（個(gè)）    （2）橋的兩邊有多少個(gè)電桿？  11×222（個(gè)）    （3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22×244（盞）                         答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。 10  年齡問題【含義】    這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點(diǎn)是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長(zhǎng)在發(fā)生變化。 【數(shù)量關(guān)系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個(gè)特點(diǎn)。 【解題思路和方法】  可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。 例1    爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？       解          35÷57（倍）                 （35+1）÷（5+1）6（倍）       答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，           明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。 例2    母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？解  （1）母親比女兒的年齡大多少歲？    37730（歲）    （2）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？30÷（41）73（年）         列成綜合算式  （377）÷（41）73（年）                        答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。 例3    3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？解  今年父子的年齡和應(yīng)該比3年前增加（3×2）歲，    今年二人的年齡和為     493×255（歲）    把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相當(dāng)于（41）倍，因此，今年兒子年齡為      55÷（41）11（歲）   今年父親年齡為      11×444（歲）              答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是11歲。 例4    甲對(duì)乙說：“當(dāng)我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你才4歲”。乙對(duì)甲說：“當(dāng)我的歲數(shù)將來是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將61歲”。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？解這里涉及到三個(gè)年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析：              過去某一年今  年將來某一年   甲   歲 歲    61歲   乙   4歲 歲    歲    表中兩個(gè)“”表示同一個(gè)數(shù)，兩個(gè)“”表示同一個(gè)數(shù)。    因?yàn)閮蓚€(gè)人的年齡差總相等：461，也就是4，61成等差數(shù)列，所以，61應(yīng)該比4大3個(gè)年齡差，    因此二人年齡差為         （614）÷319（歲）               甲今年的歲數(shù)為  611942（歲）               乙今年的歲數(shù)為  421923（歲）          答：甲今年的歲數(shù)是42歲，乙今年的歲數(shù)是23歲。 11  行船問題【含義】    行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。 【數(shù)量關(guān)系】  （順?biāo)俣饶嫠俣龋?#247;2船速              （順?biāo)俣饶嫠俣龋?#247;2水速               順?biāo)俅?#215;2逆水速逆水速水速×2               逆水速船速×2順?biāo)夙標(biāo)偎?#215;2 【解題思路和方法】  大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。 例1    一只船順?biāo)?20千米需用8小時(shí)，水流速度為每小時(shí)15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時(shí)？解  由條件知，順?biāo)俅偎?20÷8，而水速為每小時(shí)15千米，所以，船速為每小時(shí)      320÷81525（千米）       船的逆水速為      251510（千米）船逆水行這段路程的時(shí)間為   320÷1032（小時(shí)）                   答：這只船逆水行這段路程需用32小時(shí)。 例2    甲船逆水行360千米需18小時(shí)，返回原地需10小時(shí)；乙船逆水行同樣一段距離需15小時(shí)，返回原地需多少時(shí)間？解由題意得    甲船速水速360÷1036               甲船速水速360÷1820               可見   （3620）相當(dāng)于水速的2倍，       所以，  水速為每小時(shí)    （3620）÷28（千米）       又因?yàn)椋?乙船速水速360÷15，       所以，  乙船速為  360÷15832（千米）       乙船順?biāo)贋?#160;  32840（千米）       所以，  乙船順?biāo)叫?60千米需要                 360÷409（小時(shí)）                         答：乙船返回原地需要9小時(shí)。 例3    一架飛機(jī)飛行在兩個(gè)城市之間，飛機(jī)的速度是每小時(shí)576千米，風(fēng)速為每小時(shí)24千米，飛機(jī)逆風(fēng)飛行3小時(shí)到達(dá)，順風(fēng)飛回需要幾小時(shí)？解  這道題可以按照流水問題來解答。        （1）兩城相距多少千米？                      （57624）×31656（千米）        （2）順風(fēng)飛回需要多少小時(shí)？                