第二章 推理與證明綜合檢測時間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1銳角三角形的面積等于底乘高的一半；直角三角形的面積等于底乘高的一半；鈍角三角形的面積等于底乘高的一半；所以，凡是三角形的面積都等于底乘高的一半以上推理運用的推理規(guī)則是()A三段論推理B假言推理C關(guān)系推理 D完全歸納推理答案D解析所有三角形按角分，只有銳角三角形、Rt三角形和鈍角三角形三種情形，上述推理窮盡了所有的可能情形，故為完全歸納推理2數(shù)列1,3,6,10,15，的遞推公式可能是()A.B.C.D.答案B解析記數(shù)列為an，由已知觀察規(guī)律：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，可知當n2時，an比an1多n，可得遞推關(guān)系(n2，nN*)3有一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分數(shù)”，結(jié)論顯然是錯誤的，因為()A大前提錯誤 B小前提錯誤C推理形式錯誤 D不是以上錯誤答案C解析大小前提都正確，其推理形式錯誤故應(yīng)選C.4用數(shù)學(xué)歸納法證明等式123(n3)(nN*)時，驗證n1，左邊應(yīng)取的項是()A1 B12C123 D1234答案D解析當n1時，左12(13)124，故應(yīng)選D.5在R上定義運算：xyx(1y)若不等式(xa)(xa)1對任意實數(shù)x都成立，則()A1a1 B0a2Ca Da答案C解析類比題目所給運算的形式，得到不等式(xa)(xa)<1的簡化形式，再求其恒成立時a的取值范圍(xa)(xa)<1(xa)(1xa)<1即x2xa2a1>0不等式恒成立的充要條件是14(a2a1)<0即4a24a3<0解得<a<.故應(yīng)選C.6已知f(n)，則()Af(n)中共有n項，當n2時，f(2)Bf(n)中共有n1項，當n2時，f(2)Cf(n)中共有n2n項，當n2時，f(2)Df(n)中共有n2n1項，當n2時，f(2)答案D解析項數(shù)為n2(n1)n2n1，故應(yīng)選D.7已知abc0，則abbcca的值()A大于0 B小于0C不小于0 D不大于0答案D解析解法1：abc0，a2b2c22ab2ac2bc0，abacbc0.解法2：令c0，若b0，則abbcac0，否則a、b異號，abbcacab0，排除A、B、C，選D.8已知c1，a，b，則正確的結(jié)論是()Aab BabCab Da、b大小不定答案B解析a，b，因為>>0，>>0，所以>>0，所以a<b.9若凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸(k1)邊形的內(nèi)角和f(k1)(k3且kN*)等于()Af(k) Bf(k)Cf(k) Df(k)2答案B解析由凸k邊形到凸(k1)邊形，增加了一個三角形，故f(k1)f(k).10若，則ABC是()A等邊三角形B有一個內(nèi)角是30°的直角三角形C等腰直角三角形D有一個內(nèi)角是30°的等腰三角形答案C解析，由正弦定理得，sinBcosB，sinCcosC，BC45°，ABC是等腰直角三角形11若a0，b0，則p(ab)與qab·ba的大小關(guān)系是()Apq BpqCpq Dpq答案A若ab，則1，ab0，1；若0ab，則01，ab0，1；若ab，則1，pq.12設(shè)函數(shù)f(x)定義如下表，數(shù)列xn滿足x05，且對任意的自然數(shù)均有xn1f(xn)，則x2011()x12345f(x)41352A.1 B2C4 D5答案C解析x1f(x0)f(5)2，x2f(2)1，x3f(1)4，x4f(4)5，x5f(5)2，數(shù)列xn是周期為4的數(shù)列，所以x2011x34，故應(yīng)選C.二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分將正確答案填在題中橫線上)13半徑為r的圓的面積S(r)r2，周長C(r)2r，若將r看作(0，)上的變量，則(r2)2r.式可用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù)對于半徑為R的球，若將R看作(0，)上的變量，請你寫出類似于式的式子：_，你所寫的式子可用語言敘述為_答案4R2；球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)14已知f(n)1(nN*)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)>時，f(2k1)f(2k)_.答案解析f(2k1)1f(2k)1f(2k1)f(2k).15觀察sin210°cos240°sin10°cos40°；sin26°cos236°sin6°cos36°.兩式的結(jié)構(gòu)特點可提出一個猜想的等式為_答案sin2cos2(30°)sincos(30°)解析觀察40°10°30°，36°6°30°，由此猜想：sin2cos2(30°)sincos(30°).