《高一數學（人教A版）必修2能力強化提升：4-1-2 圓的一般方程》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高一數學（人教A版）必修2能力強化提升：4-1-2 圓的一般方程（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

一、選擇題 1．兩圓x2＋y2－4x＋6y＝0和x2＋y2－6x＝0的圓心連線方程為(　　) A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0 C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0 [答案]　C [解析]　兩圓的圓心分別為(2，－3)、(3,0)，直線方程為y＝(x－3)即3x－y－9＝0，故選C. 2．若方程x2＋y2＋(λ－1)x＋2λy＋λ＝0表示圓，則λ的取值范圍是(　　) A．(0，＋∞) B. C．(1，＋∞)∪ D．R [答案]　C [解析]　D2＋E2－4F＝(λ－1)2＋4λ2－4λ>0 解不等式得λ<或λ>1，故選C. 3．過三點A(－1,5)，B(5,5)，C(6，－2)的圓的方程是(　　) A．x2＋y2＋4x－2y－20＝0 B．x2＋y2－4x＋2y－20＝0 C．x2＋y2－4x－2y－20＝0 D．x2＋y2＋4x＋4y－20＝0 [答案]　C [解析]　設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 分別代入(－1,5)，(5,5)(6，－2)得 ，解得故選C. 4．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲線是以(－2,3)為圓心，4為半徑的圓，則D、E、F的值分別為(　　) A．4，－6,3 B．－4,6,3 C．－4,6，－3 D．4，－6，－3 [答案]　D [解析]　圓心為(－，－)，∴－＝－2，－＝3，∴D＝4，E＝－6， 又R＝代入算得F＝－3. 5．與圓x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圓心，且過(1，－1)的圓的方程是(　　) A．x2＋y2－4x＋6y－8＝0 B．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0 C．x2＋y2＋4x－6y－8＝0 D．x2＋y2＋4x－6y＋8＝0 [答案]　B [解析]　圓心為(2，－3)， 半徑R＝＝. 6．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)所表示的曲線關于y＝x對稱，則必有(　　) A．D＝E B．D＝F C．F＝E D．D＝E＝F [答案]　A [解析]　圓心(－，－)在直線y＝x上，所以D＝E，故選A. 7．當a為任意實數時，直線(a－1)x－y＋a＋1＝0恒過定點C，則以C為圓心，半徑為的圓的方程為(　　) A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0 C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0 [答案]　C [解析]　令a＝0，a＝1，得方程組 解得所以定點C的坐標為(－1,2)． 則圓C的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5， 即x2＋y2＋2x－4y＝0. 8．若直線l：ax＋by＋1＝0始終平分圓M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周長，則(a－2)2＋(b－2)2的最小值為(　　) A. B．5 C．2 D．10 [答案]　B [解析]　由題意，得直線l過圓心M(－2，－1)， 則－2a－b＋1＝0，則b＝－2a＋1， 所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5， 所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值為5. 二、填空題 9．圓心是(－3,4)，經過點M(5,1)的圓的一般方程為________． [答案]　x2＋y2＋6x－8y－48＝0 [解析]　只要求出圓的半徑即得圓的標準方程，再展開化為一般式方程． 10．圓x2＋2x＋y2＝0關于y軸對稱的圓的一般方程是________． [答案]　x2＋y2－2x＝0 [解析]　已知圓的圓心為C(－1,0)，半徑r＝1，點C關于y軸的對稱點為C′(1,0)，則已知圓關于y軸對稱的圓的方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0. 11．設圓x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圓心為A，點P在圓上，則PA的中點M的軌跡方程是________． [答案]　x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 [解析]　設M(x，y)，A(2，－1)，則P(2x－2,2y＋1)，將P代入圓方程得：(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，即為：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0. 