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湖南省2013年六校聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）考試試題卷 湘潭市一中、長(zhǎng)沙市一中、師 大 附中、 岳陽(yáng)市一中、株洲市二中、常德市一中 時(shí)量120分鐘 滿(mǎn)分150分 一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．） 1、已知全集U=｛0,1,2,3,4,5｝，集合A=｛0,1,3｝，集合B=｛0,3,4,5｝，則（ ） A . B. C. D. 2、下列說(shuō)法中正確的是（ ）． A．“”是“”必要不充分條件； B．命題“對(duì)，恒有”的否定是“，使得”． C．?m∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋mx (x∈R)是奇函數(shù) D．設(shè)，是簡(jiǎn)單命題，若是真命題，則也是真命題； 3、兩個(gè)變量與的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同模型，計(jì)算出它們的相關(guān)指數(shù)如下，其中擬合效果最好的模型是 ( ) A.模型1（相關(guān)指數(shù)為0.97） B.模型2（相關(guān)指數(shù)為0.89） C.模型3（相關(guān)指數(shù)為0.56 ） D.模型4（相關(guān)指數(shù)為0.45） 4、在三角形OAB中，已知OA=6，OB=4，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，則（ ） A 10 B -10 C 20 D -20 5、 如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體體積是（ ） A B C D 6、已知（為銳角）， 則（ ） A． B． C． D． 7、如圖,拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn) 向準(zhǔn)線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足為,若為等邊三角形, 則拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ( ）． A． B． C． D. 8、已知函數(shù)f (x)= 與 g(x)=sin有兩個(gè)公共點(diǎn), 則在下列函數(shù)中滿(mǎn)足條件的周期最大的g(x)=（ ） A． B． C． D． 二、填空題（本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)的橫線(xiàn)上．） （一）選做題（請(qǐng)考生在第9,10,11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分 ） 9. 以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，已知曲線(xiàn)C的參數(shù)方程是，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是，則直線(xiàn)與曲線(xiàn)C相交的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是______. 10. 如圖，是圓的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上， 且．切圓于，是的中點(diǎn)， 直線(xiàn)交圓于點(diǎn)．則　　　　　?。? 11、設(shè)，則函數(shù)y = 的最大值是　　?。? 開(kāi)始 S=0,T=0,n=00 S=S+4 n=n+2 T=T+n 輸出T 結(jié)束 是 否 (二) 必做題（12~16題） 12、設(shè)復(fù)數(shù) (其中為虛數(shù)單位)，則等于 13、已知的展開(kāi)式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大， 則含項(xiàng)的系數(shù)= ______. 14、執(zhí)行右邊的程序框圖，若輸出的T=20， 則循環(huán)體的判斷框內(nèi)應(yīng)填入的的條件是（填相應(yīng)編號(hào)） 。（①T≥S，②T＞S，③T≤S，④T＜S） 15. 設(shè)矩形區(qū)域由直線(xiàn)和所圍成的平面圖形，區(qū)域是由余弦函數(shù)、 及所圍成的平面圖形．在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)的拋擲一粒豆子，則該豆子落在區(qū)域的概率是　　　　　?。? 16. 用三個(gè)不同字母組成一個(gè)含個(gè)字母的字符串，要求由字母 開(kāi)始，相鄰兩個(gè)字母不能相同. 例如時(shí)，排出的字符串是；時(shí)排出的字符串是,…….記這種含個(gè)字母的所有字符串中，排在最后一個(gè)的字母仍是的字符串的個(gè)數(shù)為. 故. ． 三、解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 17、（本題滿(mǎn)分12分）駕駛證考試規(guī)定需依次按科目一（理論）、科目二（場(chǎng)內(nèi)）、科目三（場(chǎng)外）進(jìn)行，只有當(dāng)上一科目考試合格才可以參加下一科目的考試，每個(gè)科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì)，三個(gè)科目考試均合格方可獲得駕駛證?