可以證明此結(jié)論是正確的，證明如下：sin2cos2(30°)sin·cos(30°)sin(30°2)sin30°1cos(60°2)cos2sin(30°2)12sin(30°2)sin30°sin(30°2)sin(30°2)sin(30°2).16設(shè)P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意a、bP，都有ab、ab、ab、P(除數(shù)b0)，則稱P是一個數(shù)域例如有理數(shù)集Q是數(shù)域；數(shù)集Fab|a，bQ也是數(shù)域有下列命題：整數(shù)集是數(shù)域；若有理數(shù)集QM，則數(shù)集M必為數(shù)域；數(shù)域必為無限集；存在無窮多個數(shù)域其中正確命題的序號是_(把你認為正確命題的序號都填上)答案解析考查閱讀理解、分析等學(xué)習能力整數(shù)a2，b4，不是整數(shù)；如將有理數(shù)集Q，添上元素，得到數(shù)集M，則取a3，b，abM；由數(shù)域P的定義知，若aP，bP(P中至少含有兩個元素)，則有abP，從而a2b，a3b，anbP，P中必含有無窮多個元素，對設(shè)x是一個非完全平方正整數(shù)(x>1)，a，bQ，則由數(shù)域定義知，F(xiàn)ab|a、bQ必是數(shù)域，這樣的數(shù)域F有無窮多個三、解答題(本大題共6個小題，共74分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本題滿分12分)已知：a、b、cR，且abc1.求證：a2b2c2.證明由a2b22ab，及b2c22bc，c2a22ca.三式相加得a2b2c2abbcca.3(a2b2c2)(a2b2c2)2(abbcca)(abc)2.由abc1，得3(a2b2c2)1，即a2b2c2.18(本題滿分12分)證明下列等式，并從中歸納出一個一般性的結(jié)論2cos，2cos，2cos，證明2cos2·2cos22·2cos2219(本題滿分12分)已知數(shù)列an滿足a13，an·an12·an11.(1)求a2、a3、a4；(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并寫出數(shù)列an的一個通項公式解析(1)由an·an12·an11得an2，代入a13，n依次取值2,3,4，得a22，a32，a42.(2)證明：由an·an12·an11變形，得(an1)·(an11)(an1)(an11)，即1，所以是等差數(shù)列由，所以n1，變形得an1，所以an為數(shù)列an的一個通項公式20(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)ax(a>1)(1)證明：函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)；(2)用反證法證明方程f(x)0沒有負根解析(1)證法1：任取x1，x2(1，)，不妨設(shè)x1<x2，則x2x1>0，且ax1>0，又x11>0，x21>0，f(x2)f(x1)>0，于是f(x2)f(x1)ax2ax1>0，故函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)證法2：f(x)axlnaaxlnaa>1，lna>0，axlna>0，f(x)>0在(1，)上恒成立，即f(x)在(1，)上為增函數(shù)(2)解法1：設(shè)存在x0<0(x01)滿足f(x0)0則ax0，且0<ax0<1.0<<1，即<x0<2，與假設(shè)x0<0矛盾故方程f(x)0沒有負數(shù)根解法2：設(shè)x0<0(x01)若1<x0<0，則<2，ax0<1，f(x0)<1.若x0<1則>0，ax0>0，f(x0)>0.綜上，x<0(x1)時，f(x)<1或f(x)>0，即方程f(x)0無負根21(本題滿分12分)我們知道，在ABC中，若c2a2b2，則ABC是直角三角形現(xiàn)在請你研究：若cnanbn(n2)，問ABC為何種三角形？為什么？解析銳角三角形cnanbn (n2)，ca, cb，由c是ABC的最大邊，所以要證ABC是銳角三角形，只需證角C為銳角，即證cosC0.cosC，要證cosC0，只要證a2b2c2，注意到條件：anbncn，于是將等價變形為：(a2b2)cn2cn.ca，cb，n2，cn2an2，cn2bn2，即cn2an20，cn2bn20，從而(a2b2)cn2cn(a2b2)cn2anbna2(cn2an2)b2(cn2bn2)0，這說明式成立，從而式也成立故cosC0，C是銳角，ABC為銳角三角形22(本題滿分14分)(2010·安徽理，20)設(shè)數(shù)列a1，a2，an，中的每一項都不為0.證明an為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何nN，都有.分析本題考查等差數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法與充要條件等有關(guān)知識，考查推理論證、運算求解能力解題思路是利用裂項求和法證必要性，再用數(shù)學(xué)歸納法或綜合法證明充分性證明先證必要性設(shè)數(shù)列an的公差為d.若d0，則所述等式顯然成立若d0，則.再證充分性證法1：(數(shù)學(xué)歸納法)設(shè)所述的等式對一切nN都成立首先，在等式兩端同乘a1a2a3，即得a1a32a2，所以a1，a2，a3成等差數(shù)列，記公差為d，則a2a1d.假設(shè)aka1(k1)d，當nk1時，觀察如下兩個等式，將代入，得，在該式兩端同乘a1akak1，得(k1)ak1a1kak.將aka1(k1)d代入其中，整理后，得ak1a1kd.由數(shù)學(xué)歸納法原理知，對一切nN，都有ana1(n1)d，所以an是公差為d的等差數(shù)列證法2：(直接證法)依題意有，.得，在上式兩端同乘a1an1an2，得a1(n1)an1nan2.同理可得a1nan(n1)an1(n2)得2nan1n(an2an)即an2an1an1an，由證法1知a3a2a2a1，故上式對任意nN*均成立所以an是等差數(shù)列- 11 -