§1.3算法案例課時(shí)目標(biāo)通過三種算法案例：輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)，秦九韶算法，進(jìn)位制，進(jìn)一步體會算法的思想，提高算法設(shè)計(jì)水平，體會中國古代數(shù)學(xué)對世界的貢獻(xiàn)1輾轉(zhuǎn)相除法(1)輾轉(zhuǎn)相除法，又叫歐幾里得算法，是一種求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的古老而有效的算法(2)輾轉(zhuǎn)相除法的算法步驟第一步，給定兩個(gè)正整數(shù)m，n.第二步，計(jì)算m除以n所得的余數(shù)r.第三步，mn，nr.第四步，若r0，則m、n的最大公約數(shù)等于m；否則，返回第二步2更相減損術(shù)第一步，任意給定兩個(gè)正整數(shù)，判斷它們是否都是偶數(shù)若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步第二步，以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)，繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)(等數(shù))或這個(gè)數(shù)與約簡的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù)3秦九韶算法把一個(gè)n次多項(xiàng)式f(x)anxnan1xn1a1xa0改寫成如下形式：(anxan1)xan2)xa1)xa0，求多項(xiàng)式的值時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)層括號內(nèi)一次多項(xiàng)式的值，即v1anxan1，然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即v2v1xan2，v3v2xan3，vnvn1xa0這樣，求n次多項(xiàng)式f(x)的值就轉(zhuǎn)化為求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值4進(jìn)位制進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)，“滿k進(jìn)一”就是k進(jìn)制，k進(jìn)制的基數(shù)是k.把十進(jìn)制轉(zhuǎn)化為k進(jìn)制數(shù)時(shí)，通常用除k取余法一、選擇題1下列說法中正確的個(gè)數(shù)為()(1)輾轉(zhuǎn)相除法也叫歐幾里得算法；(2)輾轉(zhuǎn)相除法的基本步驟是用較大的數(shù)除以較小的數(shù)；(3)求最大公約數(shù)的方法，除輾轉(zhuǎn)相除法之外，沒有其他方法；(4)編寫輾轉(zhuǎn)相除法的程序時(shí)，要用到循環(huán)語句A1 B2 C3 D4答案C解析(1)、(2)、(4)正確，(3)錯(cuò)誤2用更相減損術(shù)求294和84的最大公約數(shù)時(shí)，需做減法的次數(shù)是()A2 B3 C4 D5答案C解析由于294和84都是偶數(shù)，所以用2約簡：294÷2147，84÷242，又由于147不是偶數(shù)，所以14742105，1054263，634221，422121，故需做4次減法，故選C.31 037和425的最大公約數(shù)是()A51 B17 C9 D3答案B解析1 037425×2187，425187×251，18751×334，5134×117，3417×2，即1 037和425的最大公約數(shù)是17.4用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式f(x)6x65x54x43x32x2x7在x0.4時(shí)的值時(shí)，需做加法和乘法的次數(shù)的和為()A10 B9 C12 D8答案C解析f(x)(6x5)x4)x3)x2)x1)x7加法6次，乘法6次，6612(次)，故選C.5已知f(x)x52x33x2x1，應(yīng)用秦九韶算法計(jì)算x3時(shí)的值時(shí)，v3的值為()A27 B11 C109 D36答案D解析將函數(shù)式化成如下形式f(x)(x0)x2)x3)x1)x1由內(nèi)向外依次計(jì)算：v01，v11×303，v23×3211，v311×3336，v436×31109，v5109×31328.6下列有可能是4進(jìn)制數(shù)的是()A5 123 B6 542 C3 103 D4 312答案C解析4進(jìn)制數(shù)每位上的數(shù)字一定小于4，故選C.二、填空題7輾轉(zhuǎn)相除法程序中有一空請?zhí)钌洗鸢竌 MOD b解析MOD用來表示a除以b的余數(shù)8更相減損術(shù)程序中有兩空請?zhí)钌洗鸢竌bbr9已知三個(gè)數(shù)12(16)，25(7)，33(4)，將它們按由小到大的順序排列為_答案33(4)<12(16)<25(7)解析將三個(gè)數(shù)都化為十進(jìn)制數(shù)12(16)1×16218，25(7)2×7519，33(4)3×4315，33(4)<12(16)<25(7)三、解答題10用兩種方法求210與98的最大公約數(shù)解用輾轉(zhuǎn)相除法：21098×214，9814×7.210與98的最大公約數(shù)為14.用更相減損術(shù)：210與98都是偶數(shù)，用2約簡得105和49，1054956,56497，49742,42735，35728,28721，21714,1477.210與98的最大公約數(shù)為2×714.11用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式f(x)x612x560x4160x3240x2192x64當(dāng)x2時(shí)的值解將f(x)改寫為f(x)(x12)x60)x160)x240)x192)x64由內(nèi)向外依次計(jì)算一次多項(xiàng)式當(dāng)x2時(shí)的值v01，v11×21210，v210×26040，v340×216080，v480×224080，v580×219232，v632×2640.f(2)0，即x2時(shí)，原多項(xiàng)式的值為0.能力提升12把111化為五進(jìn)制數(shù)解111化為五進(jìn)制數(shù)為421(5)13把10 231(5)化為四進(jìn)制數(shù)解先化成十進(jìn)制數(shù)10 231(5)1×540×532×523×51162550151691再化為四進(jìn)制數(shù)10 231(5)22 303(4).1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別和聯(lián)系(1)都是求最大公約數(shù)的方法(2)二者的實(shí)質(zhì)都是遞歸的過程(3)二者都要用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)2秦九韶算法的特點(diǎn)秦九韶算法的特點(diǎn)在于把求一個(gè)n次多項(xiàng)式的值轉(zhuǎn)化為求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值，即把求f(x)anxnan1xn1a1xa0的值轉(zhuǎn)化為求遞推公式：這樣可以最多計(jì)算n次乘法和n次加法即可得多項(xiàng)式的值，和直接代入多項(xiàng)式相比減少了乘法的運(yùn)算次數(shù)，提高了運(yùn)算效率3十進(jìn)制與其他進(jìn)制的轉(zhuǎn)化(1)將k進(jìn)制轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的方法：先把k進(jìn)制數(shù)寫成各位上的數(shù)字與k的冪的乘積的形式，再按十進(jìn)制的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算(2)將十進(jìn)制化成k進(jìn)制的方法：用除k取余法，用k連續(xù)去除十進(jìn)制數(shù)所得的商，直到商為零為止，然后將各步所得的余數(shù)倒序?qū)懗?，即為相?yīng)的k進(jìn)制數(shù)