第23講 與幾何相關(guān)的應(yīng)用題,第23講 與幾何相關(guān)的應(yīng)用題 1.一緝私艇巡航至距領(lǐng)海邊界線l(一條南北方向的直線)3.8海里的A處,發(fā)現(xiàn) 在其北偏東30方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑,緝私艇立即追擊. 已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍.假設(shè)緝私艇和走私船均按 直線方向以最大航速航行. (1)若走私船沿正東方向逃離,試確定緝私艇的追擊方向,使得用最短時間在 領(lǐng)海內(nèi)攔截成功;,(2)無論走私船沿何方向逃跑,緝私艇是否總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截?并說明理 由.,解析 (1)設(shè)緝私艇在C處與走私船相遇(如圖甲), 圖甲 依題意,AC=3BC. 在ABC中,sinBAC= sinABC= = .,因?yàn)閟in 17 ,所以BAC=17. 從而緝私艇應(yīng)向北偏東47方向追擊. 在ABC中,cos 120= , 解得BC= 1.686 15.又B到邊界線l的距離為3.8-4sin 30=1.8, 1.686 15<1.8,所以能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截走私船. (2)如圖乙,以A為原點(diǎn),正北方向所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.,圖乙 則B(2,2 ),設(shè)緝私艇在P(x,y)處(緝私艇恰好截住走私船的位置)與走私船相 遇,則 =3,即 =3.,整理得 + = , 所以點(diǎn)P(x,y)的軌跡是以點(diǎn) 為圓心, 為半徑的圓.因?yàn)閳A心 到領(lǐng)海邊界線l:x=3.8的距離為1.55,大于圓的半徑 ,所以緝私艇總能在領(lǐng)海 內(nèi)截住走私船.,2.如圖所示,某街道居委會擬在EF地段的居民樓正南方向的空白地段AB上建 一個活動中心,其中AE=30米.活動中心東西走向,與居民樓平行.從東向西看 活動中心的截面圖的下半部分是長方形ABCD,上半部分是以DC為直徑的半 圓.為了保證居民樓住戶的采光要求,活動中心在與半圓相切的太陽光線照射 下落在居民樓上的影長GE不超過2.5米,其中該太陽光線與水平線的夾角滿 足tan = . (1)若設(shè)計AB=18米,AD=6米,問能否保證上述采光要求; (2)在保證上述采光要求的前提下,如何設(shè)計AB與AD的長度,可使得活動中心,的截面面積最大?(注:計算中取3),解析 如圖所示,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在的直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo) 系. (1)因?yàn)锳B=18米,AD=6米,所以半圓的圓心為H(9,6),半徑r=9,設(shè)太陽光線所在,直線的方程為y=- x+b, 即3x+4y-4b=0, 則由 =9, 解得b=24或b= (舍). 故太陽光線所在直線的方程為y=- x+24, 令x=30,得EG=1.5米 時, f (r)>0,函數(shù)y=f(r)為增函數(shù); 當(dāng)r< 時, f (r)<0,函數(shù)y=f(r)為減函數(shù). 又因?yàn)?r ,所以函數(shù)y=f(r)在 上為增函數(shù), 所以當(dāng)r= 時,首飾盒制作費(fèi)用最低.,【核心歸納】 弄清平面圖形的結(jié)構(gòu)及相關(guān)定理、結(jié)論,由此建立目標(biāo)函數(shù), 再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的特征選擇函數(shù)、導(dǎo)數(shù)或不等式解決問題.,題型二 與立體幾何相關(guān)的應(yīng)用題,例2 (2017江蘇,18)如圖,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱臺形 玻璃容器的高均為32 cm,容器的底面對角線AC的長為10 cm,容器 的兩底面對角線EG,E1G1的長分別為14 cm和62 cm.