4.3 空間直角坐標(biāo)系 4.3.1 空間直角坐標(biāo)系 4.3.2 空間兩點(diǎn)間的距離公式,目標(biāo)導(dǎo)航,新知探求,課堂探究,新知探求素養(yǎng)養(yǎng)成,點(diǎn)擊進(jìn)入 情境導(dǎo)學(xué),知識(shí)探究,1.空間直角坐標(biāo)系,如圖,以正方體OABC-DABC為載體,以O(shè)為原點(diǎn),分別以射線OA,OC,OD的方向?yàn)檎较?以線段OA,OC,OD的長為單位長,建立三條數(shù)軸: ,這時(shí)我們說建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz,其中點(diǎn)O叫做 , 叫做坐標(biāo)軸,通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面,分別稱為 、 、 ,通常建立的坐標(biāo)系為 ,即 指向x軸的正方向, 指向y軸的正方向, 指向z軸的正方向. 探究:(1)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A(a,b,c)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是什么? (2)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A(a,b,c)關(guān)于xOy平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是什么? (3)空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(a,b,c)關(guān)于原點(diǎn)(0,0,0)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是什么? 答案:(1)(a,-b,-c) (2)(a,b,-c) (3)(-a,-b,-c),x軸、y軸、z軸,坐標(biāo)原點(diǎn),x軸、y軸、z軸,xOy平面,yOz平面,zOx平面,右手直角坐標(biāo)系,右手拇指,食指,中指,2.空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo) 空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示,有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作 ,其中x叫做點(diǎn)M的 , y叫做點(diǎn)M的 ,z叫做點(diǎn)M的 . 3.空間兩點(diǎn)間的距離公式 (1)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,任意一點(diǎn)P(x,y,z)與原點(diǎn)間的距離|OP|= . (2)空間中,兩點(diǎn)P1(x1,y1,z1)與P2(x2,y2,z2)之間的距離為|P1P2|= .,M(x,y,z),橫坐標(biāo),縱坐標(biāo),豎坐標(biāo),自我檢測,1.(空間直角坐標(biāo)系)點(diǎn)P(3,0,4),Q(0,0,-3)在空間直角坐標(biāo)系中的位置分別是在( ) (A)y軸上、x軸上 (B)xOz平面上、y軸上 (C)xOz平面上、z軸上 (D)xOy平面上、yOz平面上,C,D,3.(空間兩點(diǎn)間的距離)已知點(diǎn)A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),則ABC為( ) (A)等腰三角形 (B)等邊三角形 (C)直角三角形 (D)等腰直角三角形,答案:(-3,2,1),4.(空間中點(diǎn)的對稱)點(diǎn)P(-3,2,-1)關(guān)于平面xOy的對稱點(diǎn)是 .,C,5.(空間兩點(diǎn)間的距離)設(shè)A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),則AB的中點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離|CM|= .,題型一,空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的確定,課堂探究素養(yǎng)提升,【例1】如圖所示,已知四棱錐P-ABCD,PBAD,側(cè)面PAD為邊長等于2的等邊三角形,底面ABCD為菱形,側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120,G是棱PB的中點(diǎn),請建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求出點(diǎn)P,A,B,C,D,G的坐標(biāo).,方法技巧 (1)建立空間直角坐標(biāo)系時(shí),要考慮如何建系才能使點(diǎn)的坐標(biāo)簡單、便于計(jì)算,一般是要使盡量多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上. (2)對于長方體或正方體,一般取相鄰的三條棱為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系;確定點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),最常用的方法就是求某些與軸平行的線段的長度,即將坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為與軸平行的線段長度,同時(shí)要注意坐標(biāo)的符號,這也是求空間點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)鍵.,即時(shí)訓(xùn)練1-1:如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱 BC,CC1上的點(diǎn), |CF|=|AB|=2|CE|,|AB|AD|AA1|=124. 試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,寫出E,F點(diǎn)的坐標(biāo).,【備用例1】如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=4,|AD|=3,|AA1|=5,N為棱CC1的中點(diǎn),分別以AB,AD,AA1所在的直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系. (1)求點(diǎn)A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐標(biāo);,解:(1)很明顯A(0,0,0), 由于點(diǎn)B在x軸的正半軸上,且|OB|=4,所以B(4,0,0).同理,可得D(0,3,0),A1(0,0,5).由于點(diǎn)C在坐標(biāo)平面xOy內(nèi),BCAB,CDAD,則點(diǎn)C(4,3,0). 同理,可得B1(4,0,5),D1(0,3,5),與C的坐標(biāo)相比,點(diǎn)C1的坐標(biāo)中只有豎坐標(biāo)不同,CC1=AA1=5,則點(diǎn)C1(4,3,5).,(2)求點(diǎn)N的坐標(biāo).,【備用例2】已知如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為正方形,PA平面ABCD,且|PA|=|AB|=2,E為PD的中點(diǎn).