第二章 概 率,1 離散型隨機(jī)變量及其分布列,第1課時(shí) 離散型隨機(jī)變量,1.在對(duì)具體問(wèn)題的分析中,了解隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量的意義. 2.了解離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系. 3.能寫(xiě)出隨機(jī)變量所取的值及所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.,1,2,1.隨機(jī)現(xiàn)象中試驗(yàn)(或觀測(cè))的每一個(gè)可能的結(jié)果都對(duì)應(yīng)于一個(gè)數(shù),這種對(duì)應(yīng)稱為一個(gè)隨機(jī)變量,通常用大寫(xiě)的英文字母如X,Y來(lái)表示.實(shí)際上,隨機(jī)變量是從隨機(jī)試驗(yàn)每一個(gè)可能的結(jié)果所組成的集合到實(shí)數(shù)集的映射. 說(shuō)明:(1)一般地,一個(gè)試驗(yàn)如果滿足下列條件: 試驗(yàn)可在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行; 試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是明確可知的,并且不止一個(gè); 每次試驗(yàn)的結(jié)果總是這些可能出現(xiàn)的結(jié)果中的一個(gè),但是在每一個(gè)試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.這種試驗(yàn)就是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),為了方便起見(jiàn),也簡(jiǎn)稱試驗(yàn).,1,2,(2)隨機(jī)變量與函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別: 聯(lián)系:隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種映射,隨機(jī)變量把試驗(yàn)結(jié)果映射為實(shí)數(shù),函數(shù)把實(shí)數(shù)映射為實(shí)數(shù);隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域,隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域. 區(qū)別:隨機(jī)變量的自變量是試驗(yàn)結(jié)果,而函數(shù)f(x)的自變量是實(shí)數(shù)x. (3)若是隨機(jī)變量,=a+b,a,b是常數(shù),則也是隨機(jī)變量.,1,2,【做一做1】 下列選項(xiàng)中不能作為隨機(jī)變量的是( ) A.投擲一枚硬幣80次,正面向上的次數(shù) B.某家庭每月的電話費(fèi) C.某人射擊n次,中靶的次數(shù) D.一個(gè)口袋中裝有3個(gè)號(hào)碼都為1的小球,從中取出兩個(gè)球的號(hào)碼之和為3 答案:D,1,2,2.隨機(jī)變量的取值能夠一一列舉出來(lái)的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量. 說(shuō)明:(1)并不是所有的隨機(jī)變量的取值都能一一列出.例如,電燈泡的壽命X的可能取值是任何一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù),我們是無(wú)法一一列出的. (2)一般地,如果隨機(jī)變量可以取一個(gè)區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)值,則稱這樣的隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系: 區(qū)別:對(duì)于離散型隨機(jī)變量而言,它所有可能取的值為有限個(gè)或至多可列個(gè),或者說(shuō)能將它的可取值按一定次序一一列舉出來(lái);而連續(xù)型隨機(jī)變量可取某一區(qū)間內(nèi)的任意值,我們無(wú)法對(duì)其中的值進(jìn)行一一列舉.,1,2,1,2,【做一做2】 拋擲兩枚骰子,所得點(diǎn)數(shù)之和記為,那么=4表示的試驗(yàn)結(jié)果是( ) A.一枚是3點(diǎn),一枚是1點(diǎn) B.兩枚都是2點(diǎn) C.兩枚都是4點(diǎn) D.一枚是3點(diǎn),一枚是1點(diǎn)或兩枚都是2點(diǎn) 答案:D,題型一,題型二,題型三,【例1】 指出哪些是隨機(jī)變量,哪些不是隨機(jī)變量,并說(shuō)明理由: (1)某人射擊一次命中的環(huán)數(shù); (2)任意擲一枚均勻硬幣5次,出現(xiàn)正面向上的次數(shù); (3)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù); (4)某個(gè)人的屬相隨年齡的變化. 分析:根據(jù)隨機(jī)變量的定義判斷.,題型一,題型二,題型三,解:(1)某人射擊一次,可能命中的所有環(huán)數(shù)是0,1,10,而且出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的,因此命中的環(huán)數(shù)是隨機(jī)變量. (2)任意擲一枚硬幣1次,可能出現(xiàn)正面向上也可能出現(xiàn)反面向上,因此擲5次硬幣,出現(xiàn)正面向上的次數(shù)可能是0,1,2,3,4,5,而且出現(xiàn)哪種結(jié)果是隨機(jī)的,因此出現(xiàn)正面向上的次數(shù)是隨機(jī)變量. (3)擲一枚骰子,出現(xiàn)的結(jié)果是1點(diǎn),2點(diǎn),3點(diǎn),4點(diǎn),5點(diǎn),6點(diǎn)中的一個(gè)且出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的,因此出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是隨機(jī)變量. (4)一個(gè)人的屬相在他出生時(shí)就確定了,不隨年齡的變化而變化,因此屬相不是隨機(jī)變量.,題型一,題型二,題型三,反思解答此類題目的關(guān)鍵在于分析變量是否滿足隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果,隨機(jī)變量從本質(zhì)上講就是以隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果為一個(gè)映射,即隨機(jī)變量的取值實(shí)質(zhì)上是試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)的數(shù),但這些數(shù)是預(yù)先知道所有可能取的值,而不知道在一次試驗(yàn)中哪一個(gè)結(jié)果發(fā)生,隨機(jī)變量取哪一個(gè)值.,題型一,題型二,題型三,【變式訓(xùn)練1】 (1)拋擲一枚均勻硬幣,隨機(jī)變量為 ( ) A.