1六年級(jí)數(shù)學(xué)奧數(shù)習(xí)題講義-第 29 講 抽屜原理（一）一、知識(shí)要點(diǎn)一、知識(shí)要點(diǎn)如果給你 5 盒餅干,讓你把它們放到 4 個(gè)抽屜里,那么可以肯定有一個(gè)抽屜里至少有 2 盒餅干.如果把 4 封信投到 3 個(gè)郵箱中,那么可以肯定有一個(gè)郵箱中至少有 2 封信.如果把 3 本聯(lián)練習(xí)冊(cè)分給兩位同學(xué),那么可以肯定其中有一位同學(xué)至少分到 2 本練習(xí)冊(cè).這些簡單內(nèi)的例子就是數(shù)學(xué)中的“抽屜原理”.基本的抽屜原理有兩條:（1）如果把 x+k（k1）個(gè)元素放到 x 個(gè)抽屜里,那么至少有一個(gè)抽屜里含有 2 個(gè)或 2 個(gè)以上的元素.（2）如果把 mxk（xk1）個(gè)元素放到 x 個(gè)抽屜里,那么至少有一個(gè)抽屜里含有 m+1 個(gè)或更多個(gè)元素.利用抽屜原理解題時(shí)要注意區(qū)分哪些是“抽屜”?哪些是“元素”?然后按以下步驟解答:a、構(gòu)造抽屜,指出元素.b、把元素放入（或取出）抽屜.C、說明理由,得出結(jié)論.本周我們先來學(xué)習(xí)六年級(jí)數(shù)學(xué)奧數(shù)習(xí)題講義-第（1）條原理及其應(yīng)用.二、精講精練二、精講精練【例題例題 1】1】某校六年級(jí)有學(xué)生 367 人,請(qǐng)問有沒有兩個(gè)學(xué)生的生日是同一天?為什么?把一年中的天數(shù)看成是抽屜,把學(xué)生人數(shù)看成是元素.把 367 個(gè)元素放到 366 個(gè)抽屜中,至少有一個(gè)抽屜中有 2 個(gè)元素,即至少有兩個(gè)學(xué)生的生日是同一天.平年一年有 365 天,閏年一年有 366 天.把天數(shù)看做抽屜,共 366 個(gè)抽屜.把 367 個(gè)人分別放入 366 個(gè)抽屜中,至少在一個(gè)抽屜里有兩個(gè)人,因此,肯定有兩個(gè)學(xué)生的生日是同一天.練習(xí)練習(xí) 1:1:1、某校有 370 名 1992 年出生的學(xué)生,其中至少有 2 個(gè)學(xué)生的生日是同一天,為什么?2、某校有 30 名學(xué)生是 2 月份出生的,能否至少有兩個(gè)學(xué)生生日是在同一天?3、15 個(gè)小朋友中,至少有幾個(gè)小朋友在同一個(gè)月出生?2【例題例題 2】2】某班學(xué)生去買語文書、數(shù)學(xué)書、外語書.買書的情況是:有買一本的、二本的、也有三本的,問至少要去幾位學(xué)生才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書（每種書最多買一本）?首先考慮買書的幾種可能性,買一本、二半、三本共有 7 種類型,把 7 種類型看成 7 個(gè)抽屜,去的人數(shù)看成元素.要保證至少有一個(gè)抽屜里有 2 人,那么去的人數(shù)應(yīng)大于抽屜數(shù).所以至少要去 7+1=8（個(gè)）學(xué)生才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書.買書的類型有:買一本的:有語文、數(shù)學(xué)、外語 3 種.買二本的:有語文和數(shù)學(xué)、語文和外語、數(shù)學(xué)和外語 3 種.買三本的:有語文、數(shù)學(xué)和外語 1 種.3+3+1=7（種）把 7 種類型看做 7 個(gè)抽屜,要保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書,至少要去 8 位學(xué)生.練習(xí)練習(xí) 2:2:1 1、某班學(xué)生去買語文書、數(shù)學(xué)書、外語書、美術(shù)書、自然書.買書的情況是:有買一本的、二本的、三本或四本的.,問至少要去幾位學(xué)生才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書（每種書最多買一本）?2、學(xué)校圖書室有歷史、文藝、科普三種圖書.每個(gè)學(xué)生從中任意借兩本,那么至少要幾個(gè)同學(xué)才能保證一定有兩人所借的圖書屬于同一種?3、一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的玻璃珠子,顏色有綠、紅、黃三種,問最少要取出多少個(gè)珠子才能保證有兩個(gè)同色的?3【例題例題 3】3】一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的手套,顏色有黑、紅、藍(lán)、黃四種.