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1、第四章 　概率分布 ? 在自然界或人類社會(huì)中發(fā)生的各種現(xiàn)象通?？蓜澐譃閮深? ? 確定性現(xiàn)象(definite pｈeｎoｍena）—-一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象； ? 隨機(jī)現(xiàn)象（rａndom　pheｎomena)—-一定條件下可能發(fā)生、但結(jié)果不止一個(gè)、哪個(gè)結(jié)果發(fā)生預(yù)先并不知道的。比如，拋擲一枚硬幣. ? 隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律-—隨機(jī)現(xiàn)象雖然表現(xiàn)為不確定性,但在大量重復(fù)試驗(yàn)觀測下,其結(jié)果會(huì)呈現(xiàn)出某種特定的規(guī)律，稱作隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.如：擲一枚硬幣，{正面朝上}的頻率接近0。5。 ? 概率分布就是描述隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 ? 本章主要介紹：①事件和概率 ②二項(xiàng)分布和泊松分布 ③ 正態(tài)

2、分布 ④　抽樣分布 ? 第一節(jié) 　事件和概率 ? 一、事件 ? 1、隨機(jī)試驗(yàn) ? 滿足下述三個(gè)條件的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)(ｒanｄｏｍ experiｍenｔ)： ? ①試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行； ? ②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個(gè)； ? ③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在試驗(yàn)之前卻不能肯定會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果. ? 在統(tǒng)計(jì)學(xué)里隨機(jī)試驗(yàn)可簡稱為試驗(yàn)。 ? ２、事件 （evｅnt）——試驗(yàn)中所觀察到的結(jié)果。 ? 3、 基本事件 ? 隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果，稱為基本事件（eｌementary eｖｅｎt）或簡單事件（simple evｅnt),不可再

3、分。 ? 4、復(fù)合事件 ? 由若干個(gè)基本事件組合而成的事件,稱復(fù)合事件（cｏmpound event），也稱作復(fù)雜事件 ? ５、必然事件——每次試驗(yàn)中一定發(fā)生的結(jié)果稱作必然事件（ｃerｔaiｎ evｅnt） ，用Ω表示。 ? ６、不可能性事件——在任何一次試驗(yàn)中都不可能發(fā)生的結(jié)果稱作不可能事件(impoｓｓibｌe ｅvenｔ）.用Φ表示. ? 7、隨機(jī)事件——每次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的結(jié)果稱作隨機(jī)事件(raｎdom ｅveｎt)。用A、B、C等表示。 二、 事件之間的關(guān)系和運(yùn)算 ? 1、包含 ? 若事件A的發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件Ａ, 　 　 　

4、 　 　 　 　 　 　 　 。 ? 2、相等 ? 　 　　 　 　 則稱事件A等于事件B，記作Ａ=B。 ? 3、和 ? 若事件A與事件Ｂ至少一個(gè)發(fā)生某事件就發(fā)生，則某事件稱作A與Ｂ的和事件，簡稱為和,記作 ? 　 　　 （讀作A并B)，或A+Ｂ（讀作Ａ加B）. ? 推廣到n個(gè)事件的和： ? 4、積 ? 若事件Ａ與事件Ｂ同時(shí)發(fā)生某事件才發(fā)生,則稱某事件為A與B的積事件，簡稱為積，記作 　 　 　 ,讀作A交Ｂ)或AB（讀作A乘B）。 ? 推廣到個(gè)n個(gè)事件的積： ? 5、差