拋擲硬幣的次數(shù) B.出現(xiàn)正面的次數(shù) C.出現(xiàn)正面或反面的次數(shù) D.出現(xiàn)正面和反面的次數(shù)之和 (2)6件產(chǎn)品中有2件次品,4件正品,從中任取1件,則可以作為隨機(jī)變量的是( ) A.取到的產(chǎn)品個(gè)數(shù) B.取到的正品個(gè)數(shù) C.取到正品的概率 D.取到次品的概率,題型一,題型二,題型三,解析:(1)投擲一枚硬幣,可能出現(xiàn)的結(jié)果是正面向上或反面向上.以某一個(gè)為標(biāo)準(zhǔn),如正面向上的次數(shù)來(lái)描述這一隨機(jī)試驗(yàn),那么正面向上的次數(shù)就是隨機(jī)變量,的取值是0,1,故選B.而A項(xiàng)中拋擲次數(shù)就是1,不是隨機(jī)變量;C項(xiàng)中標(biāo)準(zhǔn)不明;D項(xiàng)中,出現(xiàn)正面和反面的次數(shù)之和為必然事件,試驗(yàn)前便知是必然出現(xiàn)的結(jié)果,也不是隨機(jī)變量. (2)由隨機(jī)變量的定義知,隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果,排除C,D項(xiàng),又取到的產(chǎn)品個(gè)數(shù)是一個(gè)確定值.排除A項(xiàng).故選B. 答案:(1)B (2)B,題型一,題型二,題型三,【例2】 指出下列隨機(jī)變量是不是離散型隨機(jī)變量,并說(shuō)明理由. (1)從10張已編好號(hào)碼的卡片(從1號(hào)到10號(hào))中任取一張,被取出的卡片的號(hào)數(shù); (2)一個(gè)袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球,從中任取3個(gè),其中所含白球的個(gè)數(shù); (3)某林場(chǎng)樹(shù)木最高達(dá)30 m,則此林場(chǎng)中樹(shù)木的高度; (4)某加工廠加工的某種銅管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差. 分析:根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義判斷.,題型一,題型二,題型三,解:(1)只要取出一張,便有一個(gè)號(hào)碼,因此被取出的卡片號(hào)數(shù)可以一一列出,符合離散型隨機(jī)變量的定義. (2)從10個(gè)球中取3個(gè)球,所得的結(jié)果有以下幾種:3個(gè)白球;2個(gè)白球和1個(gè)黑球;1個(gè)白球和2個(gè)黑球;3個(gè)黑球.即其結(jié)果可以一一列出,符合離散型隨機(jī)變量的定義. (3)林場(chǎng)樹(shù)木的高度是一個(gè)隨機(jī)變量,它可以取(0,30內(nèi)的一切值,無(wú)法一一列舉,不是離散型隨機(jī)變量. (4)實(shí)際測(cè)量值與規(guī)定值之間的差值無(wú)法一一列出,不是離散型隨機(jī)變量.,題型一,題型二,題型三,反思離散型隨機(jī)變量判定的關(guān)鍵及方法 (1)關(guān)鍵:判斷隨機(jī)變量X的所有取值是否可以一一列出. (2)具體方法: 明確隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果; 將隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化; 確定試驗(yàn)結(jié)果所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是否可按一定次序一一列出,如果能一一列出,則該隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量,否則不是.,題型一,題型二,題型三,【變式訓(xùn)練2】 下列變量中 某人投籃6次投中的次數(shù); 將一枚質(zhì)地均勻的骰子擲兩次,面朝上的點(diǎn)數(shù)之和; 標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下,水沸騰時(shí)的溫度; 某人射擊一次中靶的環(huán)數(shù). 其中屬于離散型隨機(jī)變量的是 .(只填序號(hào)) 解析:由于某人投籃6次投中的次數(shù)的可能值能一一列出,且變量的取值是有限的,但在試驗(yàn)之前卻無(wú)法確定出現(xiàn)哪種結(jié)果,故是離散型隨機(jī)變量,同理可知,也是離散型隨機(jī)變量.由于在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下,水沸騰的溫度是100 ,是一個(gè)定值,不是隨機(jī)變量,故是離散型隨機(jī)變量的是. 答案:,題型一,題型二,題型三,【例3】 寫(xiě)出下列各隨機(jī)變量可能取的值,并說(shuō)明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果. (1)盒中裝有6支白粉筆和2支紅粉筆,從中任意取出3支,其中所含白粉筆的支數(shù),所含紅粉筆的支數(shù); (2)從4張已編號(hào)(14號(hào))的卡片中任意取出2張,被取出的卡片編號(hào)之和. 解:(1)可取1,2,3,=i表示取出i支白粉筆,3-i支紅粉筆,其中i=1,2,3. 