1六年級數(shù)學(xué)奧數(shù)習(xí)題講義-第 38 講 應(yīng)用同余問題一、知識要點(diǎn)一、知識要點(diǎn)同余這個概念最初是由偉大的德國數(shù)學(xué)家高斯發(fā)現(xiàn)的.同余的定義是這樣的:兩個整數(shù) a,b,如果它們除以同一自然數(shù) m 所得的余數(shù)想同,則稱 a,b 對于模 m 同余.記作:ab（mod）.讀做:同余于模.比如,12 除以 5,47 除以 5,它們有相同的余數(shù) 2,這時我們就說,對于除數(shù) 5,12 和 47 同余,記做 1247（mod5）.同余的性質(zhì)比較多,主要有以下一些:性質(zhì)（1）:對于同一個除數(shù),兩個數(shù)之和（或差）與它們的余數(shù)之和（或差）同余.比如:32 除以 5 余數(shù)是 2,19 除以 5 余數(shù)是 4,兩個余數(shù)的和是 2+4=6.“32+19”除以 5 的余數(shù)就恰好等于它們的余數(shù)和 6 除以 5 的余數(shù).也就是說,對于除數(shù) 5,“32+19”與它們的余數(shù)和“2+4”同余,用符號表示就是:322（mod5）,194（mod5）,32+192+41（mod5）性質(zhì)（2）:對于同一個除數(shù),兩個數(shù)的乘積與它們余數(shù)的乘積同余.性質(zhì)（3）:對于同一個除數(shù),如果有兩個整數(shù)同余,那么它們的差就一定能被這個除數(shù)整除.性質(zhì)（4）:對于同一個除數(shù),如果兩個整數(shù)同余,那么它們的乘方仍然同余.應(yīng)用同余性質(zhì)幾萼體的關(guān)鍵是要在正確理解的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用同余性質(zhì).把求一個較大的數(shù)除以某數(shù)的余數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求一個較小的數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù),使復(fù)雜的題變簡單,使困難的題變?nèi)菀?二、精講精練二、精講精練【例題例題 1】1】求 199259 除以 7 的余數(shù).應(yīng)用同余性質(zhì)（2）可將 199259 轉(zhuǎn)化為求 1992 除以 7 和 59 除以 7 的余數(shù)的乘積,使計算簡化.1992 除以 7 余 4,59 除以 7 余 3.根據(jù)同余性質(zhì),“43”除以 7 的余數(shù)與“199259”除以 7 的余數(shù)應(yīng)該是相同的,通過求“43”除以 7 的余數(shù)就可知道 199259除以 7 的余數(shù)了.因?yàn)?199259435（mod 7）所以 199259 除以 7 的余數(shù)是 5.練習(xí)練習(xí) 1:1:1、求 4217364 除以 6 的余數(shù).22、求 133965512 除以 13 的余數(shù).3、求 87943765283 除以 11 的余數(shù).【例題例題 2】2】已知 2001 年的國慶節(jié)是星期一,求 2010 年的國慶節(jié)是星期幾?一星期有 7 天,要求 2010 年的國慶節(jié)是星期幾,就要求從 2001 年到 2010 年的國慶節(jié)的總天數(shù)被 7 除的余數(shù)就行了.但在甲酸中,如果我們能充分利用同余性質(zhì),就可以不必算出這個總天數(shù).2001 年國慶節(jié)到 2010 年國慶節(jié)之間共有 2 個閏年 7 個平年,即有“3662+3657”天.因?yàn)?3662224（mod 7）,3657170（mod 7）,3662+365722+174+04（mod 7）答:2010 年的國慶節(jié)是星期五.練習(xí)練習(xí) 2:2:1、已知 2002 年元旦是星期二.求 2008 年元旦是星期幾?2、已知 2002 年的“七月一日”是星期一.