5、 ? 稱事件Ａ發(fā)生但事件B不發(fā)生的事件為A減B的差事件，簡稱為差，記為A-B. ? 6、互斥 ? 若事件Ａ與事件Ｂ不能同時(shí)發(fā)生，則稱Ａ與Ｂ互斥或互不相容?；コ獍ǚ谴思幢说那樾?，但互斥不一定是非此即彼，事件關(guān)系滿足 　 　 　　 　 。 ? ７、對(duì)立 ? 稱事件A不發(fā)生就發(fā)生的事件為A的對(duì)立事件，記為 　　 。事件的發(fā)生非此即彼,顯然 ? ８、獨(dú)立 ? 若事件Ａ發(fā)生的概率不影響事件B發(fā)生的概率,則稱事件Ａ與事件Ｂ相互獨(dú)立，反之亦然，A與B是一對(duì)彼此獨(dú)立的事件。 ? 注意獨(dú)立與互斥、對(duì)立的區(qū)別,互斥指兩事件不能同時(shí)發(fā)生，滿足　 　 　 ;

6、獨(dú)立指一事件發(fā)生的概率與另一事件發(fā)生的概率無關(guān) 　 　　 　 　 ，對(duì)立事件互斥但不獨(dú)立,因?yàn)樗鼈儩M足 　 　 　 　 9、完備事件系 若ｎ個(gè)A1、 A2、… An事件兩兩互斥，且滿足下式： ? 則稱該個(gè)事件為一個(gè)完備事件系。注意，概率之和等于1并且兩兩互斥的事件系才是完備事件系,兩個(gè)條件缺一不可。 ? 〔例4.1〕用“集合圖”描述事件之間的關(guān)系和運(yùn)算，并理解和掌握它們的實(shí)際意義。 ? 圖4.1 事件之間的關(guān)系和運(yùn)算 三、　概率 ? 用于度量事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值稱作事件的概率(probabｉｌity)。通常用Ｐ(Ａ）、　

7、P(B）等表示。事件的概率具有下述性質(zhì): ? ①設(shè)A為任一事件,則０≤ P(Ａ) ≤　1； ? ②必然事件的概率為１，Ｐ（W）＝1??； ? ③不可能事件的概率為0，P（F）=0 . ? 2、概率的統(tǒng)計(jì)定義 ? 若在相同條件下將試驗(yàn)重復(fù)n 次，且事件A出現(xiàn)了ｎA(yù)次,則事件的頻率（frｅｑuency）定義為 ? 如果隨著試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)n的增大,事件A的頻率越來越穩(wěn)定地在某一常數(shù)附近擺動(dòng)，則稱常數(shù)為事件A的概率(probaｂｉlｉｔｙ），即 ? 這就是統(tǒng)計(jì)意義上的概率定義（statistｉｃal prｏbａbiliｔｙ）。 ? 歷史上曾有幾個(gè)著名的拋一枚均質(zhì)硬幣試驗(yàn) (見教材） ?

8、許多情況下p很難準(zhǔn)確獲得.通常以n充分大時(shí)事件A出現(xiàn)的頻率作為它的概率的估計(jì)值，即： ? 四、　概率計(jì)算法則 ? 1、對(duì)立事件和互斥事件的加法公式 ? 若A和 為對(duì)立事件: ? 若Ａ和B為互斥事件： P（A+B) =　P(A）+ P（Ｂ） ? ２、獨(dú)立事件的乘法 若Ａ、Ｂ為相互獨(dú)立事件： 　P（AB） ＝ P（B）P(A） ? 若A１、 A2、… An為獨(dú)立事件系:　 ? P（Ａ１、 Ａ2、…　An)　=P（Ａ1）（ A2)… Ｐ（Aｎ） 第二節(jié) 隨機(jī)變量及其分布 ? 一、 隨機(jī)變量 ? 　 在隨機(jī)試驗(yàn)中，被測定的量是可取不同值的變量，且其取值具有隨機(jī)性

