第八章 一、填空題 8.1.1.1、點關于面的對稱點是 . 8.1.2.3、向量，則同時垂直于的單位向量為 . 8.1.3.1、向量 1 . 8.1.41、點到平面的距離為 1 . 8.1.51、. 過點平行的平面方程為 8.1.6.2、平面在坐標系中的位置特點是 平行面 . 8.1.7.2、過三點A（2，0，0），B（0，3，0），C（0，0，4）的平面方程為 . 8.1.8.2、過兩點的直線方程是 . 8.1.9.3、過點且與平面都平行的直線是 . 8.1.10.3、曲面在面上的截痕的曲線方程為 . 二、選擇題 8.2.1.2、點在空間直角坐標的位置是 （ C ） A．y軸上； B. xoy平面上； C. xoz平面上； D. 第一卦限內。 8.2.2.2、設與軸交角為，則在軸上的投影= （ C ） A．； B. ； C. ； D. . 8.2.3.2、兩個非零向量互相垂直，則 （ B ） A．其必要不充分條件是； B. 充分必要條件是； C．充分不必要條件是； D. 充分必要條件是. 8.2.4.2、向量, 且 則 （ C ） A. ； B. 為非零常數) ； C. ； D. . 8.2.5.2、平面的位置是 （ B ） A．平行面； B . 平行軸 ； C. 垂直軸； D. 通過軸. 8.2.6.2、過點垂直的平面方程為 （ A ） A. ； B. ； C. ； D. . 8.2.7.2、直線與平面的位置關系是（ A ） A．平行； B. 直線在平面上； C. 垂直相交； D. 相交但不垂直. 8.2.8.2、面上曲線繞x軸旋轉一周，所得曲面方程是（ C ） A．； B. ; C. ; D. . 8.2.9.2、球面與平面交線在平面上投影曲線方程是（ D ） A．； B. ； C. ； D. 8.2.10.3、方程表示 （ B ） A．橢球面； B. 平面上橢圓； C. 橢圓柱面； D. 橢圓柱面在平面上的投影曲線. 三、計算題 8.3.1.2、 一平面過點，且平行于向量，求這個平面。 解：所求平面平行于向量，可取平面的法向量 ， …. 4（分） 故所求平面為，即 …. 3（分） 8.3.2.2、求通過z軸和點的平面方程。 解：由已知，設所求平面方程為 …. 2（分） 將點帶入得： …. 2（分） 帶入所設方程得： 即 …. 3（分） 8.3.3.2、求平面與xoy面夾角的余弦。 解：平面的法向量為， …. 2（分） 又xoy 面的法向量為 …. 2（分） 則兩向量夾角余弦，既平面與xoy面夾角的余弦為 …. 3（分） 8.3.4.3、用對稱式方程表示直線。 解：由題意可知直線的方向向量為 …. 3（分） 取.即直線經過的點， …. 2（分） 故直線的對稱式方程為 . …. 2（分） 8.3.5.3、求過點且與直線 垂直的直線方程。 解：由題意，所求平面的法向量可取已知直線的方程的方向向量，即 ， …. 4（分） 故所求平面方程為 …. 3（分） 8.3.6.3、求過點且與兩平面平行的直線方程。 解：所求直線方程與兩已知平面平行，因此所求直線方向向量為 ， …. 4（分） 故所求直線方程為 …. 3（分） 8.3.7.3、求過點Q且通過直線的平面方程。 解：根據平面束方程，過已知直線的平面束方程為 ， …. 2（分） 代入點得. …. 3（分） 故平面方程為：. …. 2（分） 8.3.8.2、試確定直線和平面的位置關系。 解： …. 2（分） 因為 或，即夾角； …. 3（分） 故 直線與平面垂直. …. 2（分） 8.3.9.3、求點在平面上的投影。 解：由題意，過已知點與已知直線垂直的直線方程為 ， …. 2（分） 化為參數方程為， …. 3（分） 代入平面得：.則投影為。 …. 2（分） 8.3.10.4、求直線 在平面 上的投影直線的方程。 解：做平面束 …..2分 整理得法向量： …..1分 該法向量與已知平面的法向量垂直； 則有,解得 ……2分 代入平面束方程得：，所求直線方程為： ……2分 四、綜合應用 8.4.1.4、求通過直線L： 且切于球面的的平面方程。 解：通過已知直線的平面束方程為：， ……2分 此平面切于已知球面，故球心（0，0，0）到平面的距離為2 則有 ，解得： ……3分 代入得所求平面為. ……2分 8.4.2.4、求過點，且平行于平面，又與直線 相交的直線方程。 解：過點做與已知平面平行的平面 ……1分 求該平面與已知直線的交點：令， ……2分 解出想，x,y,z,代入平面得： ……2分 則所求直線為： ……2分 8.4.3.4、已知點及點，試在z軸上求一點C，使面積最小。 解：所求點位于z軸上，故設其坐標為 ……1分 則的面積， 而， ……2分 故 ……2分 設，求導得駐點，又 ……1分 故，當時，三角形面積最小，為 ……1分