第二十九講 用“份數(shù)法”巧解應用題有些應用題含有幾上量，并且?guī)讉€量之間成倍數(shù)關系，在解題時先確定一倍的量，將一倍的量看做“一份”，將幾倍的量看做“幾份”。然后再根據(jù)其他條件列式解答，求出最后的部題。我們就把這種解應用題的方法叫做份數(shù)法。用份數(shù)法解題的關鍵是先要確定出幾個量之間的倍數(shù)關系，確定出一倍的量及幾倍的量，將一倍的量看做一份，將幾倍的量看做幾份。有些復雜的數(shù)學應用題，從份數(shù)入手可以巧妙地求解，不但可以簡化思路，而且獨辟蹊徑，令人耳目一新。一、 用“份數(shù)法”解答工程問題有些工程應用題，可以根據(jù)題中的已知條件，將工作總量、幾個工隊的工作量或每個工隊單個時間的工作量看做“份數(shù)”，利用份數(shù)關系解答，數(shù)量關系會更加簡明清楚。難題點撥甲管注水速度是乙管的一半，同時開放甲管向池中注水，16小時可以注滿?，F(xiàn)在先開甲管向池中注水若干小時，剩下的由乙管注10小時將水池注滿。問：甲管先注水多少小時？點撥 設甲管1小時的注水量為1份，則乙管1小時的注水量是2份，全池水為（1+2）×16=48（份），所以甲管先注水48-20=28（份）。甲管注水時間是28÷1=28（小時）。答：甲管先注水28小時。難題點撥甲、乙、丙三名搬運工同時分別在三個條件和工作量完全相同的倉庫工作，搬完貨物甲用8小時，乙用10小時，丙用12小時。第二天三人又到兩個較大的倉庫搬運貨物，這兩個倉庫的工作量也相同，甲在A倉庫，乙在B倉庫，丙先幫甲后幫乙，結果干了20小時后同時搬運完畢。問：丙在A倉庫做了多少小時？ 點撥 由三名搬運工分別搬完條件和工作量完全相同的三個倉庫的貨物，甲需8小時，乙需10小時，丙需12小時，可以分別求出三人的工作效率，甲是，乙是，丙是。三人工作效率的比是：=15：12：10，即在相同的時間里，甲做15份，乙做12份，丙做10份工作，三人一共做15+12+10=37（份）工作。三人在相同的時間里（20小時）搬完了兩個倉庫的貨物，每個倉庫的貨物量是37÷2=18.5(份）。甲搬了15份貨物，因此，丙幫甲搬了18.5-15=3.5（份）貨物。 三人的工作效率比為：=15：12：10 每個倉庫的貨物量是：（15+12+10）÷2=18.5（份） 丙幫甲搬了：18.5-15=3.5(份） 丙幫甲搬的時間是20÷10×3.5=7（小時） 答：丙在A倉庫做了7小時。二、 用“份數(shù)法”解答比的應用題 在行程問題中，兩個數(shù)的比往往表現(xiàn)為兩個動動的物體速度的比或運動路程的比：在工程問題中，兩個數(shù)的比往往表現(xiàn)為兩隊工作效率的比或兩隊工作量的比-如果知道兩個數(shù)的比，可以將兩個數(shù)分別看做“份數(shù)”，將兩個數(shù)比的關系轉化為份數(shù)關系。 難題點撥 一種銅和鋁的合金重150千克，而銅和鋁的質(zhì)量比是2：3。問：這種合金中銅比鋁少多少千克？ 點撥 銅和鋁的質(zhì)量比是2：3，即銅是2份，鋁是3份，銅各鋁共2+3=5（份），銅比鋁少3-2=1（份），因此，1份的量是銅比鋁少的質(zhì)量數(shù)。150÷（2+3）=30（千克）答：這種合金中銅比鋁少30千克。難題點撥 甲、乙兩車分別從A, B兩地同時出發(fā)，相向而行。出發(fā)時，甲、乙兩車的速度比是5：4，相遇后甲車的速度減少20，乙車的速度增加20，這樣當甲車到達B地時，乙車離A地還有10千米。A , B兩地相距多少千米？ 點撥 根據(jù)題意，可以把A , B兩地的路程平均分成9份，則相遇時甲車行了5份，乙車行了4份，相遇后甲、乙兩車的速度比5×（1-20） ：4×（1+20）=4：4.8。