9、，這樣的變量稱為隨機(jī)變量，用Ｘ表示. X的某次取值記作小寫的ｘ,此時(shí)就稱Ｘ作隨機(jī)變量（randｏm vａriable)，就稱ｘ作隨機(jī)變量的一個(gè)觀察值(ｏｂserved value）或簡稱觀測（obseｒｖatｉｏn）?！? ? 間斷性（internal vａriaｂlｅ ）或稱為離散?。╠ｉｓcrｅte ｖariａbｌｅ）隨機(jī)變量——如果隨機(jī)變數(shù)只有有限個(gè)可能的取值，并在試驗(yàn)中以確定的概率來取這些數(shù)值，就稱它為間斷性（或離散)隨機(jī)變量　。質(zhì)量性狀和計(jì)數(shù)的數(shù)量性狀的試驗(yàn)結(jié)果常常是間斷性隨機(jī)變量。 ? 連續(xù)性隨機(jī)變量(contiｎuoｕｓ ｖａriabｌｅ )-—如果隨機(jī)變數(shù)可能的取值充滿一個(gè)區(qū)

10、間，并且試驗(yàn)結(jié)果落在任意區(qū)間內(nèi)的概率是確定的，就稱它為連續(xù)性隨機(jī)變量。計(jì)量性狀的試驗(yàn)結(jié)果通常是連續(xù)性隨機(jī)變量。 ? 二、 隨機(jī)變量的概率分布 ? 隨機(jī)變數(shù)可能的取值或取值區(qū)間的概率反映了隨機(jī)變數(shù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,稱為概率分布。 ? 1、離散(間斷性）隨機(jī)變量的概率分布 ? 所謂離散隨機(jī)變量的概率分布,就是指概率函數(shù)ｆ（x）和分布函數(shù)Ｆ（x）兩個(gè)基本函數(shù),它們提供了概率分布規(guī)律的完整信息。 ? ①概率函數(shù)（proｂabiliｔy fｕｎｃｔion） ｆ(x） ? 設(shè)隨機(jī)變數(shù)X可能的取值為x1，ｘ2,……，ｘk，每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率P(X=xi）為p1，p2，……,ｐk， 　 　　為離散（

11、間斷性）隨機(jī)變量的概率函數(shù) 表4.1　 間斷性隨機(jī)變量的概率分布列 ? 〔例4。2〕轉(zhuǎn)基因桑樹植株抗病性檢驗(yàn)（邱健德,2０0６）,參試植株分兩組,即轉(zhuǎn)基因組和一般桑樹組，將病級(jí)分為０，１,2,３，４,５級(jí)，觀測發(fā)病的植株數(shù)。由于觀測數(shù)量足夠多,故發(fā)病的概率近似等于頻率，試以此概率為基礎(chǔ)求解隨機(jī)變量的概率函數(shù)和分布函數(shù)。 表4．2 桑樹植株發(fā)病級(jí)的概率函數(shù)和分布函數(shù) ２、連續(xù)隨機(jī)變量的分布 　　 　 連續(xù)性隨機(jī)變量一般用分布函數(shù)F（x）和概率密度函數(shù)f（ｘ) 來表示其概率分布規(guī)律 ①分布函數(shù)(概率累積函數(shù)) F(X) 若X為一連續(xù)隨機(jī)變量， x （-∞,+∞)為任意實(shí)

12、數(shù),則Ｘ的分布函數(shù)或概率累積函數(shù)為： F（X）=P(Ｘ≤x） 　 　 　　 分布函數(shù)F（x）的直觀意義就是隨機(jī)點(diǎn)X落在區(qū)間（－∞，x］上的概率。 ②概率密度函數(shù)ｆ(x） 如果存在非負(fù)函數(shù)f（ｘ） ，使 則稱f（x）為連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度(prｏbabiliｔy density），亦稱密度函數(shù)（deｎsｉｔy ｆunction)或分布密度（ｄistｒiｂution deｎｓiｔy)。 ? ③連續(xù)隨機(jī)變量在給定區(qū)間取值的概率 ? 對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量x，若已知它的分布函數(shù)F(X）,則x的觀察值屬于任一區(qū)間（x１，x2］的概率可由下式求得： 三、大數(shù)定律及小概