問最少要摸出多少只手套才能保證有 3 副同色的?把四種不同的顏色看成是 4 個(gè)抽屜,把手套看成是元素,要保證有 1 副同色的,就是 1 個(gè)抽屜里至少有 2 只手套,根據(jù)抽屜原理,最少要摸出 5 只手套.這時(shí)拿出 1 副同色的后,4 個(gè)抽屜中還剩下 3 只手套.再根據(jù)抽屜原理,只要再摸出 2 只手套又能保證有一副手套是同色的,以此類推.把四種顏色看成是 4 個(gè)抽屜,要保證有 3 副同色的,先考慮保證有一副就要摸出 5 只手套.這時(shí)拿出 1 副同色的后,4 個(gè)抽屜中還剩下 3 只手套.根據(jù)抽屜原理,只要再摸出 2 只手套又能保證有一副手套是同色的.以此類推,要保證有 3 副同色的,共摸出的手套有 5+2+2=9（只）答:最少要摸出 9 只手套才能保證有 3 副同色的.練習(xí)練習(xí) 3:3:1、一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的手套,顏色有黑、紅、藍(lán)、黃四種.問最少要摸出多少只手套才能保證有 4 副同色的?2、布袋中有同樣規(guī)格但顏色不同的襪子若干只.顏色有白、黑、藍(lán)三種.問:最少要摸出多少只襪子,才能保證有 3 雙同色的?3、一個(gè)布袋里有紅、黃、藍(lán)色襪子各 8 只.每次從布袋中拿出一只襪子,最少要拿出多少只才能保證其中至少有 2 雙不同襪子?4【例題例題 4】4】任意 5 個(gè)不相同的自然數(shù),其中至少有兩個(gè)數(shù)的差是 4 的倍數(shù),這是為什么?一個(gè)自然數(shù)除以 4 的余數(shù)只能是 0,1,2,3.如果有 2 個(gè)自然數(shù)除以 4 的余數(shù)相同,那么這兩個(gè)自然數(shù)的差就是 4 的倍數(shù).一個(gè)自然數(shù)除以 4 的余數(shù)可能是 0,1,2,3,所以,把這 4 種情況看做時(shí)個(gè)抽屜,把任意 5個(gè)不相同的自然數(shù)看做 5 個(gè)元素,再根據(jù)抽屜原理,必有一個(gè)抽屜中至少有 2 個(gè)數(shù),而這兩個(gè)數(shù)的余數(shù)是相同的,它們的差一定是 4 的倍數(shù).所以,任意 5 個(gè)不相同的自然數(shù),其中至少有兩個(gè)數(shù)的差是 4 的倍數(shù).練習(xí)練習(xí) 4:4:1、任意 6 個(gè)不相同的自然數(shù),其中至少有兩個(gè)數(shù)的差是 5 的倍數(shù),這是為什么?2、任意取幾個(gè)不相同的自然數(shù),才能保證至少有兩個(gè)數(shù)的差是 8 的倍數(shù)?3、證明在任意的（n+1）個(gè)不相同的自然數(shù)中,必有兩個(gè)數(shù)之差為 n 的倍數(shù).【例題例題 5】5】能否在圖 29-1 的 5 行 5 列方格表的每個(gè)空格中,分別填上 1,2,3 這三個(gè)數(shù)中的任一個(gè),使得每行、每列及對(duì)角線 AD、BC 上的各個(gè)數(shù)的和互不相同?由圖 29-1 可知:所有空格中只能填寫 1 或 2 或 3.因此每行、每列、每條對(duì)角線上的 5個(gè)數(shù)的和最小是 15=5,最大是 35=15.從 5 到 15 共有 11 個(gè)互不相同的整數(shù)值,把這 11 個(gè)值看承 11 個(gè)抽屜,把每行、每列及每條對(duì)角線上的各個(gè)數(shù)的和看承元素,只要考慮元素和抽屜的個(gè)數(shù)就可得出結(jié)論是不可能的.因?yàn)槊啃小⒚苛?、每條對(duì)角線上的 5 個(gè)數(shù)的和最小是 5,最大是 15,從 5 到 15 共有 11 個(gè)互不相同的整數(shù)值.而 5 行、5 列及兩條對(duì)角線上的各個(gè)數(shù)的和共有 12 個(gè),所以,這 12 條線上的各個(gè)數(shù)的和至少有兩個(gè)是相同的.5練習(xí)練習(xí) 5:5:1、能否在 6 行 6 列方格表的每個(gè)空格中,分別填上 1,2,3 這三個(gè)數(shù)中的任一個(gè),使得每行、每列及對(duì)角線上的各個(gè)數(shù)的和互不相同?為什么?2、證明在 88 的方格表的每個(gè)空格中,分別填上 3,4,5 這三個(gè)數(shù)中的任一個(gè),在每行、每列及對(duì)角線上的各個(gè)數(shù)的和中至少有兩個(gè)和是相同的.3、在 39 的方格圖中（如圖 29-2 所示）,將每一個(gè)小方格涂上紅色或者藍(lán)色,不論如何涂色,其中至少有兩列的涂色方式相同.這是為什么?