考點(diǎn)一 矩形的性質(zhì)與判定 (5年5考) 例1 如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DEAD，連接EB，EC，DB，添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是( ) AABBE BBEDC CADB90 DCEDE,【分析】 先證明四邊形BCDE為平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定進(jìn)行分析,【自主解答】 四邊形ABCD為平行四邊形，ADBC， ADBC. 又ADDE， DEBC，且DEBC， 四邊形BCED為平行四邊形 ABBE，DEAD，BDAE， DBCE為矩形，故A選項不符合題意；,對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，不一定為矩形， 故B選項符合題意； ADB90，EDB90， DBCE為矩形，故C選項不符合題意； CEDE，CED90， DBCE為矩形，故D選項不符合題意故選B.,矩形的性質(zhì)應(yīng)用及判定方法 (1)矩形性質(zhì)的應(yīng)用：從邊上看，兩組對邊分別平行且相等；從角上看，矩形的四個角都是直角；從對角線上看，對角線互相平分且相等，同時把矩形分為四個面積相等的等腰三角形,(2)矩形的判定方法：若四邊形可以證為平行四邊形，則 還需證明一個角是直角或?qū)蔷€相等；若直角較多，可利 用“三個角為直角的四邊形是矩形”來證,1(2018棗莊中考)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的 中點(diǎn)，AEBD，垂足為F，則tanBDE的值為( ),A,2(2018濱州中考)如圖，在矩形ABCD中，AB2，BC 4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，若AE ，EAF45，則 AF的長為 ,3如圖，在ABCD中，過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊CD 上，DFBE，連接AF，BF. (1)求證：四邊形BFDE是矩形； (2)若CF3，BF4，DF5，求證：AF平分DAB.,(1)四邊形ABCD是平行四邊形， DCAB，即DFBE. 又DFBE，四邊形BFDE為平行四邊形 又DEAB，DEB90， 四邊形BFDE為矩形,(2)四邊形BFDE為矩形，BFC90. CF3，BF4，BC 5. 四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC5， ADDF5，DAFDFA. 又DCAB，DFAFAB， DAFFAB，即AF平分DAB.,考點(diǎn)二 菱形的性質(zhì)與判定 (5年3考) 例2 (2017濱州中考)如圖，在ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB 長為半徑畫弧交AD于點(diǎn)F；再分別以點(diǎn)B，F(xiàn)為圓心，大于 BF的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；連接AP并延長交 BC于點(diǎn)E，連接EF，則所得四邊形ABEF是菱形,(1)根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程，求證：四邊形ABEF是菱形； (2)若菱形ABEF的周長為16，AE4 ，求C的大小,【分析】 (1)利用“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”進(jìn)行判定； (2)連接BF，利用菱形的性質(zhì)，通過解直角三角形確定OAF的度數(shù)，從而可知C的度數(shù),【自主解答】(1)由作圖過程可知，ABAF，AE平分BAD， BAEEAF. 四邊形ABCD為平行四邊形，BCAD， AEBEAF，BAEAEB， ABBE，BEAF， 四邊形ABEF為平行四邊形，四邊形ABEF為菱形,(2)如圖，連接BF. 四邊形ABEF為菱形， BF與AE互相垂直平分，BAEFAE，,菱形ABEF的周長為16，AF4， OAF30，BAF60. 四邊形ABCD為平行四邊形，CBAD60.,菱形的性質(zhì)應(yīng)用及判定方法 (1)判定一個四邊形是菱形時，一是證明四條邊相等；二是先證明它是平行四邊形，進(jìn)而再證明它是菱形 (2)運(yùn)用菱形的性質(zhì)時，要注意菱形的對角線互相垂直這個條件；此外，菱形的對角線所在的直線是菱形的對稱軸，運(yùn)用這一性質(zhì)可以求出線段和的最小值,4(2015濱州中考)順次連接矩形ABCD各邊的中點(diǎn)， 所得四邊形必定是( ) A鄰邊不等的平行四邊形 B矩形 C正方形 D菱形,D,5(2018日照中考)如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC， BD相交于點(diǎn)O，AOCO，BODO.添加下列條件，不能判定 四邊形ABCD是菱形的是( ) AABAD BACBD CACBD DABOCBO,B,6如圖，在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)， 過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長線于點(diǎn)F，連接CF. (1)求證：AFDC； (2)若ABAC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論,(1)證明：AFBC，AFEDBE. E是AD的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線， AEDE，BDCD. 在AFE和DBE中， AFEDBE(AAS)，AFBD，AFDC.,(2)解：四邊形ADCF是菱形 證明如下：AFBC，AFDC， 四邊形ADCF是平行四邊形 ACAB，AD是斜邊BC的中線，AD BCDC， 平行四邊形ADCF是菱形,考點(diǎn)三 正方形的性質(zhì)與判定 (5年3考) 例3 (2014濱州中考)如圖，已知正方形ABCD，把邊DC繞D點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)30到DC處，連接AC，BC，CC，寫出圖中所有的等腰三角形，并寫出推理過程,【分析】 利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)與判定得出相等的邊，從而得出圖中的等腰三角形 【自主解答】圖中的等腰三角形有DCC，DCA，CAB，CBC. 