13、率事件原理 ? 1、大數(shù)定律 ? 相同條件下大量重復(fù)的試驗(yàn),事件發(fā)生的頻率隨試驗(yàn)次數(shù)的無限增大而趨于事件的概率,這是最早的一個(gè)大數(shù)定律（lａｗ of lａrge　number).一般的大數(shù)定律，研究隨機(jī)變量n次觀測的平均數(shù)隨n無限增大是否趨向某定值的問題，稱作平均數(shù)的穩(wěn)定性。如果“ｎ無限增大平均數(shù)就趨于一個(gè)定值”,此時(shí)稱平均數(shù)具有穩(wěn)定性。 ? 大數(shù)定律是許多統(tǒng)計(jì)方法賴以成立的理論依據(jù). ? 稱其為統(tǒng)計(jì)估計(jì)?！按髷?shù)”就是所謂的“足夠多". 2、小概率事件原理 ? 　 　　依據(jù)大數(shù)定律，概率很小的事件其頻率也很小，若只做一次試驗(yàn)，該事件實(shí)際上應(yīng)當(dāng)不會(huì)發(fā)生。因此,人們常常

14、認(rèn)為那些概率很小的事件實(shí)際上是不可能發(fā)生的，此原理稱之為“小概率事件的實(shí)際不可能原理”,簡稱作“小概率事件原理" ．一般認(rèn)為概率小于0.０５或小于0．01的事件為小概率事件,０。0５和0．01稱為小概率事件的臨界概率.對(duì)于其它特殊場合,規(guī)定的臨界概率值可根據(jù)事件的性質(zhì)合理確定。 第三節(jié) 二項(xiàng)分布和泊松分布 ? 一、 　 0-1分布(二項(xiàng)總體分布) ? 有些總體的各個(gè)個(gè)體的某種性狀，只能發(fā)生非此即彼兩種結(jié)果，“此”和“彼”是對(duì)立事件,如,種子的發(fā)芽和不發(fā)芽等，這種由非此即彼事件構(gòu)成的總體,叫做二項(xiàng)總體。 ? 　為便 于研究，將這類的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化,“此”事件設(shè)為1,具概

15、率p 　，“彼”事件設(shè)為0,具概率q,因而,二項(xiàng)總體又稱為0—1總體，其概率關(guān)系顯然為：　　 　 　　 ｐ　+ q = 1 　 　 　 　　　 　 　　 　 　　　 　 　　 ｑ = 1　–　p 表４．3 　二項(xiàng)總體的概率分布列 (0-1分布） 圖4。４ 　0－１分布的概率函數(shù) ? [例4。3]以某試驗(yàn)地的５株蔬菜為總體調(diào)查蚜蟲為害情況。令x=1代表受害，x＝0代表未受害，5株的觀察結(jié)果為０，1，0，１，0。試求危害率的數(shù)學(xué)期望m和方差s2. ? 說明該試驗(yàn)地蚜蟲的平均危害率為0.4，危害率變異的方差為0．2４。此例也說明了二項(xiàng)總

16、體的平均數(shù)為m = ｐ，方差為 s2 =?。穑? ? 二、二項(xiàng)分布 ? 從二項(xiàng)總體中，每次以樣本容量ｎ抽樣，將會(huì)有n+1種可能的結(jié)果,這n+1種可能的結(jié)果有它各自的概率而組成一種分布，就叫二項(xiàng)概率分布，簡稱二項(xiàng)分布(binomial dｉｓtｒibutiｏｎ） 。又稱貝努利分布　。 v 二項(xiàng)展開式 三、計(jì)算二項(xiàng)分布概率的方法 　 　[例４．4]在一批發(fā)芽率為０。9的種子里取5粒進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)。以x為發(fā)芽粒數(shù),試做出試驗(yàn)結(jié)果X的概率分布列。 v 四、二項(xiàng)分布的形狀和參數(shù) u 圖4．5表示表4.４的概率分布列。這是一個(gè)偏態(tài)的概率分布，因?yàn)槠鋚≠q且ｎ較小。 u 如果ｐ＝q則二項(xiàng)分布是