分別在容器和容器 中注入水,水深均為12 cm.現(xiàn)有一根玻璃棒l,其長度為40 cm.(容器厚度、玻璃 棒粗細(xì)均忽略不計) (1)將l放在容器中,l的一端置于點(diǎn)A處,另一端置于側(cè)棱CC1上,求l沒入水中 部分的長度; (2)將l放在容器中,l的一端置于點(diǎn)E處,另一端置于側(cè)棱GG1上,求l沒入水中 部分的長度.,解析 (1)由正棱柱的定義,CC1平面ABCD,所以平面A1ACC1平面ABCD, CC1AC. 記玻璃棒的另一端落在CC1上點(diǎn)M處. 因?yàn)锳C=10 ,AM=40, 所以MC= =30,從而sinMAC= . 記AM與水面的交點(diǎn)為P1,過P1作P1Q1AC,Q1為垂足, 則P1Q1平面ABCD,故P1Q1=12,從而AP1= =16. 答:玻璃棒l沒入水中部分的長度為16 cm.,(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”,則結(jié)果為24 cm) (2)如圖,O,O1是正棱臺的兩底面中心.,由正棱臺的定義,OO1平面EFGH,所以平面E1EGG1平面EFGH,O1OEG. 同理,平面E1EGG1平面E1F1G1H1,O1OE1G1. 記玻璃棒的另一端落在GG1上點(diǎn)N處.,過G作GKE1G1,K為垂足,則GK=OO1=32. 因?yàn)镋G=14,E1G1=62,所以KG1= =24,從而GG1= = =4 0. 設(shè)EGG1=,ENG=, 則sin =sin =cosKGG1= . 因?yàn)?<<,所以cos =- . 在ENG中,由正弦定理可得 = ,解得sin = .,因?yàn)?<< ,所以cos = . 于是sinNEG=sin(-)=sin(+) =sin cos +cos sin = + = . 記EN與水面的交點(diǎn)為P2,過P2作P2Q2EG,Q2為垂足,則P2Q2平面EFGH,故P2 Q2=12,從而EP2= =20. 答:玻璃棒l沒入水中部分的長度為20 cm. (如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”,則結(jié)果為20 cm),【核心歸納】 與立體幾何相關(guān)的問題一般有兩種類型:一是利用立體圖形 的特征、截面圖等轉(zhuǎn)化為平面圖形求解;二是利用立體圖形相關(guān)的公式建立 目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型、三角函數(shù)模型等解決.,2-1 (2018南通第二次調(diào)研)將一鐵塊高溫融化后制成一張厚度忽略不計、 面積為100 dm2的矩形薄鐵皮(如圖),并沿虛線l1,l2裁剪成A,B,C三個矩形(B,C 全等),用來制成一個柱體,現(xiàn)有兩種方案: 方案:以l1為母線,將A作為圓柱的側(cè)面展開圖,并從B,C中各裁剪出一個圓形 作為圓柱的兩個底面; 方案:以l1為側(cè)棱,將A作為正四棱柱的側(cè)面展開圖,并從B,C中各裁剪出一個 正方形(各邊分別與l1與l2垂直)作為正四棱柱的兩個底面. (1)設(shè)B,C都是正方形,且其內(nèi)切圓恰為按方案制成的圓柱的底面,求底面半 徑;,(2)設(shè)l1的長為x dm,則當(dāng)x為多少時,能使按方案制成的正四棱柱的體積最 大?,解析 (1)設(shè)所得圓柱的半徑為r dm, 則(2r+2r)4r=100, 解得r= . (2)設(shè)所得正四棱柱的底面邊長為a dm, 則 即,所得正四棱柱的體積V=a2x= 記函數(shù)p(x)= 則p(x)在(0,2 上單調(diào)遞增,在2 ,+)上單調(diào)遞減, 所以當(dāng)x=2 時,p(x)max=20 . 所以當(dāng)x=2 ,a= 時,Vmax=20 dm3.,題型三 與解析幾何相關(guān)的應(yīng)用題,例3 (2018揚(yáng)州考前調(diào)研)某市為改善市民出行,準(zhǔn)備規(guī)劃道路建設(shè).