第2課時 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,1.鞏固用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟. 2.會用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題、整除問題以及幾何問題.,數(shù)學(xué)歸納法 (1)應(yīng)用范圍:作為一種證明方法,用于證明一些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題; (2)基本要求:它的證明過程必須是兩步,最后還有結(jié)論,缺一不可; (3)注意點(diǎn):在第二步歸納遞推時,從n=k到n=k+1時必須用上歸納假設(shè).,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,反思對于與正整數(shù)有關(guān)的不等式的證明,如果用其他方法證明比較困難,可考慮使用數(shù)學(xué)歸納法證明.使用數(shù)學(xué)歸納法的難點(diǎn)在第二個步驟上,這時除了一定要運(yùn)用歸納假設(shè)外,還要較多地運(yùn)用不等式證明的其他方法,對所要證明的不等式加以變形,尋求其與歸納假設(shè)的聯(lián)系是解決問題的突破口.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,a2+a+1【例2】 設(shè)aN+,nN+,用數(shù)學(xué)歸納法證明:an+2+(a+1)2n+1能被整除. 分析:用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題,一是注意分析出n=k時的假設(shè)式,二是注意通過分解因式湊出整除.,題型一,題型二,題型三,證明:(1)當(dāng)n=1時, a3+(a+1)3=a+(a+1)a2-a(a+1)+(a+1)2=(2a+1)(a2+a+1), 故當(dāng)n=1時,結(jié)論成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1,kN+)時,結(jié)論成立, 即ak+2+(a+1)2k+1能被a2+a+1整除. 則當(dāng)n=k+1時, a(k+1)+2+(a+1)2(k+1)+1=aak+2+(a+1)2(a+1)2k+1 =aak+2+(a+1)2k+1+(a+1)2(a+1)2k+1-a(a+1)2k+1 =aak+2+(a+1)2k+1+(a2+a+1)(a+1)2k+1. 因?yàn)閍k+2+(a+1)2k+1和a2+a+1均能被a2+a+1整除,且aN+, 所以當(dāng)n=k+1時,結(jié)論成立. 根據(jù)(1)和(2),可知原結(jié)論成立.,題型一,題型二,題型三,反思應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時,關(guān)鍵是“湊項”,采用增項、減項、拆項和因式分解等方法,也可以說將式子“硬提公因式”,即將n=k時的項從n=k+1時的項中“硬提出來”,后面的式子相應(yīng)變形,使之與n=k+1時的項相同,從而達(dá)到利用歸納假設(shè)的目的.,題型一,題型二,題型三,【變式訓(xùn)練2】 用數(shù)學(xué)歸納法證明:對于任意非負(fù)整數(shù)n,An=11n+2+122n+1能被133整除. 證明:(1)當(dāng)n=0時,A0=112+12=133,命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k0,kZ)時命題成立,即Ak=11k+2+122k+1能被133整除,則當(dāng)n=k+1時, Ak+1=11k+3+122k+3=1111k+2+122122k+1 =1111k+2+11122k+1+(122-11)122k+1 =11(11k+2+122k+1)+133122k+1,能被133整除. 即當(dāng)n=k+1時命題成立. 根據(jù)(1)和(2),可知對于任意非負(fù)整數(shù)n命題都成立.,題型一,題型二,題型三,【例3】 有n個圓,其中每兩個圓都相交于兩點(diǎn),并且每三個圓都不相交于同一點(diǎn),求證:這n個圓把平面分成f(n)=n2-n+2個部分. 分析:由n=k到n=k+1時,研究第(k+1)個圓與其他k個圓的交點(diǎn)個數(shù)問題.,題型一,題型二,題型三,證明(1)當(dāng)n=1時,即一個圓把平面分成2個部分,f(1)=2,又當(dāng)n=1時,n2-n+2=2,即命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1,kN+)時,命題成立,即k個圓把平面分成f(k)=k2-k+2個部分.