17、對(duì)稱的,見圖４。6。 u 理論分析和實(shí)踐結(jié)果都表明當(dāng)n很大時(shí)，即使p≠q的二項(xiàng)分布其圖形也接近對(duì)稱，見圖４.７。 圖4.5 　表4.４的概率分布圖 [例4.5］ 某玉米種子發(fā)芽率為0．6，今按設(shè)計(jì)株距穴播，若每穴播4粒，預(yù)計(jì)田間保苗率是多少？ 　 首先考慮，這里的田間保苗率實(shí)際上是每穴有種子發(fā)芽的概率，這是一個(gè)和事件，可計(jì)算為 可知此時(shí),田間預(yù)計(jì)保苗率為97.４4％ v 〔例4。6〕在已往大規(guī)模田間播種作業(yè)中，已觀測到種子的出苗概率為０。６。①若每穴播10粒，試確定播種作業(yè)的穴粒數(shù)分布，②求出在此出苗概率（0。6）下,田間保苗率〉95％的最少穴粒數(shù)。 v 解：設(shè)出苗種子數(shù)

18、Ｘ為隨機(jī)變量，服從二項(xiàng)分布。其概率函數(shù)為 表４.５ 田間播種作業(yè)穴粒數(shù)的概率函數(shù)和分布函數(shù)(×10—3) ? 設(shè)：田間保苗率大于９5％時(shí)，最少穴粒數(shù)為每穴n粒。 ? 與上題相同，田間保苗率實(shí)際上是每穴有種子發(fā)芽的概率，因此：至少一粒種子出苗的概率如下: ? 由此可見,穴粒數(shù)達(dá)4粒以上就可基本保證每穴必出苗，最佳穴粒數(shù)定為4。 五、泊松分布 當(dāng)n較大，p或q較小,np或nｑ≤5時(shí)，二項(xiàng)分布將為泊松分布（Poｉssｏn ｄｉstribｕtion）所接近。令l＝ｎp，則泊松分布的概率分布為 v 記作Ｘ~p（l)。泊松分布的概率函數(shù)僅含一個(gè)參數(shù)，意味著只要獲知l ,概率函數(shù)就被完全

19、確定。 v 　 　 泊松分布的期望和方差相等且均為l，這是泊松分布所特有的性質(zhì)。如果試驗(yàn)次數(shù)很大，某事件出現(xiàn)的次數(shù)很小，那么此事件的出現(xiàn)次數(shù)將服從泊松分布。 v 泊松分布的概率函數(shù)圖形見圖4。11。 圖4．9　 泊松分布的概率函數(shù) v 〔例4．11〕為考察果樹品種A和B的幼苗在某栽植地區(qū)的抗寒力及分布，設(shè)置20０個(gè)面積相等且足夠大的抽樣小區(qū)，觀測小區(qū)寒害株數(shù)(小區(qū)內(nèi)遭受寒害的株數(shù))，觀測結(jié)果為0，1，2，3，4和5.統(tǒng)計(jì)寒害株數(shù)相同的小區(qū)數(shù)(小區(qū)寒害次數(shù)）,計(jì)算小區(qū)寒害率(小區(qū)寒害次數(shù)與觀測小區(qū)總數(shù)之比）,結(jié)果見表４。6。試用泊松分布預(yù)測小區(qū)寒害率并與觀測結(jié)果比較，同時(shí)考察兩品種

20、抗寒力的差異。 表４.６ 兩果樹品種的小區(qū)寒害株數(shù)、次數(shù)和寒害率的觀測結(jié)果 v 品種A： v 品種B：　 v 品種A的泊松分布概率函數(shù) v 品種Ｂ的泊松分布概率函數(shù) v 圖4。11　 品種B小區(qū)寒害率的觀察值與泊松預(yù)測值 v 一批種子中不合格種子占0．０0５,從中抽取800粒,試求其中不合格種子恰有1０粒和不多于5粒的概率。 v 因?yàn)椋睿?0０，p=0。005,ｎp＝４＜5，所以可按泊松分布來計(jì)算。 v 后者也可以在泊松分布累積函數(shù)表中查出。 第四節(jié) 　正態(tài)分布 v 正態(tài)分布是田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析中最重要的一種分布: v ①生物科學(xué)的許多隨機(jī)變量均服從正態(tài)分布，比如

