一、選擇題1下列命題中：兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b所成的角與這個二面角相等或互補；二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內(nèi)作射線所成角的最小角；二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關(guān)系，其中正確的是()A BC D答案B解析對，顯然混淆了平面與半平面的概念，是錯誤的；對，由于a，b分別垂直于兩個面，所以也垂直于二面角的棱，但由于異面直線所成的角為銳角(或直角)，所以應(yīng)是相等或互補，是正確的；對，因為不垂直于棱，所以是錯誤的；是正確的，故選B.點評根據(jù)二面角的相關(guān)概念進行分析判定2以下三個命題中，正確的命題有()一個二面角的平面角只有一個；二面角的棱垂直于這個二面角的平面角所在的平面；分別在二面角的兩個半平面內(nèi)，且垂直于棱的兩直線所成的角等于二面角的大小A0個 B1個C2個 D3個答案B解析僅正確3正方體ABCDA1B1C1D1的六個面中，與平面BC1垂直的面的個數(shù)是()A1 B2C3 D4答案D解析與平面BC1垂直的面有：平面AC，平面A1C1，平面AB1，平面CD1.4自二面角內(nèi)任意一點分別向兩個面引垂線，則兩垂線的夾角與二面角的平面角的關(guān)系是()A相等 B互補C互余 D無法確定答案B解析如圖，BD、CD為AB、AC所在平面與、的交線，則BDC為二面角l的平面角且ABDACD90°，ABDC180°.5已知，是平面，m、n是直線，給出下列表述：若m，m，則；若m，n，m，n，則；如果m，n，m，n是異面直線，那么n與相交；若m，nm，且n，n，則n且n.其中表述正確的個數(shù)是()A1 B2C3 D4答案B解析是平面與平面垂直的判定定理，所以正確；中，m，n不一定是相交直線，不符合兩個平面平行的判定定理，所以不正確；中，還可能n，所以不正確；中，由于nm，n，m，則n，同理n，所以正確6正方體A1B1C1D1ABCD中，截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1BDA的正切值等于()A. B.C. D.答案C解析設(shè)AC、BD交于O，連A1O，BDAC，BDAA1，BD平面AA1O，BDA1O，A1OA為二面角的平面角tanA1OA，選C.7在二面角l中，A，AB平面于B，BC平面于C，若AB6，BC3，則二面角l的平面角的大小為()A30° B60°C30°或150° D60°或120°答案D解析如圖，AB，ABl，BC，BCl，l平面ABC，設(shè)平面ABClD，則ADB為二面角l的平面角或補角，AB6，BC3，BAC30°，ADB60°，二面角大小為60°或120°.8四邊形ABCD是正方形，以BD為棱把它折成直二面角ABDC，E為CD的中點，則AED的大小為()A45° B30°C60° D90°答案D解析設(shè)BD中點為F，則AFBD，CFBD，AFC90°，AF面BCD.E、F分別為CD、BD的中點，EFBC，BCCD，CDEF，又AFCD，CD平面AEF，CDAE.故選D.二、填空題9下列四個命題中，正確的命題為_(填序號)，則，則，則，則答案10在三棱錐PABC中，已知PAPB，PBPC，PCPA，如右圖所示，則在三棱錐PABC的四個面中，互相垂直的面有_對答案3解析PAPB，PAPC，PBPCP，PA平面PBC，PA平面PAB，PA平面PAC，平面PAB平面PBC，平面PAC平面PBC.同理可證：平面PAB平面PAC.11如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，BC2，AA11，E，F(xiàn)分別在AD和BC上，且EFAB，若二面角C1EFC等于45°，則BF_.答案1解析AB平面BC1，C1F平面BC1，CF平面BC1，ABC1F，ABCF，又EFAB，C1FEF，CFEF，C1FC是二面角C1EFC的平面角，C1FC45°，F(xiàn)CC1是等腰直角三角形，CFCC1AA11.