第一章 4 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與誘導公式,4.1 單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義 4.2 單位圓與周期性,學習目標 1.理解任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義及其應(yīng)用. 2.掌握同角的正弦、余弦函數(shù)值間的關(guān)系. 3.理解周期函數(shù)的定義.,問題導學,達標檢測,題型探究,內(nèi)容索引,問題導學,知識點一 任意角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù),使銳角的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，在終邊上任取一點P，PMx軸于M，設(shè)P(x，y)，|OP|r. 思考1 角的正弦、余弦分別等于什么？,答案 不會.,思考2 對確定的銳角，sin ，cos 的值是否隨P點在終邊上的位置的改變而改變？,思考3 若取|OP|1時，sin ，cos 的值怎樣表示？,答案 sin y，cos x.,梳理 (1)對于任意角，使角的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于唯一的點P(u，v)，那么點P的 定義為角的正弦函數(shù)，記作 ；點P的 定義為角的余弦函數(shù)，記作 . (2)對于給定的角，點P的縱坐標v、橫坐標u都是唯一確定的，所以正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標為函數(shù)值的函數(shù).,縱坐標v,vsin ,橫坐標u,ucos ,知識點二 正弦、余弦函數(shù)的定義域,思考 對于任意角，sin ，cos 都有意義嗎？,答案 由三角函數(shù)的定義可知，對于任意角，sin ，cos 都有意義.,梳理 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域,知識點三 正弦、余弦函數(shù)值在各象限的符號,思考 根據(jù)三角函數(shù)的定義，你能判斷正弦、余弦函數(shù)的值在各象限的符號嗎？,答案 由三角函數(shù)定義可知，在平面直角坐標系中，設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(u，v)，則sin v，cos u. 當為第一象限角時，v>0，u>0，故sin >0，cos >0， 同理可得在其他象限時三角函數(shù)值的符號.,梳理 正弦、余弦函數(shù)在各象限的符號,知識點四 周期函數(shù),思考 由sin(x2k)sin x(kZ)可知函數(shù)值隨著角的變化呈周期性變化，你能說一下函數(shù)的變化周期嗎？,答案 2，4，6，2，等都是函數(shù)的周期.,梳理 一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在 ，對定義域內(nèi)的_ _x值，都有 ，我們就把f(x)稱為周期函數(shù)， 稱為這個函數(shù)的周期. 特別地，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù)，稱2k(kZ，k0)為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期，其中2是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)正周期中 的一個，稱為 ，簡稱為周期.,非零實數(shù)T,任意,一個,f(xT)f(x),T,最小,最小正周期,思考辨析 判斷正誤 1.函數(shù)f(x)x2滿足f(36)f(3)，所以f(x)x2是以6為周期的周期函數(shù).( ),提示 周期函數(shù)需滿足對定義域內(nèi)每一個值x，都有f(xT)f(x)， 對于f(x)x2，f(0)0，f(06)f(6)36，f(0)f(06)， f(x)x2不是以6為周期的周期函數(shù).,2.任何周期函數(shù)都有最小正周期.( ),提示 對于常函數(shù)f(x)c，任意一個正實數(shù)都是其周期，因而不存在最小正周期.,答案,提示,題型探究,類型一 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義的應(yīng)用,命題角度1 已知角終邊上一點坐標求三角函數(shù)值,解答,x0，x1. 當x1時，P(1，3)，,當x1時，P(1，3)，,反思與感悟 (1)已知角終邊上任意一點的坐標求三角函數(shù)值的方法 先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)的三角函數(shù)值.,(2)當角的終邊上點的坐標以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際情況對參數(shù)進行分類討論.,跟蹤訓練1 已知角的終邊過點P(3a，4a)(a0)，求2sin cos 的值.,若a>0，則r5a，角在第二象限，,若a0，則為第一象限角，r2a，,若a<0，則為第三象限角，r2a，,解答,類型二 正弦、余弦函數(shù)值符號的判斷,例3 (1)若是第二象限角，則點P(sin ，cos )在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,解析 為第二象限角， sin 0，cos 0， 點P在第四象限，故選D.,答案,解析,(2)判斷下列各式的符號. sin 145cos(210)；,解 145是第二象限角， sin 1450， 210360150， 210是第二象限角， cos (210)0， sin 145cos(210)0.,解答,sin 3cos 4.,解答,sin 30，cos 40， sin 3cos 4<0.,反思與感悟 準確確定正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值中角所在象限是基礎(chǔ)，準確記憶正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值在各象限的符號是解決正弦、余弦函數(shù)值符號判斷問題的關(guān)鍵.,跟蹤訓練3 若三角形的兩內(nèi)角A，B滿足sin Acos B0，則此三角形必為 A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.以上三種情況都有可能,解析 由題意知，A，B(0，)， sin A0，cos B0， B為鈍角.故選B.,答案,解析,類型三 周期性,例4 (1)已知函數(shù)f(x)在其定義域上都滿足f(x2)f(x)，求證：函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)；,證明 f(x4)f (x2)2f(x2)f(x)f(x)， 由周期函數(shù)定義知，函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù).,證明,證明,由周期函數(shù)定義知，函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù).,反思與感悟 (1)證明函數(shù)是周期函數(shù)，只需根據(jù)定義：存在非零常數(shù)T，對定義域內(nèi)任意實數(shù)x，都有f(xT)f(x).,跟蹤訓練4 若函數(shù)yf(x)(xR)滿足f(x)f(xa)f(xa)(a0，cos <0.,答案,解析,1,2,4,5,3,A.2 B.0 C.1 D.3,解析 f(x)是以1為一個周期的函數(shù)， kZ且k0，也是f(x)的周期.,又當x(1，0)時，f(x)2x1，,1,2,4,5,3,答案,解析,4.點P(sin 2 016，cos 2 016)位于第 象限.,解析 2 0165360216， 2 016是第三象限角， sin 2 016<0，cos 2 0160， 點P位于第三象限.,1,2,4,5,3,答案,解析,三,5.已知角的終邊在直線y2x上，求sin cos 的值.,1,2,4,5,3,解答,規(guī)律與方法,1.三角函數(shù)的定義是以后學習一切三角函數(shù)知識的基礎(chǔ)，要充分理解其內(nèi)涵，把握住三角函數(shù)值只與角的終邊所在位置有關(guān)，與所選取的點在終邊上的位置無關(guān)這一關(guān)鍵點. 2.三角函數(shù)值的符號主要涉及開方、去絕對值等計算問題，同時也要注意終邊在坐標軸上的角的三角函數(shù)值情況，因角的終邊經(jīng)過的點決定了三角函數(shù)值的符號，所以當點的位置不確定時注意進行討論，體現(xiàn)了分類討論的思想. 3.正弦、余弦函數(shù)的周期性反映了終邊相同的角的三角函數(shù)值相等，作用是把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求02(或0360)角的三角函數(shù)值.,