21、產(chǎn)量、株高、生物量等； v ②n趨于無窮大，任意分布平均數(shù)的分布均趨于正態(tài)分布,這意味著n足夠大時(shí)可用正態(tài)分布近似平均數(shù)的分布； v ③n趨于無窮大，二項(xiàng)分布、泊松分布等許多分布都趨于正態(tài)分布，這意味著n足夠大時(shí)可用正態(tài)分布近似這些分布； v ④三大抽樣分布t、c2和F均源于正態(tài)分布總體的抽樣，而它們又是形成統(tǒng)計(jì)方法的基礎(chǔ)。　 一、正態(tài)總體分布 ? 隨機(jī)變數(shù)X服從正態(tài)分布記為X～Ｎ（m，s２)　s2) ? 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為 ? 正態(tài)分布的概率累積函數(shù)為 二、正態(tài)分布曲線的性質(zhì) １、正態(tài)分布曲線以總體平均數(shù)m為中心,向左右兩側(cè)對(duì)稱分布. 2、正態(tài)分布曲線是一單

22、峰曲線,總體平均m對(duì)應(yīng)的概率密度最大,左右兩側(cè)離m越遠(yuǎn)對(duì)應(yīng)的概率密度越小。 ３、總體平均數(shù)m決定曲線的中心位置,標(biāo)準(zhǔn)差s決定曲線的變化率。 m和s不同的總體其正態(tài)分布曲線的位置和形狀各異，因此正態(tài)分布曲線是以參數(shù)m和s的不同而變化的曲線系統(tǒng)。 4、正態(tài)分布曲線在m ±1s處有拐點(diǎn),兩尾向左右無限延伸，以橫軸為漸近線,全距為—∞至∞。 5、無論m和s為多少,正態(tài)分布曲線與橫軸間的總面積都等于1，意為隨機(jī)變數(shù)X的取值位于－∞至∞之間的概率為1，即 6、無論m和s為多少，隨機(jī)變數(shù)的取值落在任意區(qū)間(a，b）的概率為直線x=ａ和x=b與正態(tài)分布曲線和橫軸間的面積,即： 表4.7 幾個(gè)常見區(qū)間

23、所對(duì)應(yīng)的概率 圖4．12 正態(tài)概率密度曲線及隨的變化（固定) 圖4.13　 正態(tài)概率密度曲線及隨的變化（固定） 圖4。1４ 正態(tài)分布曲線 正態(tài)分布的概率計(jì)算　 n 隨機(jī)變數(shù)X在（a，b)范圍內(nèi)的概率等于X在(a，b)范圍內(nèi)的定積分: n 計(jì)算曲線下從－∞到ｘ的面積其式如下： n ＦN（ｘ)稱為正態(tài)分布的累積函數(shù)或分布函數(shù)，具平均數(shù) m和標(biāo)準(zhǔn)差s，ｆ（x）為概率密度函數(shù)。 Ｐ（X

24、準(zhǔn)正態(tài)分布。 v “標(biāo)準(zhǔn)化”是以一個(gè)新變數(shù)U代替X。 v 將Ｘ離其平均數(shù)m的差數(shù)以s為單位進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化.即 　 U稱為正態(tài)離差,是一個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變數(shù). v 其概率密度函數(shù)為: v 具平均數(shù)m=0，方差s=1。 v 記為U～N(0，1) v 附表1給出的正是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積函數(shù)值 v 從N(m，s2）到N(０，1），從幾何意義上說，僅是作了坐標(biāo)軸平移和尺度單位的變換。它帶來的相應(yīng)改變是：分布中心從m處移到0處;尺度單位從ｘ的單位變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)差的單位。 圖4．15a　 　 正態(tài)分布曲線圖 v 由對(duì)立事件概率之和 P（Ｘ>x)+ P(Ｘ≤ｘ）=1得