12．已知圓C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a為實數)上任意一點關于直線l：x－y＋2＝0的對稱點都在圓C上，則a＝________. [答案]?。? [解析]　由題意可知直線l：x－y＋2＝0過圓心， ∴－1＋＋2＝0，∴a＝－2. 三、解答題 13．判斷方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圓，若能表示圓，求出圓心和半徑． [分析]　本題可直接利用D2＋E2－4F>0是否成立來判斷，也可把左端配方，看右端是否為大于零的常數． [解析]　解法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0， 可知D＝－4m，E＝2m，F(xiàn)＝20m－20， ∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，當m＝2時，D2＋E2－4F＝0，它表示一個點，當m≠2時，D2＋E2－4F>0，原方程表示圓的方程，此時，圓的圓心為(2m，－m)，半徑為r＝＝|m－2|. 解法二：原方程可化為(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，當m＝2時，它表示一個點， 當m≠2時，原方程表示圓的方程． 此時，圓的圓心為(2m，－m)，半徑為r＝|m－2|. 規(guī)律總結：(1)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圓時有如下兩種方法：①由圓的一般方程的定義判斷D2＋E2－4F是否為正．若D2＋E2－4F>0，則方程表示圓，否則不表示圓．②將方程配方變形成“標準”形式后，根據圓的標準方程的特征，觀察是否可以表示圓． (2)在書寫本題結果時，易出現(xiàn)r＝(m－2)的錯誤結果，導致這種錯誤的原因是沒有理解對一個數開偶次方根的結果為非負數． 14．已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圓心在直線x＋y－1＝0上，且圓心在第二象限，半徑為，求圓的一般方程． [分析]　根據圓心、半徑滿足的條件列出關系式，從而求出參數D與E的值． [解析]　圓心C(－，－)，∵圓心在直線x＋y－1＝0上， ∴－－－1＝0，即D＋E＝－2，?、? 又r＝＝， ∴D2＋E2＝20，?、? 由①②可得或 又圓心在第二象限，∴－<0即D>0， ∴ ∴圓的方程為x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 規(guī)律總結：在求解過程中，要注意圓心在第二象限這一限定條件，避免增解． 15．自A(4,0)引圓x2＋y2＝4的割線ABC，求弦BC中點P的軌跡方程． [分析]　由題目可獲取以下主要信息： ①點A(4,0)是定圓外一點； ②過A的直線交圓于B，C兩點． 解答本題可先設出動點P的坐標(x，y)，然后由圓的幾何性質知OP⊥BC，再利用kOP·kAP＝－1，求出P(x，y)滿足的方程．也可由圓的幾何性質直接得出動點P與定點M(2,0)的距離恒等于定長2，然后由圓的定義直接寫出P點的軌跡方程． [解析]　方法一：(直接法) 設P(x，y)，連接OP，則OP⊥BC， 當x≠0時，kOP·kAP＝－1，即·＝－1， 即x2＋y2－4x＝0.?、? 當x＝0時，P點坐標(0,0)是方程①的解， ∴BC中點P的軌跡方程為x2＋y2－4x＝0(在已知圓內的部分)． 方法二：(定義法) 由方法一知OP⊥AP，取OA中點M，則M(2,0)，|PM|＝|OA|＝2， 由圓的定義知，P的軌跡方程是(x－2)2＋y2＝4(在已知圓內的部分)． 規(guī)律總結：針對這個類型的題目，常用的方法有(1)直接法，(2)定義法，(3)代入法，其中直接法是求曲線方程最重要的方法，它可分五個步驟：①建系，②找出動點M滿足的條件，③用坐標表示此條件，④化簡，⑤驗證；定義法是指動點的軌跡滿足某種曲線的定義，然后據定義直接寫出動點的軌跡方程；代入法，它用于處理一個主動點與一個被動點問題，只需找出這兩點坐標之間的關系，然后代入主動點滿足的軌跡方程即可． 16．已知圓經過點(4,2)和(－2，－6)，該圓與兩坐標軸的四個截距之和為－2，求圓的方程． [解析]　設圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. ∵圓經過點(4,2)和(－2，－6)， 代入圓的一般方程，得 設圓在x軸上的截距為x1、x2，它們是方程x2＋Dx＋F＝0的兩個根，得x1＋x2＝－D.設圓在y軸上的截距為y1、y2，它們是方程y2＋Ey＋F＝0的兩個根，得y1＋y2＝－E.由已知，得－D＋(－E)＝－2，即D＋E－2＝0.?、? 由①②③聯(lián)立解得D＝－2，E＝4，F(xiàn)＝－20. ∴所求圓的方程為x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 規(guī)律總結：在涉及圓的方程中，若已知圓心和半徑之一，設標準方程較方便；若已知圓過定點，則設一般方程較方便．