1656÷（57624）2.76（小時(shí)）    列成綜合算式        （57624）×3÷（57624）       2.76（小時(shí)）                      答：飛機(jī)順風(fēng)飛回需要2.76小時(shí)。 12  列車問題【含義】    這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時(shí)要注意列車車身的長(zhǎng)度。 【數(shù)量關(guān)系】  火車過橋：過橋時(shí)間（車長(zhǎng)橋長(zhǎng)）÷車速              火車追及： 追及時(shí)間（甲車長(zhǎng)乙車長(zhǎng)距離）                                    ÷（甲車速乙車速）              火車相遇： 相遇時(shí)間（甲車長(zhǎng)乙車長(zhǎng)距離）                                    ÷（甲車速乙車速） 【解題思路和方法】  大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。 例1    一座大橋長(zhǎng)2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長(zhǎng)多少米？解  火車3分鐘所行的路程，就是橋長(zhǎng)與火車車身長(zhǎng)度的和。    （1）火車3分鐘行多少米？  900×32700（米）    （2）這列火車長(zhǎng)多少米？    27002400300（米）     列成綜合算式    900×32400300（米）                           答：這列火車長(zhǎng)300米。 例2    一列長(zhǎng)200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時(shí)間，求大橋的長(zhǎng)度是多少米？解  火車過橋所用的時(shí)間是2分5秒125秒，所走的路程是（8×125）米，這段路程就是（200米橋長(zhǎng)），所以，橋長(zhǎng)為                  8×125200800（米）                           答：大橋的長(zhǎng)度是800米。 例3    一列長(zhǎng)225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長(zhǎng)140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長(zhǎng)時(shí)間？解  從追上到追過，快車比慢車要多行（225140）米，而快車比慢車每秒多行（2217）米，因此，所求的時(shí)間為              （225140）÷（2217）73（秒）                          答：需要73秒。 例4    一列長(zhǎng)150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個(gè)扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時(shí)間？解  如果把人看作一列長(zhǎng)度為零的火車，原題就相當(dāng)于火車相遇問題。                     150÷（223）6（秒）                         答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。 例5    一列火車穿越一條長(zhǎng)2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長(zhǎng)1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長(zhǎng)度各是多少？解  車速和車長(zhǎng)都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時(shí)間不同，是因?yàn)樗淼辣却髽蜷L(zhǎng)?？芍疖囋冢?858）秒的時(shí)間內(nèi)行駛了（20001250）米的路程，因此，火車的車速為每秒              （20001250）÷（8858）25（米）   進(jìn)而可知，車長(zhǎng)和橋長(zhǎng)的和為（25×58）米，   因此，車長(zhǎng)為            25×581250200（米）                   答：這列火車的車速是每秒25米，車身長(zhǎng)200米。 13  時(shí)鐘問題【含義】    就是研究鐘面上時(shí)針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時(shí)鐘問題可與追及問題相類比。 【數(shù)量關(guān)系】   分針的速度是時(shí)針的12倍，               二者的速度差為11/12。               通常按追及問題來對(duì)待，也可以按差倍問題來計(jì)算。 【解題思路和方法】  變通為“追及問題”后可以直接利用公式。 例1    從時(shí)針指向4點(diǎn)開始，再經(jīng)過多少分鐘時(shí)針正好與分針重合？解  鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時(shí)走60格；時(shí)針每小時(shí)走5格，每分鐘走5/601/12格。每分鐘分針比時(shí)針多走（11/12）11/12格。4點(diǎn)整，時(shí)針在前，分針在后，兩針相距20格。所以分針追上時(shí)針的時(shí)間為    20÷（11/12） 22（分）                     答：再經(jīng)過22分鐘時(shí)針正好與分針重合。 例2    四點(diǎn)和五點(diǎn)之間，時(shí)針和分針在什么時(shí)候成直角？解  鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時(shí)候相差15格（包括分針在時(shí)針的前或后15格兩種情況）。四點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后（5×4）格，如果分針在時(shí)針后與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走     （5×415）格，如果分針在時(shí)針前與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走（5×415）格。再根據(jù)1分鐘分針比時(shí)針多走（11/12）格就可以求出二針成直角的時(shí)間。            （5×415）÷（11/12） 6（分）           （5×415）÷（11/12） 38（分）                  答：4點(diǎn)06分及4點(diǎn)38分時(shí)兩針成直角。 例3    六點(diǎn)與七點(diǎn)之間什么時(shí)候時(shí)針與分針重合？解  六點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后（5×6）格，分針要與時(shí)針重合，就得追上時(shí)針。這實(shí)際上是一個(gè)追及問題。（5×6）÷（11/12） 33（分）                  答：6點(diǎn)33分的時(shí)候分針與時(shí)針重合。14  盈虧問題【含義】    根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題。 【數(shù)量關(guān)系】  一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：             參加分配總?cè)藬?shù)（盈虧）÷分配差如果兩次都盈或都虧，則有：             參加分配總?cè)藬?shù)（大盈小盈）÷分配差             參加分配總?cè)藬?shù)（大虧小虧）÷分配差 【解題思路和方法】  大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。 例1    給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個(gè)就余11個(gè)；若每人分4個(gè)就少1個(gè)。問有多少小朋友？有多少個(gè)蘋果？解   按照“參加分配的總?cè)藬?shù)（盈虧）÷分配差”的數(shù)量關(guān)系：    （1）有小朋友多少人？  （111）÷（43）12（人）    （2）有多少個(gè)蘋果？     3×121147（個(gè)）                         答：有小朋友12人，有47個(gè)蘋果。 例2    修一條公路，如果每天修260米，修完全長(zhǎng)就得延長(zhǎng)8天；如果每天修300米，修完全長(zhǎng)仍得延長(zhǎng)4天。這條路全長(zhǎng)多少米？解  題中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，按照“參加分配的總?cè)藬?shù)（大虧小虧）÷分配差”的數(shù)量關(guān)系，可以得知原定完成任務(wù)的天數(shù)為        （260×8300×4）÷（300260）22（天）這條路全長(zhǎng)為           300×（224）7800（米）                            答：這條路全長(zhǎng)7800米。 例3    學(xué)校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？解  本題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，于是就有      （1）有多少車？  （300）÷（4540）6（輛）      （2）有多少人？   40×630270（人）                            答：有6 輛車，有270人。15  工程問題【含義】    工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項(xiàng)工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時(shí)，常常用單位“1”表示工作總量。 【數(shù)量關(guān)系】  解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)（它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系列出算式。            工作量工作效率×工作時(shí)間                工作時(shí)間工作量÷工作效率            工作時(shí)間總工作量÷（甲工作效率乙工作效率） 【解題思路和方法】  變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。 例1     一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊(duì)合作，需要幾天完成？解  題中的“一項(xiàng)工程”是工作總量，由于沒有給出這項(xiàng)工程的具體數(shù)量，因此，把此項(xiàng)工程看作單位“1”。由于甲隊(duì)獨(dú)做需10天完成，那么每天完成這項(xiàng)工程的1/10；乙隊(duì)單獨(dú)做需15天完成，每天完成這項(xiàng)工程的1/15；兩隊(duì)合做，每天可以完成這項(xiàng)工程的（1/101/15）。由此可以列出算式：   1÷（1/101/15）1÷1/66（天）                         答：兩隊(duì)合做需要6天完成。 例2    一批零件，甲獨(dú)做6小時(shí)完成，乙獨(dú)做8小時(shí)完成?，F(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲比乙多做24個(gè)，求這批零件共有多少個(gè)？解  設(shè)總工作量為1，則甲每小時(shí)完成1/6，乙每小時(shí)完成1/8，甲比乙每小時(shí)多完成（1/61/8），二人合做時(shí)每小時(shí)完成（1/61/8）。因?yàn)槎撕献鲂枰?÷（1/61/8）小時(shí)，這個(gè)時(shí)間內(nèi)，甲比乙多做24個(gè)零件，所以（1）每小時(shí)甲比乙多做多少零件？                 24÷1÷（1/61/8）7（個(gè)）（2）這批零件共有多少個(gè)？                        7÷（1/61/8）168（個(gè)）                          答：這批零件共有168個(gè)。解二  上面這道題還可以用另一種方法計(jì)算：兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲乙的工作量之比為  1/61/843由此可知，甲比乙多完成總工作量的  43  /  43  1/7所以，這批零件共有    24÷1/7168（個(gè)） 例3    一件工作，甲獨(dú)做12小時(shí)完成，乙獨(dú)做10小時(shí)完成，丙獨(dú)做15小時(shí)完成?，F(xiàn)在甲先做2小時(shí)，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時(shí)才能完成？