推理過程：四邊形ABCD是正方形， ABADDC，BADADC90， DCDCDA，,DCC，DCA為等腰三角形 CDC30，ADC90，ADC60， ACD為等邊三角形， ACADAB，CAB為等腰三角形 CAB906030，CDCCAB，,在DCC和ABC中， DCCABC，CCCB， CBC為等腰三角形,判定正方形的方法及其特殊性 (1)判定一個四邊形是正方形，可以先判定四邊形為矩形，再證鄰邊相等或者對角線互相垂直；或先判定四邊形為菱形，再證有一個角是直角或者對角線相等 (2)正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，具有它們的所有性質(zhì),7(2018青島中考)已知正方形ABCD的邊長為5，點(diǎn)E，F(xiàn)分 別在AD，DC上，AEDF2，BE與AF相交于點(diǎn)G，點(diǎn)H為BF的 中點(diǎn)，連接GH，則GH的長為 ,8已知：如圖，在正方形ABCD中，AB4，點(diǎn)G是射線AB上的一個動點(diǎn)，以DG為邊向右作正方形DGEF，作EHAB于點(diǎn)H.,(1)若點(diǎn)G在點(diǎn)B的右邊試探索：EHBG的值是否為定值，若是，請求出定值；若不是，請說明理由 (2)連接EB，在G點(diǎn)的整個運(yùn)動(點(diǎn)G與點(diǎn)A重合除外)過程中，求EBH的度數(shù),解：(1)EHBG的值是定值 EHAB，GHE90，GEHEGH90. 又AGDEGH90，GEHAGD. 四邊形ABCD與四邊形DGEF都是正方形， DAG90，DGGE，DAGGHE.,在DAG和GHE中， DAGGHE(AAS)，AGEH. 又AGABBG，AB4，EHABBG， EHBGAB4.,(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)B的左側(cè)時， 同(1)可證得DAGGHE， GHDAAB，EHAG，BHAGEH. 又GHE90，BHE是等腰直角三角形， EBH45.,如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)B的右側(cè)時， 由DAGGHE， GHDAAB，EHAG，AGBH. 又EHAG，EHHB. 又GHE90，BHE是等腰直角三角形， EBH45.,如圖3，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時， 同理DAGGHE，GHDAAB，EHAGAB， GHE(即BHE)是等腰直角三角形， EBH45. 綜上所述，在G點(diǎn)的整個運(yùn)動(點(diǎn)G與點(diǎn)A重合除外)過程中，EBH都等于45.,考點(diǎn)四 四邊形綜合題 百變例題(2018棗莊中考改編)如圖，將矩形ABCD沿AF折 疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，過點(diǎn)E作EGCD交AF于點(diǎn)G， 連接DG.,(1)求證：四邊形EFDG是菱形； (2)探究線段EG，GF，AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； (3)若 求BE的長,【分析】 (1)先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明DGF DFG，從而得到GDDF，再根據(jù)翻折的性質(zhì)即可證明DG GEDFEF； (2)連接DE，交AF于點(diǎn)O.由菱形的性質(zhì)可知GFDE，OGOF GF，然后證明DOFADF，由相似三角形的性質(zhì)可 證明DF2FOAF，于是可得到EG，AF，GF的數(shù)量關(guān)系；,(3)過點(diǎn)G作GHDC，垂足為H.利用(2)的結(jié)論可求得FG，然后在ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長，然后再證明FGHFAD，利用相似三角形的性質(zhì)可求得GH的長，最后依據(jù)BEADGH求解即可,【自主解答】 (1)GEDF，EGFDFG. 由翻折的性質(zhì)可知GDGE，DFEF，DGFEGF， DGFDFG，GDDF， DGGEDFEF， 四邊形EFDG是菱形 四邊形EFDG是菱形，,變式1：如圖，若點(diǎn)G在BE上，AD10，AB6，CE2， 將ABG沿AG折疊，點(diǎn)B恰好落在線段AE上的點(diǎn)H處求證： (1)FAG45； (2)SABG SEGH； (3)BGCEGE.,證明：如圖， 由題意可知，BGGH，AEAD10，AHAB6， 12，34. (1)1234BAD90， 23 BAD 9045， 即FAG45.,(2)AE10，AH6，HEAEAH1064. 設(shè)BGx，GHBGx， GEADBGEC10x28x. 在RtGHE中， GE2GH2HE2，(8x)2x242，x3， 即GHBG3，,(3)GE8x835，BGEC325， BGCEGE.,變式2：如圖，矩形ABCD中，AD10，AB6，若點(diǎn)M是BC邊上一點(diǎn)，連接AM，把B沿AM折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B處，當(dāng)CMB為直角三角形時，求BM的長,解： 如圖，當(dāng)點(diǎn)B落在矩形內(nèi)部時，連接AC. 在RtABC中，AB6，BC10， B沿AM折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B處， ABMB90.,當(dāng)CMB為直角三角形時，只能得到MBC90， 點(diǎn)A，B，C共線，即B沿AM折疊，使點(diǎn)B落在對角線 AC上的點(diǎn)B處， MBMB，ABAB6，CB2 6. 設(shè)BMx，則MBx，CM10x，,在RtCMB中， MC2MB2CB2， (10x)2x2(2 6)2，,如圖，當(dāng)點(diǎn)B落在AD邊上時， 此時四邊形ABMB為正方形，BMAB6. 綜上所述，BM的長為 或6.,