，F(xiàn)張某已通過(guò)了科目一的考試，假設(shè)他科目二考試合格的概率為，科目三考試合格的概率為，且每次考試或補(bǔ)考合格與否互不影響。 （1）求張某不需要補(bǔ)考就可獲得駕駛證的概率。 （2）若張某不放棄所有考試機(jī)會(huì)，記為參加考試的次數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望。 18．（本題滿(mǎn)分12分）由五個(gè)直角邊為的等腰直角三角形拼成如圖的平面凹五邊形 ACDEF，沿AD折起，使平面ADEF⊥平面ACD. （1） 求證：FB⊥AD （2） 求二面角C-EF-D的正切值. 19、（本題滿(mǎn)分12分）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，滿(mǎn)足，且的等差中項(xiàng)，數(shù)列滿(mǎn)足，其前項(xiàng)和為，且 （1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式 （2）數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 20.（本題滿(mǎn)分13分）某小型加工廠生產(chǎn)某種機(jī)器部件，每個(gè)月投產(chǎn)一批。 該部件由5個(gè)A零件和2個(gè)B零件構(gòu)成，加工廠采購(gòu)這兩種零件的毛坯進(jìn)行精加工, 再組裝成部件, 每加工成一個(gè)部件需要消耗10度電。 已知A、B兩種零件毛坯采購(gòu)價(jià)格均為4元/個(gè), 但如果同一種零件毛坯一次性采購(gòu)超過(guò)1千個(gè)時(shí)，超過(guò)的部分可按優(yōu)惠價(jià)3.6元/個(gè)結(jié)算。電費(fèi)按月交納, 電價(jià)按階梯電價(jià)計(jì)算：每月用電在5000度以?xún)?nèi)1元/度, 超過(guò)5000度的部分每度電增加c （c > 0）元. 設(shè)每月還需要其他成本（不含人工成本）600元. 在不考慮人工成本的條件下, 問(wèn)： (1) 每月若投入資金1萬(wàn)元, 可生產(chǎn)多少件部件? (2) 每月若有2萬(wàn)元的資金可供使用, 但要平均每件的成本最低, 應(yīng)投入多少資金? 21. （本題滿(mǎn)分13分）已知P（0，-1）與Q（0，1）是直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩定點(diǎn)，過(guò)曲線(xiàn)C上一動(dòng)點(diǎn)M（x,y)作Y軸的垂線(xiàn)，垂足為N，點(diǎn)E滿(mǎn)足，且。 1） 求曲線(xiàn)C的方程。 2） 設(shè)曲線(xiàn)與x軸正半軸交于點(diǎn)，任作一直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）且，求證過(guò)定點(diǎn)并求定點(diǎn)的坐標(biāo)。 22、（本題滿(mǎn)分13分）已知函數(shù) （1）討論的單調(diào)性與極值點(diǎn)。 （2）若, 證明當(dāng)時(shí)，的圖象恒在的圖象上方. （3）證明 湖南省2013年六校聯(lián)考數(shù)學(xué)考試試題答案 1、 選擇題： 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A B B B D C 二、填空題： 9、2 10、，，因是的中點(diǎn)，所以． 11、由柯西不等式，得． 或用基本不等式：． 12、2i 13、28 14 ② 15、陰影面積為 ， 故所求的概率為． 16、答案： 解析： 所以， 所以， 兩式相減得： 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，利用累加法得= 所以，； 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，利用累加法得= 所以，. 綜上所述: 三、解答題答案： 17、答案： 解：設(shè)“科目二第一次考試合格”為事件A1； “科目二補(bǔ)考考試合格”為事件A2； “科目三第一次考試合格”為事件B1； “科目三補(bǔ)考考試合格”為事件B2； 則A1、A2、B1、B2相互獨(dú)立。 （1）他不需要補(bǔ)考就可獲得駕證的概率為： …………………………………………5分 （2）的可能取值為2，3，4 ∵ …………………………………………9分 ∴的分布列為 2 3 4 P …………………………………………………12分 18、 答案： 解： 法一：(1)作FO⊥AD于O，連OB. .......................(1分） ∵等腰直角三角形AFD, ∴點(diǎn)O為AD的中點(diǎn). 而等腰直角三角形ABD，∴BO⊥AD, 而FO∩BO=O， ∴AD⊥平面FOB, ∴FB⊥AD .....................（5分） (2) ∵等腰直角三角形ADB和等腰直角三角形CDB, ∴∠ADC=90°， ∴CD⊥AD .....................（7分） 又 ∵平面ADEF⊥平面ACD，平面ADEF∩平面ACD=AD， ∴CD⊥平面ADEF. 作DM⊥FE，連接MC， ∠DMC即為二面角C-EF-D的平面角. ...................（10分） 在直角三角形MDC中，∠MDC=90°，MD=1 , DC=2 , ∴tan∠DMC=2 , ∴二面角C-EF-D的正切值為2. ...................