25、v 得變量在任意區(qū)間（x1， x2）內(nèi)取值的概率如下 v 〔例4．１3〕設(shè)　U～Ｎ（０，1），試計(jì)算 P(Ｕ＜ – 2.1）、 Ｐ(U〉1．3８)、 P（｜U｜＜1)、 P（｜U｜<2)、 P(｜U|＜3) v 由正態(tài)分布函數(shù)表（附表1)查得： Φ(–２.１） =0．０179、Φ（1.3８） =0。91６２、Φ(1) ＝０．８4１3、 Φ（—１） = ０.15８7、 Φ(２) ＝0．9772、 Φ（－2） ＝0．02２8、　Φ（3)　=0.９987、Φ(-3） =0．00１３ v P(U< – 2。1） =　　Φ(–2.1) =0.0１79 v Ｐ(U〉１。38)=1 – P（

26、U≤1.3８） =　1 – ０.9162?。剑埃?838 v P(|U｜<1)= Ｐ(－?。薄矗?≤ 1）= Φ（1）　– Φ(—1) 　 　 　 =０.8４13 – 0。158７　=０.6826 v Ｐ（｜Ｕ｜<２）=0。9545 v P(|U｜<３)＝0．9973 圖4。16 正態(tài)累積函數(shù)的圖示 圖4．18 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算 v 〔例４。14〕設(shè)X～N（3,9),試計(jì)算P（X< –１．２）、 P(X〉 7．53）、 P（|X|< 3.9）、 P(|X|〉　3．9) v 由附表1查得 ： Φ（–1.4） =0。0８0８、Φ（1．51)

27、 =0．9３45、Φ（0。３) =0。6179、　Φ（-２.3） = ０。0107、 圖4。19 任意正態(tài)分布的概率計(jì)算 v 假定Ｘ是一個(gè)隨機(jī)變量，服從m=30，s＝５的正態(tài)分布，即:　X ～N(3０，2５）。試求其取值小于26，大于40和介于26和４0之間的概率。 v 本例不是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,須經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后才能可求出落于各區(qū)間的概率。 v 　查附表2：Φ（—0。８)＝0。2１１ ９ v ［例4。9］試求正態(tài)分布曲線對(duì)應(yīng)中間概率為0。95和兩尾概率為０．01時(shí)隨機(jī)變數(shù)X的取值區(qū)間。 v 設(shè)對(duì)應(yīng)中間概率為0。95的取值區(qū)間為（x１,ｘ2），即P（x1〈X〈x２）=０。９５。經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化變

28、換后 v 查附表２,Φ(—１．96)＝0.025， 　　 　 　 Φ(１．9６)＝0．975, 于是有u1＝—1。96,u2=1.96, 即 　 　P（—１.96〈U＜1．96)＝0.９5， 或 　 　　P（｜U|＜1。９6）＝0。９5。 也即 P(m　—1.96s＜X

29、58）＝0。01， 或　　 P(|U｜>2.58）＝0．01. 也即P（Ｘ＜　m-2。58s)+Ｐ（Ｘ〉m+2。5８s)=０.01， 或 　 P(｜X—m｜>2.58s）=0．01. 圖4。2０ 中間概率和兩尾概率的圖示 v 中間概率對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變數(shù)的取值區(qū)間一般稱為接受區(qū)，兩尾或一尾概率對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間一般稱為否定區(qū)，接受區(qū)與否定區(qū)的界限稱為臨界值。上述問題的實(shí)質(zhì)在于計(jì)算中間概率Ｐ（|Ｕ｜〈?。酽粒?-　a或兩尾概率P（｜U｜〉 uα)為a時(shí)的臨界值，也可利用正態(tài)離差表(附表2）很方便地查到。例如，查附表2中當(dāng)a為0．05時(shí),ｕ0.05＝1．959964， v 即表示Ｐ(|

