南昌市10所省重點(diǎn)中學(xué)命制2013屆高三第二次模擬突破沖刺（七）數(shù)學(xué)（文）試題本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分第卷1至2頁，第卷3至4頁滿分150分，考試時間120分鐘第卷一.選擇題(本大題10個小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合要求)1已知復(fù)數(shù)，則的虛部為( ) A.2 B. C. D. 2設(shè)為非空集合,定義集合A*B為如圖陰影部分表示的集合，若則A*B=( )A（0，2） B C（1,2 D3已知，則的值為( )A B C1 D24若，且，則( ) A B C D5觀察下列各式：，若，則( )A.43 B57 C73 D916一次考試某簡答題滿分5分，以分為給分區(qū)間這次考試有人 參加，該題沒有得零分的人，所有人的得分按分組所得的頻率分布直方圖如圖所示設(shè)其眾數(shù)、中位數(shù)、平均分最大的可能值分別為，則( ) A. B. C. D. 7. 給定下列命題過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為.在中，在上任取一點(diǎn)，使為鈍角三角形的概率為是不等式成立的一個充分不必要條件.“存在實(shí)數(shù)使”的否定是“存在實(shí)數(shù)使”.其中真命題的個數(shù)為( )A.1 B.2 C.3 D.4A B C D9.已知橢圓上一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該橢圓離心率的取值范圍為( )A B C D第卷二.填空題(本大題5個小題,每小題5分,共25分,把答案填在題中橫線上)11. 不等式的解集為 12. 已知兩個單位向量的夾角為，若向量，= . 13. 曲線在處的切線方程為 14. 已知等差數(shù)列的前項和為,、是方程的兩根,且,則數(shù)列的公差為.15. 執(zhí)行如下圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果是8，則判斷框內(nèi)的取值范圍是 三.解答題(本大題6個小題,共75分,解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16. (本小題滿分12分) 已知函數(shù)（其中，）的最大值為2，最小正周期為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值.17. (本小題滿分12分) 已知是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，首項，前項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，首項 （1）求和的通項公式. （2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證： 18. (本小題滿分12分) 已知集合,.從集合中各取一個元素分別記為，設(shè)方程為（1）求方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的概率.（2）求方程不表示橢圓也不表示雙曲線的概率19. (本小題滿分12分) 如圖,正三棱柱中,側(cè)面是邊長為2的正方形,是的中點(diǎn),在棱上.(1)當(dāng)時,求三棱錐的體積.(2)當(dāng)點(diǎn)使得最小時,判斷直線與是否垂直,并證明結(jié)論.20. (本小題滿分13分) 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓 上，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線分別為，且與交于點(diǎn).(1) 求橢圓的方程；(2) 是否存在滿足的點(diǎn)? 若存在，指出這樣的點(diǎn)有幾個（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）; 若不存在，說明理由.21. (本小題滿分14分) 已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù).若至少存在一個，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍2013屆高三模擬試卷（07）數(shù)學(xué)(文)參考答案 ， . . .解法2：， ， . . 解法3: ，. 作軸, 軸,垂足分別為,. 設(shè),則.17. (本小題滿分12分) 解：(1)設(shè)公差為，公比為，則 ,， 是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，.則,（2）， . 18. (本小題滿分12分) 解：、所有可能的取法有：，共27種， （1）其中表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的有：共6種，故方程 表示焦點(diǎn)在軸的上雙曲線的概率為：； （2）其中不表示橢圓也不表示雙曲線的有： 共11種，故方程不表示橢圓也不表示雙曲線的概率為：19. (本小題滿分12分)解：(1)因為側(cè)面是邊長為2的正方形，又(2)解法1：將側(cè)面展開到側(cè)面得到矩形,連結(jié),交于點(diǎn),此時點(diǎn)使得最小.此時平行且等于的一半,為的中點(diǎn).連接在中，得在中，得在等腰中，得所以由，得有勾股定理知解法2：將側(cè)面展開到側(cè)面得到矩形,連結(jié),交于點(diǎn),此時點(diǎn)使得最小.此時平行且等于的一半,為的中點(diǎn).過點(diǎn)作交于,連接，由且知四邊形為所以.在正三棱柱中知面,而，所以面.20. (本小題滿分13分)(1) 解法1：設(shè)橢圓的方程為,依題意: 解得: 橢圓的方程為. 解法2：設(shè)橢圓的方程為，根據(jù)橢圓的定義得，即， ， . 橢圓的方程為. (2) 解法1：顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為， 由消去，得. 設(shè),則. 由,即得. 拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即.， . 同理,得拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為. 由解得 . ,點(diǎn)在橢圓上. .化簡得.(*) 由, 可得方程(*)有兩個不等的實(shí)數(shù)根. 滿足條件的點(diǎn)有兩個. 解法2：設(shè)點(diǎn),，由,即得. 拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即.， .點(diǎn)在切線上, . 同理， . 綜合、得，點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程.經(jīng)過的直線是唯一的，直線的方程為， 點(diǎn)在直線上， . 點(diǎn)的軌跡方程為. 若 ，則點(diǎn)在橢圓上，又在直線上，直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn),直線與橢圓交于兩點(diǎn). 滿足條件 的點(diǎn)有兩個. 解法3：設(shè)點(diǎn),，則，三點(diǎn)共線, . 化簡得：. 由,即得. 拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即. 同理，拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為 . 設(shè)點(diǎn)，由得：，而，則 . 代入得 ， 則，代入 得 ，即點(diǎn)的軌跡方程為.若 ，則點(diǎn)在橢圓上，而點(diǎn)又在直線上，直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn),直線與橢圓交于兩點(diǎn). 滿足條件 的點(diǎn)有兩個. 21. (本小題滿分14分) 解：（1）函數(shù)的定義域為，設(shè) ， 當(dāng)時，在上恒成立，則在上恒成立，此時在上單調(diào)遞減 當(dāng)時，（I）由得. 當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增 當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞減（II）由得或；.當(dāng)時，開口向下，在上恒成立，則在上恒成立，此時在上單調(diào)遞減當(dāng)，開口向上，在上恒成立，則在上恒成立，此時 在上單調(diào)遞增 （III）由得若，開口向上，且，都在上. 由，即，得或； 由，即，得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為 當(dāng)時，拋物線開口向下，在恒成立，即在（0，+恒成立，所以在單調(diào)遞減綜上所述：遞減遞增遞減遞增遞增其中 （2）因為存在一個使得，則，等價于.令，等價于“當(dāng) 時，”.對求導(dǎo)，得. 因為，由，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 由于，所以，因此. ·10·