求 2015 年的“十月一日”是星期幾?3、今天是星期四,再過 365 的 15 次方是星期幾?3【例題例題 3】3】求 2001 的 2003 次方除以 13 的余數(shù).2001 除以 13 余 12,即 200112（mod 13）.根據(jù)同余性質(zhì)（4）,可知 2001 的 2003 次方12 的 2003 次方（mod 13）,但 12 的 2003 次方仍然是一個很大的值,要求它的余數(shù)比較困難.這時的關(guān)鍵就是要找出 12 的幾次方對模 13 與 1 是同余的.經(jīng)試驗(yàn)可知 12 的平方1（mod 13）,而 200321001+1.所以（12 的平方）的 1001 次方1 的 1001（mod 13）,即12 的 2002 次方1（mod 13）,而 12 的 2003 次方12 的 2002 次方12.根據(jù)同余性質(zhì)（2）可知 12 的 2002 次方1211212（mod 13）因?yàn)?2001 的 2003 次方12 的 2003 次方（mod 13）12 的平方1（mod 13）,而 200321001+112 的 2003 次方12 的 2002 次方1211212（mod 13）所以 2001 的 2003 次方除以 13 的余數(shù)是 12.練習(xí)練習(xí) 3:3:1、求 12 的 200 次方除以 13 的余數(shù).2、求 3 的 92 次方除以 21 余幾.3、9 個小朋友坐成一圈,要把 35 的 7 次方粒瓜子平均分給他們,最后剩下幾粒?【例題例題 4】4】自然數(shù) 16520,14903,14177 除以 m 的余數(shù)相同,m 最大是多少?自然數(shù) 16520,14903,14177 除以 m 的余數(shù)相同,換句話說就是165201490314177（mod m）.根據(jù)同余性質(zhì)（3）,這三個餓數(shù)同余,那么它們的差就能被m 整除.要求 m 最大是多少,就是求它們差的最大公約數(shù)是多少?因?yàn)?1652014903=1617=37 的平方111652014177=2343=31171 1490314177=726=2311 的平方4M 是這些差的公約數(shù),m 最大是 311=33.練習(xí)練習(xí) 4:4:1、若 2836、4582、5164、6522 四個整數(shù)都被同一個兩位數(shù)相除,所得的余數(shù)相同.除數(shù)是多少?2、一個整數(shù)除 226、192、141 都得到相同的余數(shù),且余數(shù)不為 0,這個整數(shù)是幾?3、當(dāng) 1991 和 1769 除以某一個自然數(shù) m 時,余數(shù)分別為 2 和 1,那么 m 最小是多少?【例題例題 5】5】某數(shù)用 6 除余 3,用 7 除余 5,用 8 除余 1,這個數(shù)最小是幾?我們可從較大的除數(shù)開始嘗試.首先考慮與 1 模 8 同余的數(shù),91（mod 8）,但 9 輸以 7余數(shù)不是 5,所以某數(shù)不是 9.171（mod 8）,17 除以 7 的余數(shù)也不是 5.251（mod 8）,25除以 7 的余數(shù)也不是 5.331（mod 8）,33 除以 7 的余數(shù)正好是 5,而且 33 除以 6 余數(shù)正好是 3,所以這個數(shù)最小是 33.上面的方法實(shí)際是一種列舉法,也可以簡化為下面的格式:被 8 除余 1 的數(shù)有:9,17,25,33,41,49,57,65,73,81,89,其中被 7 除余 5 的數(shù)有:33,89,這些數(shù)中被 6 除余 3 的數(shù)最小是 33.練習(xí)練習(xí) 5:5:1、某數(shù)除以 7 余 1,除以 5 余 1,除以 12 余 9.這個數(shù)最小是幾?2、某數(shù)除以 7 余 6,除以 5 余 1,除以 11 余 3,求此數(shù)最小值.53、在一個圓圈上有幾十個孔（如圖 38-1）,小明像玩跳棋那樣從 A 孔出發(fā)沿逆時針方向每隔幾個孔跳一步,希望一圈以后能跑回 A 孔,他先試著每隔 2 孔跳一步,也只能跳到 B 孔.最后他每隔 6 孔跳一步,正好跳回 A 孔.問:這個圓圈上共有多少個孔?