（12分） 法二：（1）作FO⊥AD于O，連OB，∵平面ADEF⊥平面ACD，∴FO⊥平面ADC. ∵等腰直角三角形AFD, ∴點(diǎn)O為AD的中點(diǎn).而等腰直角三角形ABD，∴BO⊥AD 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系， ∴F（0,0,1），A（1,0,0），D（-1,0,0）,C（-1,2,0）,B（0,1,0）E（-2,0,1 ) .................(2分） ∵,∴FB⊥AD .................(5分） （2） 顯然平面DEF的法向量， ................(7分） 平面CEF中，, ∴平面CEF的法向量， ...............(10分） ∴ ∴ ∴二面角C-EF-D的正切值為2. .................(12分） 19、 答案： 解（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為則 是的等差中項(xiàng) ................(3分） 依題意，數(shù)列為等差數(shù)列，公差 又 . ...............(6分） （2） . ...............(8分） 不等式 化為 ..........(9分） 對(duì)一切恒成立。 而 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等式成立。 ................(12分） 20、 答案： 解：設(shè)產(chǎn)量為x件, 總成本y元, 生產(chǎn)200件需要1000個(gè)A零件, 生產(chǎn)500件需要1000個(gè)B零件, 并需要5000度電。 …..(1分) 當(dāng)時(shí), y=(5x+2x)+10x+600=38x+600 y …..(3分) 當(dāng)時(shí), y=(5x+2x)-(5x-1000)+10x+600=36x+1000 y ………..(5分) 當(dāng)x>500時(shí), y=(5x+2x)-(7x-2000)+ 10x+(10x-5000)+600=(35.2+10c)x+1400-5000c y>19000 ………..(7分) (1) 當(dāng)y=10000時(shí), 20, 故令 36x+1000=10000, 得 x=250 答：若投入資金10000元, 可生產(chǎn)250件. ……….(8分) (2) 平均每件的成本 ……..(10分) 在(0, 500]上遞減, 在[500, )上： 若1400-5000c>0, 即c<0.28時(shí)依然遞減, 故可全部投入20000元資金使平均每件的成本最低； 若1400-5000c<0, 即c>0.28時(shí)遞增, x=500時(shí)平均每件的成本最低, 可投入資金19000元. 若1400-5000c=0, 即c=0.28時(shí)為定值38, 可投入19000元至20000元任意數(shù)值的資金. ………..(13分) 21、 答案： 解：（1）依題意知N（0，y），. 又 ........（2分） .........（3分） ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ……（5分） （2）設(shè)直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)為，方程為 由 得： ① ……（6分） ② ③ ……（7分） 又 ④ ……（8分） 又即 即 ⑤ 將②③④代入⑤并整理得： 或 ……（9分） 當(dāng)時(shí)，①式成立 此時(shí)直線(xiàn)的方程為, 過(guò)定點(diǎn)（ ……（10分） 當(dāng)時(shí)，①式成立 此時(shí)直線(xiàn)的方程為過(guò)點(diǎn) 與直線(xiàn)不過(guò)點(diǎn)矛盾。 …… （11分） 若直線(xiàn)的斜率不存在，設(shè)的方程為 由 得 由得即 解之得 ……（12分） 當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為過(guò)點(diǎn) 當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為過(guò)點(diǎn)（舍） 由上可知，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn) ……（13分） 22、 答案：(添加計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)) 解：（1） ................(1分） 當(dāng)時(shí)在（0，）上恒成立 在(0,+∞)單調(diào)遞增,此時(shí)無(wú)極值點(diǎn) ...............(2分） 當(dāng)在定義域上的變化情況如下表： x （ ＋ － ＋ 增 減 增 由此表可知在（0 , 1）和（上單調(diào)遞增, 在（1 , ）上單調(diào)遞減 為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn) . ...............(4分） （2）時(shí) 令.....(5分） 當(dāng)時(shí)時(shí), 在（0 1）遞減,在（1，上遞增. 恒成立 ......(7分） 即時(shí)恒成立 當(dāng) 的圖象恒在的圖象的上方 ......(8分） （3）由（2）知即 . ....(9分） 令 .....(10分） =. .....(11分） = = = ∴ 不等式成立. ....(13分） ·13·