可取0,1,2,=i表示取出i支紅粉筆,3-i支白粉筆,其中i=0,1,2.,題型一,題型二,題型三,(2)可取3,4,5,6,7,其中, =3表示取出分別標(biāo)有1,2號(hào)的兩張卡片; =4表示取出分別標(biāo)有1,3號(hào)的兩張卡片; =5表示取出分別標(biāo)有1,4號(hào)或2,3號(hào)的兩張卡片; =6表示取出分別標(biāo)有2,4號(hào)的兩張卡片; =7表示取出分別標(biāo)有3,4號(hào)的兩張卡片.,題型一,題型二,題型三,反思解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于明確隨機(jī)變量的所有可能的取值,以及其取每一個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的意義,即一個(gè)隨機(jī)變量的取值可能對(duì)應(yīng)一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果,解答過(guò)程中不要漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果.,題型一,題型二,題型三,【變式訓(xùn)練3】 寫(xiě)出下列隨機(jī)變量可能取的值,并說(shuō)明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果. (1)拋擲兩枚骰子各一次,第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)差的絕對(duì)值Y; (2)某單位的某部電話在單位時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù). 解:(1)Y的所有可能取值為0,1,2,3,4,5. 用(a,b)來(lái)表示一次基本事件中第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)為a,第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)為b. Y=0表示兩次擲骰子的點(diǎn)數(shù)相同,其包含的基本事件有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6). Y=1表示兩次擲骰子的點(diǎn)數(shù)相差1,其包含的基本事件有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5).,題型一,題型二,題型三,Y=2表示兩次擲骰子的點(diǎn)數(shù)相差2,其包含的基本事件有(1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4). Y=3表示兩次擲骰子的點(diǎn)數(shù)相差3,其包含的基本事件有(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3). Y=4表示兩次擲骰子的點(diǎn)數(shù)相差4,其包含的基本事件有(1,5),(5,1),(2,6),(6,2). Y=5表示兩次擲骰子的點(diǎn)數(shù)相差5,其包含的基本事件有(1,6),(6,1). (2)可取0,1,n. =i,表示被呼叫i次,其中i=0,1,2,n(nN).,1,2,3,4,5,1.給出下列四個(gè)命題: 15秒內(nèi),通過(guò)某十字路口的汽車的數(shù)量是隨機(jī)變量;在一段時(shí)間內(nèi),某候車室內(nèi)候車的旅客人數(shù)是隨機(jī)變量;一條河流每年的最大流量是隨機(jī)變量;一個(gè)劇場(chǎng)共有三個(gè)出口,散場(chǎng)后某一出口退場(chǎng)的人數(shù)是隨機(jī)變量. 其中正確的個(gè)數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:D,1,2,3,4,5,2.10件產(chǎn)品中有3件次品,從中任取2件,可作為隨機(jī)變量的是( ) A.取到產(chǎn)品的件數(shù) B.取到正品的概率 C.取到次品的件數(shù) D.取到次品的概率 解析:對(duì)于A中取到產(chǎn)品的件數(shù)是一個(gè)常量不是變量,B,D也是一個(gè)定值,而C中取到次品的件數(shù)可能是0,1,2,是隨機(jī)變量. 答案:C,1,2,3,4,5,3.袋中裝有大小相同的5個(gè)球,分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個(gè)號(hào)碼,現(xiàn)在在有放回取出的條件下依次取出兩個(gè)球,設(shè)兩個(gè)球號(hào)碼之和為隨機(jī)變量,則所有可能取值的個(gè)數(shù)是 ( ) A.5 B.9 C.10 D.25 解析:兩個(gè)球的號(hào)碼之和可能為2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9個(gè). 答案:B,1,2,3,4,5,解析:甲可能在3次射擊中,一次也未中,也可能中1次,2次,3次. 答案:0,1,2,3,1,2,3,4,5,5.寫(xiě)出下列各隨機(jī)變量可能的取值,并說(shuō)明這些值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果: (1)從一個(gè)裝有編號(hào)為1號(hào)到10號(hào)的10個(gè)球的袋中,任取3球,被取出的球的最大編號(hào)為X; (2)一個(gè)袋中裝有10個(gè)紅球,5個(gè)白球,從中任取4個(gè)球,其中所含紅球的個(gè)數(shù)為X; (3)投擲兩枚骰子,所得點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)為X.,1,2,3,4,5,解:(1)X的可能取值為3,4,10. X=k(k=3,4,10)表示取出3個(gè)球中最大編號(hào). (2)X的可能取值為0,1,2,3,4. X=k表示取出k個(gè)紅球,4-k個(gè)白球,其中k=0,1,2,3,4. (3)X的可能取值為2,4,6,8,10,12. X=2表示(1,1);X=4表示(1,3),(2,2),(3,1); X=6表示(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1); X=8表示(2,6),(4,4),(6,2); X=10表示(4,6),(5,5),(6,4); X=12表示(6,6).,