解  必須先求出各人每小時(shí)的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會(huì)給計(jì)算帶來方便，因此，我們?cè)O(shè)總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分別是            60÷125    60÷106    60÷154          因此余下的工作量由乙丙合做還需要                 （605×2）÷（64）5（小時(shí)）                        答：還需要5小時(shí)才能完成。 例4    一個(gè)水池，底部裝有一個(gè)常開的排水管，上部裝有若干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。當(dāng)打開4個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要5小時(shí)才能注滿水池；當(dāng)打開2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時(shí)將水池注滿，至少要打開多少個(gè)進(jìn)水管？解  注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，水的流量就是工作量，單位時(shí)間內(nèi)水的流量就是工作效率。要2小時(shí)內(nèi)將水池注滿，即要使2小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進(jìn)水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設(shè)某一個(gè)量為單位1，其余兩個(gè)量便可由條件推出。我們?cè)O(shè)每個(gè)同樣的進(jìn)水管每小時(shí)注水量為1，則4個(gè)進(jìn)水管5小時(shí)注水量為（1×4×5），2個(gè)進(jìn)水管15小時(shí)注水量為（1×2×15），從而可知每小時(shí)的排水量為    （1×2×151×4×5）÷（155）1即一個(gè)排水管與每個(gè)進(jìn)水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為   1×4×51×515  又因?yàn)樵?小時(shí)內(nèi)，每個(gè)進(jìn)水管的注水量為  1×2，   所以，2小時(shí)內(nèi)注滿一池水至少需要多少個(gè)進(jìn)水管？  （151×2）÷（1×2）                       8.59（個(gè)）                       答：至少需要9個(gè)進(jìn)水管。 16  正反比例問題 【含義】    兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用。 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用。  【數(shù)量關(guān)系】  判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡(jiǎn)捷。  【解題思路和方法】  解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。 正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。  例1    修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長(zhǎng)是多少米？ 解  由條件知，公路總長(zhǎng)不變。           原已修長(zhǎng)度總長(zhǎng)度1（13）14312           現(xiàn)已修長(zhǎng)度總長(zhǎng)度1（12）13412 比較以上兩式可知，把總長(zhǎng)度當(dāng)作12份，則300米相當(dāng)于（43）份，從而知公路總長(zhǎng)為    300÷（43）×123600（米）                          答： 這條公路總長(zhǎng)3600米。  例2    張晗做4道應(yīng)用題用了28分鐘，照這樣計(jì)算，91分鐘可以做幾道應(yīng)用題？ 解  做題效率一定，做題數(shù)量與做題時(shí)間成正比例關(guān)系     設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題  則有  28491X          28X91×4    X91×4÷28     X13                         答：91分鐘可以做13道應(yīng)用題。  例3    孫亮看十萬個(gè)為什么這本書，每天看24頁(yè)，15天看完，如果每天看36頁(yè)，幾天就可以看完？ 解  書的頁(yè)數(shù)一定，每天看的頁(yè)數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系     設(shè)X天可以看完，就有  2436X15                            36X24×15   X10                         答：10天就可以看完。 例4    一個(gè)大矩形被分成六個(gè)小矩形，其中四個(gè)小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面積。A                                                252036B16     解   由面積÷寬長(zhǎng)可知，當(dāng)長(zhǎng)一定時(shí)，面積與寬成正比，所以每一上下兩個(gè)小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因?yàn)榈谝恍腥齻€(gè)小矩形的寬相等，第二行三個(gè)小矩形的寬也相等。因此，             A362016        25B2016           解這兩個(gè)比例，得  A45  B20         所以，大矩形面積為  453625202016162                             答：大矩形的面積是162  17  按比例分配問題【含義】    所謂按比例分配，就是把一個(gè)數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。 【數(shù)量關(guān)系】  從條件看，已知總量和幾個(gè)部分量的比；從問題看，求幾個(gè)部分量各是多少。  總份數(shù)比的前后項(xiàng)之和 【解題思路和方法】  先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項(xiàng)相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項(xiàng)分別作分子），再按照求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的計(jì)算方法，分別求出各部分量的值。 例1    學(xué)校把植樹560棵的任