建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求A,B,C,D,P,E的坐標(biāo).,解:如圖所示,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 由|PA|=|AB|=2,四邊形ABCD為正方形,可知 A,B,C,D,P,E的坐標(biāo)分別為A(0,0,0,),B(2,0,0), C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1).,題型二,空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱問題,【例2】 已知點(diǎn)P(2,3,-1),求: (1)點(diǎn)P關(guān)于各坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo);,規(guī)范解答:(1)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于xOy坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)為P,則點(diǎn)P在x軸上的坐標(biāo)及在y軸上的坐標(biāo)與點(diǎn)P在x軸上的坐標(biāo)及在y軸上的坐標(biāo)相同,而點(diǎn)P在z軸上的坐標(biāo)與點(diǎn)P在z軸上的坐標(biāo)互為相反數(shù). 所以,點(diǎn)P關(guān)于xOy坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3,1). 同理,點(diǎn)P關(guān)于yOz,zOx坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2,3,-1),(2, -3,-1).,(2)點(diǎn)P關(guān)于各坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo); (3)點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo).,規(guī)范解答:(2)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q,則點(diǎn)Q在x軸上的坐標(biāo)與點(diǎn)P在x軸上的坐標(biāo)相同,而點(diǎn)Q在y軸上的坐標(biāo)及在z軸上的坐標(biāo)與點(diǎn)P在y軸上的坐標(biāo)及在z軸上的坐標(biāo)互為相反數(shù). 所以,點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,-3,1). 同理,點(diǎn)P關(guān)于y軸、z軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2,3,1),(-2,-3,-1). (3)點(diǎn)P(2,3,-1)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,-3,1).,(4)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)(1,2,-6)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo).,方法技巧 解決有關(guān)對稱問題時(shí),注意依靠x軸、y軸、z軸作為參照直線,坐標(biāo)平面為參照面,通過平行、垂直確定出對稱點(diǎn)的位置.空間點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面的對稱問題,可以參照如下口訣記憶:“關(guān)于誰對稱誰不變,其余的符號均相反”.如關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù);關(guān)于xOy坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)不變,豎坐標(biāo)相反.特別注意關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)三個(gè)坐標(biāo)均變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù).,即時(shí)訓(xùn)練2-1:(1)在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(3,4,5)與點(diǎn)Q(3,-4,-5)兩點(diǎn)的位置關(guān)系是( ) (A)關(guān)于x軸對稱 (B)關(guān)于xOy平面對稱 (C)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱 (D)以上都不對 (2)在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(-2,1,4)關(guān)于xOy平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是( ) (A)(-2,1,-4) (B)(-2,-1,-4) (C)(2,-1,4) (D)(2,1,-4),解析:(1)由于P,Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等,縱坐標(biāo)與豎坐標(biāo)分別互為相反數(shù),故P,Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱.故選A. (2)過點(diǎn)P向xOy平面作垂線,垂足為N,則N就是點(diǎn)P與它關(guān)于xOy平面的對稱點(diǎn)的中點(diǎn),因?yàn)镹的坐標(biāo)為(-2,1,0),所以對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,1,-4),故 選A.,【備用例3】 在空間直角坐標(biāo)系中有一個(gè)點(diǎn)P(1,3,-2),求: (1)點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)P1的坐標(biāo); (2)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P2的坐標(biāo);,(3)點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱點(diǎn)P3的坐標(biāo).,題型三,空間兩點(diǎn)間的距離,【例3】 已知點(diǎn)A(1,1,0),對于Oz軸正半軸上任意一點(diǎn)P,在Oy軸上是否存在一點(diǎn)B,使得PAAB成立?若存在,求出B點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.,方法技巧 求空間兩點(diǎn)間的距離時(shí),一般使用空間兩點(diǎn)間的距離公式,應(yīng)用公式的關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,確定兩點(diǎn)的坐標(biāo).確定點(diǎn)的坐標(biāo)的方法視具體題目而定,一般說來,要轉(zhuǎn)化到平面中求解,有時(shí)也利用幾何圖形的特征,結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的知識(shí)確定.,謝謝觀賞！,