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3.5.2 簡單的線性規(guī)劃,1,求z=2x+y的最大值，使式中的x,y 滿足約束條件,2,一般地，求線性目標函數(shù)在線性約束 條件下的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為 線性規(guī)劃問題,滿足線性規(guī)劃條件的解(x,y)叫做可行解 由所有可行解組成的集合叫做可行域,滿足條件的可行解叫做這個問題的最優(yōu)解,定義,由x,y的一次不等式(或方程)組成的不等式 （或方程）組，它是對x,y的約束條件，稱為 線性約束條件,z=Ax+By是欲達到最大值或最小值所涉及的 變量x,y的解析式，叫做目標函數(shù).由于z=Ax+By 是x,y的一次解析式,所以又叫做線性目標函數(shù).,3,問題 某工廠計劃生產甲、乙兩種產品，這兩種產品都需要兩種原料。生產甲種產品1工時需要A種原料3kg，B種原料1kg;生產乙種產品1工時需要A種原料2kg，B種原料2kg。現(xiàn)有A種原料1200kg， B種原料800kg。如果生產甲種產品每工時的平均利潤是30元，生產乙種產品每工時的平均利潤是40元，問甲、乙兩種產品各生產多少工時能使利潤總額最大？最大利潤是多少？,4,解：依題意可列表如下,5,設計劃生產甲種產品x工時，乙甲種產品y工時,則獲得利潤總額為：,F=30x+40y ⑴,其中x、y滿足下列條件,令30x+40y=0，記作,6,如圖在可行域內B點為最優(yōu)解,B(200,300),,,,,４００,６００,４００,８００,A,B,C,,7,,代入式子⑴Ⅰ得,答：用200工時生產甲種產品，用300工時生產乙種產品，能獲得利潤18000元，此時利潤總額最大。,8,例3、A，B兩個居民小區(qū)的居委會組織本小區(qū)的中學生，利用雙休日去市郊的敬老院參加獻愛心活動，兩個小區(qū)都有同學參加。已知A區(qū)的每位同學往返車費是3元，每人可為5位老人服務；B區(qū)的每位同學往返車費是5元，每人可為3位老人服務。如果要求B區(qū)參與活動的同學比A區(qū)的同學多，且去敬老院的往返車費不超過37元，怎樣安排A，B兩區(qū)參與活動的同學人數(shù)，才能使受到服務的老人多？受到服務的老人最多是多少？,9,解：設A,B兩區(qū)參與活動的人數(shù)分別為x,y,受到服務的老人的人數(shù)為z，則,應滿足的約束條件是,即,10,o,,,,,11,根據(jù)不等式組，作出可行域內的整點（如圖）M點為最優(yōu)解。,解方程組,當x=4,y=5時,答：A，B兩區(qū)參與活動的同學人數(shù)分別為4，5時，才能使受到服務的老人最多。受到服務的老人最多是多為35人。,12,,練習1：求z=2x+y的最大值，使式中的x,y 滿足約束條件,,13,設 z=2x+y，式中變量 x,y 滿足下列條件,，求 z 的最大值和最小值,14,15,,,,,,,,,l0,l1,l,l2,,,A(5,2),B(1,1),作直線l0:2x+y=0,作一組與l0平行的直線 l:2x+y=t,以經過點A的直線l2 所對應的t最大,以經過點B的直線l1 所對應的t最小,x,y,o,16,?zmax=2×5+2=12,zmin=2×1+1=3,17,例１．下表給出甲，乙，丙三種食物中的維生素A,B的含量及單價：,營養(yǎng)師想購買這三種食物共１０千克，使它們所含的維生素A不少于４４００單位，維生素B不少于４８００單位，而且要使付出的金額最低，這三種食物應各購買多少千克？,18,解：設購買甲種食物x千克，乙種食物y千克，則購買丙種食物(10-x-y)千克．又設總支出為z元，依題意得z=7x+6y+5(10-x-y), 化簡得z=2x+y+50.,x,y應滿足的約束條件,,19,,,,,,,Y=2,M,化簡得,根據(jù)上述不等式組，作出表示可行域的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示．,,20,解方程組,得點M(3,2),因此，當x=3.y=2時，z取得最小值為,答：購買甲種食物３千克，乙種食物２千克，丙種食物５千克時，付出的金額為５８千克．,21,例2某貨運公司擬用集裝箱托運甲，乙兩種貨物，一個大集裝箱能夠裝所托運貨物的總體積不能超過24立方米，總重量不能低于650千克。甲，乙兩種貨物每袋的體積，重量和可獲得的利潤，列表如下：,,,問；在一個大集裝箱內，這兩種貨物各裝多少袋（不一定都是整袋）時，可獲得最大例潤？,22,解：設托運甲種貨物x袋，乙種貨物y袋．獲得利潤z百元，則z=20x+10y,,依題意，可得關于x,y的約束條件,根據(jù)上述不等式組，作出表示可行域的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示。,23,,記,:20x+10y=0,即2x+y=0,,,,,,M,24,解方程組,得點M(4,1),因此當x=4,y=1時，z取得最大值。此時,答：裝甲種貨物4袋，乙種貨物1袋， 可獲得最大利潤9000元,25,,,練習2：求z=5y-3x的最大值和最小值，使式 中的x,y滿足約束條件,,,zmin=3×(-2)+5 ×(-1)= -11,zmax=3× +5 × =,,,26,,練習3：求z=x+3y的最大值，使式中的x,y滿 足約束條件,?zmax=3+3×6=21,A(3,6),,,27,練習4：,28,點(p,q)在陰影表示 的平面區(qū)域內,29,,(2000，上海),圖中陰影部分的點滿足不等式組,在這些點中，使目標函數(shù)k=6x+8y取得最大值 的點的坐標是,,,,5,3,(1,4),30,31,