第三章 統(tǒng)計案例,1 回歸分析,1.1 回歸分析,1.通過實例掌握回歸分析的基本思想方法. 2.利用最小二乘法會求線性回歸直線方程,并能用線性回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報.,1,2,1.線性回歸方程 假設(shè)樣本點為(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),設(shè)線性回歸直線方程為y=a+bx,要使這n個點與直線y=a+bx的“距離”平方之和最小,即使得Q(a,b)=(y1-a-bx1)2+(y2-a-bx2)2+(yn-a-bxn)2達(dá)到最小,a,b需滿足 對兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法叫回歸分析.回歸分析是尋找相關(guān)關(guān)系中非確定性關(guān)系的某種確定性. 如果散點圖中樣本點的分布從整體上看大致在一條直線附近,我們稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫線性回歸直線,從整體上看各點與此直線的距離平方之和最小,即該直線最貼近已知的樣本點,最能代表變量x與y之間的關(guān)系.,1,2,2.求線性回歸方程的一般步驟 (1)作出散點圖,將問題所給的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描點,這樣表示出的具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形就是散點圖.從散點圖中我們可以看出樣本是否呈現(xiàn)條狀分布,從而判斷兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系. (2)求回歸系數(shù)a,b,其具體步驟為:將所給的數(shù)據(jù)xi,yi列成相應(yīng)的表格,如下表所示:,1,2,1,2,【做一做1】 隨機(jī)抽樣中得到四個樣本點分別為(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),則y與x之間的回歸直線方程為( ) A.y=x+1 B.y=x+2 C.y=2x+1 D.y=x-1 答案:A,1,2,【做一做2】 某設(shè)備的使用年限x(單位:年)和所支出的維修費用y(單位:萬元)有如下的統(tǒng)計資料: 若由資料知,y與x呈線性相關(guān)關(guān)系.試求: (1)線性回歸方程y=bx+a的回歸系數(shù)a,b; (2)估計使用年限為10年時,維修費用是多少?,1,2,題型一,題型二,【例1】 在關(guān)于人體的脂肪含量(百分比)和年齡關(guān)系的研究中,研究人員獲得了一組數(shù)據(jù):,(1)假設(shè)x與y之間呈現(xiàn)近似的線性相關(guān)關(guān)系,求y與x之間的線性回歸方程; (2)給出37歲人的脂肪含量的預(yù)測值.,題型一,題型二,分析:兩個變量呈現(xiàn)近似的線性相關(guān)關(guān)系,可通過公式計算出其線性回歸方程,并根據(jù)方程求出預(yù)測值. 解:(1)設(shè)線性回歸方程為y=a+bx,根據(jù)已知列表如下:,題型一,題型二,題型一,題型二,反思本題關(guān)鍵在于利用公式求b和a,確定線性回歸方程.,題型一,題型二,【變式訓(xùn)練1】 某5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和化學(xué)成績?nèi)缦卤? (1)畫出散點圖; (2)求化學(xué)成績y對數(shù)學(xué)成績x的線性回歸方程.,題型一,題型二,題型一,題型二,【例2】 某農(nóng)場對單位面積化肥用量x(單位:kg)和水稻相應(yīng)產(chǎn)量y(單位:kg)的關(guān)系作了統(tǒng)計,得到數(shù)據(jù)如下: 求出線性回歸方程,并預(yù)測當(dāng)單位面積化肥用量為32 kg時,水稻的產(chǎn)量大約是多少?(精確到0.01 kg),題型一,題型二,題型一,題型二,題型一,題型二,【變式訓(xùn)練2】 某地最近十年糧食需求量逐年上升,下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù):,(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程y=bx+a; (2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測該地2016年的糧食需求量.,題型一,題型二,1,2,3,4,5,1.對具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量建立的線性回歸方程y=a+bx中,回歸系數(shù)b( ) A.可以小于0 B.只能大于0 C.可能等于0 D.只能小于0 解析:b可能大于0,也可能小于0,但當(dāng)b=0時,x,y不具有線性相關(guān)關(guān)系. 答案:A,1,2,3,4,5,2.下列兩個變量間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是( ) A.正方體的棱長與體積 B.角的弧度數(shù)與它的正弦值 C.單產(chǎn)為常數(shù)時,土地面積與糧食總產(chǎn)量 D.日照時間與水稻畝產(chǎn)量 答案:D,1,2,3,4,5,3.已知兩個變量x和y之間具有線性相關(guān)性, 甲、乙兩個同學(xué)各自獨立地做了10次和15次試驗,并且利用線性回歸的方法求得回歸直線分別為l1和l2,已知兩個人在試驗中發(fā)現(xiàn)對變量x的觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)都為s,對變量y的觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是t,則下列說法正確的是 ( ) A.l1與l2一定有公共點(s,t) B.l1與l2相交,但交點一定不是(s,t) C.l1與l2必定平行 D.l1與l2必定重合 答案:A,1,2,3,4,5,4.某城市供電局為了了解用電量y(單位:度)與氣溫x(單位:)之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫,并制作了對照表: 由表中數(shù)據(jù),得線性回歸方程y=-2x+a,當(dāng)氣溫為-4 時,預(yù)測用電量的度數(shù)約為 .,1,2,3,4,5,5.某工廠18月份某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x與成本y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)見下表:,(1)畫出散點圖. (2)y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系?若有,求出其線性回歸方程.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,