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南昌市10所省重點中學命制2013屆高三第二次模擬突破沖刺（七） 數(shù)學（文）試題 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁．滿分150分，考試時間120分鐘． 第Ⅰ卷 一.選擇題(本大題10個小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合要求) 1．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為( ) A.2 B. C. D. 2．設(shè)為非空集合,定義集合A*B為如圖陰影部分表示的集合， 若則A*B=( ) A．（0，2） B． C．（1,2] D． 3．已知，則的值為( ) A． B． C．1 D．2 4．若，且，則( ) A． B． C． D． 5．觀察下列各式：，，，…．若，則( ) A.43 B．57 C．73 D．91 6．一次考試某簡答題滿分5分，以分為給分區(qū)間．這次考試有人 參加，該題沒有得零分的人，所有人的得分按分 組所得的頻率分布直方圖如圖所示．設(shè)其眾數(shù)、中位數(shù)、平均分最大的可 能值分別為，則( ) A. 　B. C. 　　　D. 7. 給定下列命題 ①過點且與圓相切的直線方程為. ②在△中，，，，在上任取一點，使△為鈍角三角形的概率為 ③是不等式成立的一個充分不必要條件. ④“存在實數(shù)使”的否定是“存在實數(shù)使”. 其中真命題的個數(shù)為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 A．　 B．　 C．　 D． 9.已知橢圓上一點關(guān)于原點的對稱點為為其右焦點，若，設(shè)，且，則該橢圓離心率的取值范圍為( ) A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二.填空題(本大題5個小題,每小題5分,共25分,把答案填在題中橫線上) 11. 不等式的解集為　　　?。? 12. 已知兩個單位向量的夾角為，若向量，= . 13. 曲線在處的切線方程為 ． 14. 已知等差數(shù)列的前項和為,、是方程的兩根,且,則數(shù)列的公差為. 15. 執(zhí)行如下圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果是8，則判斷框內(nèi)的取值范圍是 三.解答題(本大題6個小題,共75分,解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 16. (本小題滿分12分) 已知函數(shù)（其中，，）的最大值為2，最小正周期為. （1）求函數(shù)的解析式； （2）若函數(shù)圖象上的兩點的橫坐標依次為，為坐標原點，求的值. 17. (本小題滿分12分) 已知是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，首項，前項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，首項 （1）求和的通項公式. （2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：． 18. (本小題滿分12分) 已知集合,,.從集合中各取一個元素分別記為，設(shè)方程為． （1）求方程表示焦點在軸上的雙曲線的概率. （2）求方程不表示橢圓也不表示雙曲線的概率． 19. (本小題滿分12分) 如圖,正三棱柱中,側(cè)面是邊長為2的正方形,是的中點,在棱上. (1)當時,求三棱錐的體積. (2)當點使得最小時,判斷直線與是否垂直,并證明結(jié)論. 20. (本小題滿分13分) 已知橢圓的中心在坐標原點，兩個焦點分別為，，點在橢圓 上，過點的直線與拋物線交于兩點，拋物線在點處的切線分別為，且與交于點. (1) 求橢圓的方程； (2) 是否存在滿足的點? 若存在，指出這樣的點有幾個（不必求出點的坐標）; 若不存在，說明理由. 21. (本小題滿分14分) 已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）設(shè)函數(shù).若至少存在一個，使得成立，求實數(shù)的取值范圍． 2013屆高三模擬試卷（07）數(shù)學(文)參考答案 ， ∴. ∴. ∴. 解法2：∵， ， ∴.∴. ∴. 解法3: ∵， ， ∴. 作軸, 軸,垂足分別為, ∴,. 設(shè),則. ∴. 17. (本小題滿分12分) 解：(1)設(shè)公差為，公比為，則 ,， 是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，. 則,, （2）∵， ∴ . 18. (本小題滿分12分) 解：、所有可能的取法有：，，，，共27種， （1）其中表示焦點在x軸上的雙曲線的有： 共6種，故方程 表示焦點在軸的上雙曲線的概率為：； （2）其中不表示橢圓也不表示雙曲線的有： 共11種，故方程不表示橢圓也不表示雙曲線的概率為： 19. (本小題滿分12分) 解：(1)因為側(cè)面是邊長為2的正方形， 又 (2)解法1：將側(cè)面展開到側(cè)面得到矩形,連結(jié),交于點,此時點使得最小.此時平行且等于的一半,為的中點.連接 在中，得 在中，得 在等腰中，得 所以由，，得有勾股定理知 解法2：將側(cè)面展開到側(cè)面得到矩形,連結(jié),交于點,此時點使得最小.此時平行且等于的一半,為的中點.過點作交于,連接，由且知四邊形為所以.在正三棱柱中知面,而，所以面. 20. (本小題滿分13分) (1) 解法1：設(shè)橢圓的方程為,依題意: 解得: ∴ 橢圓的方程為. 解法2：設(shè)橢圓的方程為，根據(jù)橢圓的定義得，即， ∵， ∴. ∴ 橢圓的方程為. (2) 解法1：顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為， 由消去，得. 設(shè),則. 由,即得. ∴拋物線在點處的切線的方程為，即. ∵， ∴. 同理,得拋物線在點處的切線的方程為. 由解得 ∴. ∵, ∴點在橢圓上. ∴. 化簡得.(*) 由, 可得方程(*)有兩個不等的實數(shù)根. ∴滿足條件的點有兩個. 解法2：設(shè)點,，，由,即得. ∴拋物線在點處的切線的方程為， 即.∵， ∴ . ∵點在切線上, ∴. ① 同理， . ② 綜合①、②得，點的坐標都滿足方程.∵經(jīng)過的直線是唯一的，∴直線的方程為， ∵點在直線上， ∴. ∴點的軌跡方程為. 若 ，則點在橢圓上，又在直線上，∵直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點,∴直線與橢圓交于兩點. ∴滿足條件 的點有兩個. 解法3：設(shè)點,，則，， ∵三點共線, . 化簡得：. ① 由,即得. ∴拋物線在點處的切線的方程為，即. ② 同理，拋物線在點處的切線的方程為 . ③ 設(shè)點，由②③得：，而，則 . 代入②得 ， 則，代入 ① 得 ， 即點的軌跡方程為.若 ，則點在橢圓上，而點又在直線上，∵直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點, ∴直線與橢圓交于兩點. ∴滿足條件 的點有兩個. 21. (本小題滿分14分) 解：（1）函數(shù)的定義域為，．設(shè) ， ①當時，，在上恒成立，則在上恒成立，此時在上單調(diào)遞減． ②當時，（I）由得. 當時，恒成立， 在上單調(diào)遞增． 當時，恒成立，在上單調(diào)遞減． （II）由得或；.當時，開口向下，在上恒成立，則在上恒成立，此時在上單調(diào)遞減． 當，開口向上，在上恒成立，則在上恒成立， 此時 在上單調(diào)遞增． （III）由得 若，開口向上，，且，，都在上. 由，即，得或； 由，即，得． 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和， 單調(diào)遞減區(qū)間為． 當時，拋物線開口向下，在 恒成立，即在（0，+恒成立，所以在單調(diào)遞減 綜上所述： 遞減 遞增 遞減 遞增 遞增 其中 （2）因為存在一個使得， 則，等價于.令，等價于“當 時，”. 對求導(dǎo)，得. 因為，由，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 由于，所以，因此. ·10·