若將第(k+1)個圓記作O,由題意,知它與k個圓中每個圓交于兩點(diǎn),又無三圓交于同一點(diǎn),于是它與其他k個圓相交于2k個點(diǎn).把O分成2k條弧,而每條弧把原區(qū)域分成2部分,因此這個平面的區(qū)域個數(shù)增加了2k個部分,即f(k+1)=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2. 即當(dāng)n=k+1時命題成立. 根據(jù)(1)和(2),可知命題對任何nN+均成立.,題型一,題型二,題型三,反思1.用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題,關(guān)鍵在于分析由n=k到n=k+1的變化情況,即分點(diǎn)(或頂點(diǎn))增加了多少,直線的條數(shù)(或劃分區(qū)域)增加了多少(或幾部分)等. 2.幾何問題的證明:一要注意數(shù)形結(jié)合,二要注意有必要的文字說明.,題型一,題型二,題型三,【變式訓(xùn)練3】 平面上有n條拋物線,其中每兩條都相交于兩點(diǎn),并且任意三條都不相交于同一點(diǎn).求證:這n條拋物線把平面分成f(n)=n2+1部分.,題型一,題型二,題型三,證明:(1)當(dāng)n=1時,即有一條拋物線,它把平面分成兩部分,因?yàn)閒(1)=12+1=2,所以當(dāng)n=1時命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1,kN+)時,命題成立,即k條拋物線把平面分成(k2+1)部分. 則當(dāng)n=k+1時,在k條拋物線的基礎(chǔ)上增加了1條,按題目條件,新增加的這條拋物線與原來k條拋物線有2k個交點(diǎn),2k個交點(diǎn)把新增拋物線分成(2k+1)段,各段把平面一分為二,所以平面增加了(2k+1)部分. 故f(k+1)=f(k)+2k+1=(k+1)2+1,即當(dāng)n=k+1時命題成立. 根據(jù)(1)和(2),可知命題對任意nN+都成立.,1 2 3 4 5,1用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn3(n3,nN),第一步應(yīng)驗(yàn)證 ( ) A.當(dāng)n=1時不等式成立 B.當(dāng)n=2時不等式成立 C.當(dāng)n=3時不等式成立 D.當(dāng)n=4時不等式成立 解析:由題知n的最小值為3,所以第一步驗(yàn)證當(dāng)n=3時不等式成立,選C. 答案:C,6,1 2 3 4 5,2用數(shù)學(xué)歸納法證明 時,由n=k(k>1,kN+)時不等式成立,推證n=k+1時不等式成立,左邊應(yīng)增加的項數(shù)是( ) A.2k-1 B.2k-1 C.2k D.2k+1 解析:增加的項數(shù)為(2k+1-1)-(2k-1)=2k. 答案:C,6,1 2 3 4 5,3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除”的第二步是( ) A.假設(shè)n=2k+1(kN+)時命題正確,再推n=2k+3時命題正確 B.假設(shè)n=2k-1(kN+)時命題正確,再推n=2k+1時命題正確 C.假設(shè)n=k(kN+)時命題正確,再推n=k+1時命題正確 D.假設(shè)n=k(k1,kN+)時命題正確,再推n=k+2時命題正確 答案:B,6,1 2 3 4 5,6,1 2 3 4 5,解析:在從n=k推證n=k+1不等式成立時,必須用到歸納假設(shè),而上述證法沒有用歸納假設(shè). 答案:沒有用歸納假設(shè),6,1 2 3 4 5,6,1 2 3 4 5,6,6.證明:對一切正整數(shù)n,5n+23n-1+1能被8整除. 證明(1)當(dāng)n=1時,5n+23n-1+1=8,顯然能被8整除,即n=1時,結(jié)論成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1,kN+)時,結(jié)論成立, 即5k+23k-1+1能被8整除,設(shè)5k+23k-1+1=8m,mN+, 則當(dāng)n=k+1時,5k+1+23k+1=5(5k+23k-1+1)-43k-1-4=5(5k+23k-1+1)-4(3k-1+1). 而當(dāng)k1,kN+時,3k-1+1顯然為偶數(shù),設(shè)為2t,tN+, 則5(5k+23k-1+1)-4(3k-1+1)=40m-8t(m,tN+),也能被8整除,故當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立. 由(1)(2)可知對一切正整除n,5n+23n-1+1能被8整除.,