30、U｜＜1。959964）=０。95 　 　　　 　?。校▅U｜＞1。9５9９64)=0。05; v 當(dāng)a為0.01時(shí)，ｕ0。01=２．575 ８2９， v 表示Ｐ(｜Ｕ｜＜2.57５ 829)=０.9９ 　 　 　P(｜U｜>2.57５ 8２9）=0。01。 v 一尾的 ｕa值等于附表3中兩尾ｕ2a的值。 一尾的ua＝兩尾的u2a v 例如,一尾概率為0。05時(shí),u0.０５等于附表2中兩尾的u０．10=１。6４4 854；一尾概率為０.０１時(shí)，ｕ0．01等于附表２中兩尾的u0。02=２．３26 3４8。 第五節(jié)　 抽樣分布 v 一、總體與樣本的關(guān)

31、系: v 第一個(gè)方向是從總體到樣本–– 從一般到特殊 　　　 　　 　其目的是研究從總體中抽出的所有可能樣本統(tǒng)計(jì)量的分布及其與原總體的關(guān)系。 v 第二個(gè)方向是從樣本到總體–– 從特殊到一般 　 　 　 用樣本對(duì)總體參數(shù)作出推斷。 二、 v 3、從具有總體平均數(shù) m　，總體方差σ2的正態(tài)分布總體抽樣，無論樣本容量大或小，其樣本平均數(shù)的抽樣分布必做正態(tài)分布,具有 v 4、從具有總體平均數(shù)m ,總體方差σ2的任一總體抽樣,不管其是否服從正態(tài)分布,樣本容量增大時(shí)，樣本統(tǒng)計(jì)數(shù)的分布將趨近于正態(tài)分布––中心極限定理　 s02是直接用ｎ計(jì)算的方差, s２是用自由度計(jì)算的方差

32、 v ［例]從N(３,0．７０72)總體中，以ｎ=4抽樣，試求: 三 v 1、樣本總和數(shù)分布的平均數(shù)等于總體平均數(shù)的ｎ倍 v 2、樣本總和數(shù)分布的方差等于總體方差的n倍 四、樣本平均數(shù)差數(shù)分布的基本性質(zhì) v 性質(zhì)１、如果兩個(gè)總體各作正態(tài)分布，則其樣本平均數(shù)差數(shù)　　 　　　 　 　 準(zhǔn)確地遵循正態(tài)分布律,無論樣本容量大或小,都有 v 性質(zhì)2、兩個(gè)樣本平均數(shù)差數(shù)分布的平均數(shù)必等于兩個(gè)總體平均數(shù)的差數(shù)。 v 性質(zhì)3、兩個(gè)樣本平均數(shù)差數(shù)分布的方差，必等于兩個(gè)總體的樣本平均數(shù)方差的總和。 v 其差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤為： v 從兩個(gè)總體抽出的樣本平均數(shù)的次數(shù)分布表　 樣本平均數(shù)差數(shù)的次數(shù)分布表 v 樣本平均數(shù)差數(shù)分布的平均數(shù)和方差計(jì)算表 由上表可算得： 五、二項(xiàng)總體的抽樣分布 v (一)二項(xiàng)總體的分布參數(shù) v (二）二項(xiàng)成數(shù)(百分?jǐn)?shù)）的分布參數(shù) v (三）二項(xiàng)次數(shù)（總和數(shù)）分布的參數(shù) 二項(xiàng)總體的抽樣分布 本章學(xué)習(xí)要點(diǎn) v １、理解二項(xiàng)總體、二項(xiàng)分布的概念，掌握二項(xiàng)分布的概率計(jì)算。 v 2、理解正態(tài)分布的性質(zhì),掌握正態(tài)分布的概率計(jì)算。 v 3、理解并掌握抽樣分布的性質(zhì)。 v 不足之處，敬請(qǐng)諒解 v v 8 / 8