又BC2，BFBCCF211.12如圖，四邊形ABCD是正方形，PA平面ABCD，且PAABa.(1)二面角APDC的度數(shù)為_；(2)二面角BPAD的度數(shù)為_；(3)二面角BPAC的度數(shù)為_；(4)二面角BPCD的度數(shù)為_答案90°；90°；45°；120°解析(1)PA平面ABCD，PACD.又四邊形ABCD為正方形，CDAD，CD平面PAD，又CD平面PCD，平面PAD平面PCD，二面角APDC為90°.(2)PA平面ABCD，ABPA，ADPA，BAD為二面角BAPD的平面角又BAD90°，二面角BAPD為90°.(3)PA平面ABCD，ABPA，ACPA，BAC為二面角BPAC的平面角，又四邊形ABCD為正方形，BAC45°，即二面角BPAC為45°.(4)作BEPC于E，連DE，則由PBCPDC知BPEDPE，從而PBEPDE，DEPBEP90°，且BEDE，BED為二面角BPCD的平面角PA平面ABCD，PABC，又ABBC，BC平面PAB，BCPB，BEa，BDa，取BD中點O，則sinBEO，BEO60°，BED120°二面角BPCD的度數(shù)為120°.三、解答題13(2012·江西卷)如圖，在梯形ABCD中，ABCD，E，F(xiàn)是線段AB上的兩點，且DEAB，CFAB，AB12，AD5，BC4，DE4.現(xiàn)將ADE，CFB分別沿DE，CF折起，使A，B兩點重合與點G，得到多面體CDEFG.(1)求證：平面DEG平面CFG；(2)求多面體CDEFG的體積解析(1)由已知可得AE3，BF4，則折疊完后EG3，GF4，又因為EF5，所以可得EGGF，又因為CF底面EGF，可得CFEG，即EG面CFG所以平面DEG平面CFG.(2)過G作GO垂直于EF，GO即為四棱錐GEFCD的高，所以所求體積為S矩DECF·GO×5×4×16.14在如下圖所示的四面體ABCD中，AB，BC，CD兩兩互相垂直，且BCCD.(1)求證：平面ACD平面ABC；(2)求二面角CABD的大小分析(1)轉(zhuǎn)化為證明CD平面ABC；(2)CBD是二面角CABD的平面角解析(1)證明：CDAB，CDBC，ABBCB，CD平面ABC.又CD平面ACD，平面ACD平面ABC.(2)ABBC，ABCD，且BCCDC，AB平面BCD.ABBD.CBD是二面角CABD的平面角在RtBCD中，BCCD，CBD45°.二面角CABD的大小為45°.15已知PA平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，PAAD，M、N分別是AB、PC的中點，求證：(1)MN平面PAD；(2)平面PMC平面PDC.解析(1)取PD的中點Q，連接AQ、QN，PNNC，QN綊DC.四邊形ABCD為矩形，QN綊AM，MNAQ，又AQ平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.(2)PA平面ABCD，PAD90°，PAD為等腰直角三角形，Q為PD中點，AQPD，CDAD，CDPA，CD平面PAD，AQ平面PAD，CDAQ，AQ平面PDC由(1)MNAQ，MN平面PDC，又MN平面PMC，平面PMC平面PDC.16如圖所示，四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，BCD60°，E是CD的中點，PA底面ABCD，PA.(1)證明：平面PBE平面PAB；(2)求二面角ABEP的大小解析(1)證明：如圖所示，連接BD，由ABCD是菱形且BCD60°知，BCD是等邊三角形因為E是CD的中點，所以BECD，又ABCD，所以BEAB，又因為PA平面ABCD，BE平面ABCD，所以PABE.而PAABA，因此BE平面PAB.又BE平面PBE，所以平面PBE平面PAB.(2)由(1)知，BE平面PAB，PB平面PAB，所以PBBE.又ABBE，所以PBA是二面角ABEP的平面角在RtPAB中，tanPBA，PBA60°.故二面角ABEP的大小是60°.