規(guī)劃中 的道路M-N-P如圖所示,已知A,B是東西方向主干道邊兩個景點(diǎn),且它們距離 城市中心O的距離均為8 km,C是正北方向主干道邊上的一個景點(diǎn),且距離 城市中心O的距離為4 km,線路MN段上的任意一點(diǎn)到景點(diǎn)A的距離比到景點(diǎn) B的距離都多16 km,其中道路起點(diǎn)M到東西方向主干道的距離為6 km,線路 NP段上的任意一點(diǎn)到O的距離都相等.以O(shè)為原點(diǎn)、線段AB所在直線為x軸 建立平面直角坐標(biāo)系xOy. (1)求道路M-N-P的曲線方程; (2)現(xiàn)要在道路M-N-P上建一站點(diǎn)Q,使得Q到景點(diǎn)C的距離最短,問如何設(shè)置站,點(diǎn)Q的位置(即確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)).,解析 (1)線路MN段上的任意一點(diǎn)到景點(diǎn)A的距離比到景點(diǎn)B的距離都多16 km,所以線路MN段所在曲線是以定點(diǎn)A,B為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右上支, 則其方程為x2-y2=64(8x10,0y6), 因?yàn)榫€路NP段上的任意一點(diǎn)到O的距離都相等,所以線路NP段所在曲線是以 O為圓心,ON長為半徑的圓,由線路MN段所在曲線方程可求得N(8,0), 則其方程為x2+y2=64(y0), 故線路示意圖所在曲線的方程為MN段:x2-y2=64(8x10,0y6), NP段:x2+y2=64(-8x8,y0). (2)當(dāng)點(diǎn)Q在MN段上:設(shè)Q(x0,y0),又C(0,4),則|CQ|= ,由(1)得 - =64,即|CQ|= , 則|CQ|= ,即當(dāng)y0=2時,|CQ|min=6 , 當(dāng)點(diǎn)Q在NP段時,設(shè)Q(x1,y1),又C(0,4), 則|CQ|= , 由(1)得 + =64,即|CQ|= , 即當(dāng)y1=0時,|CQ|min=4 . 因?yàn)? <4 , 所以當(dāng)Q的坐標(biāo)為(2 ,2)時,點(diǎn)Q到景點(diǎn)C的距離最短.,【核心歸納】 解決與解析幾何相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題的步驟:建立平面直角坐 標(biāo)系(已有的不需要建系);利用定義法、距離公式等將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué) 問題;利用解析幾何知識解決問題.,3-1 (2018江蘇南通中學(xué)高三考前)如圖,某人工景觀湖外圍有兩條互相垂直 的直線型公路l1,l2,且l1與l2交于點(diǎn)O.為方便游客游覽,計劃修建一條連接公路 與景觀湖的直線型公路AB.景觀湖的輪廓可近似看成一個圓心為O,半徑為2 百米的圓,且公路AB與圓O相切,O與O在AB兩側(cè).圓心O到l1,l2的距離均為5百 米.設(shè)OAB=,AB長為L百米. (1)求L關(guān)于的函數(shù)解析式; (2)當(dāng)為何值時,公路AB的長度最短?,解析 (1)以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則O(5,5). 在RtABO中,OA=Lcos 百米,OB=Lsin 百米. 所以直線AB的方程為 + =1,即xsin +ycos -Lsin cos =0. 因?yàn)橹本€AB與圓O相切, 所以 =2, 因?yàn)辄c(diǎn)O在直線AB的上方, 所以5sin +5cos -2-Lsin cos =0, 解得L= . 因此,L關(guān)于的函數(shù)解析式為L= , .,(2)令t=sin +cos ,則sin cos = , 且t= sin (1, , 所以L=2 , 所以L(t)= <0, 所以L(t)在(1, 上單調(diào)遞減, 所以當(dāng)t= ,即= 時,L(t)取得最小值,Lmin=10 -4. 答:當(dāng)= 時,公路AB的長度最短.,