所以當甲車用新的速度行完4份路程時，乙車行了4.8份，這樣離A地還有5-4.8=0.2（份），這0.2份正好是10千米，所以A, B兩地相距10÷0.2×9=450（千米）。答：A ,B兩地相距450千米。難題點撥甲、乙兩車分別從A ,B兩地同時出發(fā)相向而行。出發(fā)時，兩車的速度比是3：2，兩車相遇后甲車的速度提高了20，乙車的速度提高了30.這樣當甲車到達B地時，乙車離A地還有56千米。A, B 兩地相距多少千米？點撥 這道題如果依照常規(guī)直接分析，尋找56千米的對應分率，難度很大，解法也很繁瑣，但是如果用“份數(shù)法”解答，就容易得多。由于兩車的速度比為3：2，如果假設A ,B兩地的距離是5份，那么兩車相遇時，甲車生了總路程的3份，乙車行了總路程的2份。兩車相遇后，由于甲車的速度提高了20，乙車的速度提高了30，那么乙車的速度是甲車速度的=兩車相遇后，當甲車再行2份路程到達B地時，乙車的行程為2×=1（份）。這樣56千米的對應分率是3-1=1所以A ,B兩地間的距離是：56÷3-2×（3+2）=56÷3-1×5=56÷1×5=180（千米）答：A ,B兩地相距180千米。三、 用“份數(shù)法”解答分數(shù)、百分數(shù)應用題 分數(shù)、百分數(shù)應用題往往可以轉化成“份數(shù)”進行解答，而且解答方法更加巧妙、簡便。難題點撥 小林買了一支圓珠筆和一支鋼筆共用去12元，圓珠筆的單價是鋼筆的。圓珠筆和鋼筆的單價各是多少元？點撥 用“份數(shù)法”解答。因為“圓珠筆的單價是鋼筆的”，如果將一支圓珠筆的價錢看做1份，那么一支鋼筆的價錢就是5份，兩種筆的總價錢就是5+1=6（份），即12元?？梢苑謩e求出一支圓珠筆和一支鋼筆的價錢。一支圓珠筆多少元？12÷（5+1）=2(元)一支鋼筆多少元？2×5=10（元）答：圓珠筆的單價是2元，鋼筆的單價是10元。難題點撥 甲、乙兩箱蘋果，每箱裝2004個，現(xiàn)在從乙箱拿出若干蘋果放入甲箱后，甲箱的蘋果數(shù)恰好比乙箱多40.從乙箱放到甲箱的蘋果有多少個？ 點撥 兩箱蘋果數(shù)變動后，甲箱蘋果數(shù)是乙箱蘋果數(shù)的140，即，因此，把變動后乙箱的蘋果數(shù)看做5份，甲箱的蘋果數(shù)就是7份，兩箱蘋果的總數(shù)為5+7=12（份），原來每箱有12÷2=6（份）。從乙箱拿到甲箱的蘋果恰好占6-5=1（份），即2004÷6=344（個）。答：從乙箱放到甲箱的蘋果有334個。難題點撥 一個數(shù)增加它的后是4.9，這個數(shù)是多少？ 點撥 根據(jù)題意畫圖如下：將“一個數(shù)”看做5份。增加，就是增加了2份，則這個數(shù)現(xiàn)在是（5+2）份為4.9，所以1份是4.9÷（5+2）=0.7.因此，這個數(shù)就是0.7×5=3.5.答：這個數(shù)是3.5難題點撥 某汽車廠去年計劃生產(chǎn)汽車12600輛，結果上半年完成全年計劃的，下半年完成全年計劃的。去年超產(chǎn)汽車多少輛？ 點撥 因為“上半年完成計劃的，下半年完成全年計劃的”，所以全年就完成了計劃的+=.將全年計劃看做單位“1”，平均分成45份，完成了52份，超產(chǎn)了（52-45）份。 如果求出1份的量，就可以求出超產(chǎn)汽車的數(shù)量。1份是：12600÷45=280（輛）超產(chǎn)了（52-45）份，所以超產(chǎn)了：280×（52-45）=1960（輛）答：去年超產(chǎn)汽車1960輛。難題點撥水果店昨天賣出水果36千克，比前天多賣出。水果店前天賣出水果多少千克？點撥 由題中條件可知，如果將前天賣出的水果看做單位“1”，昨天賣出的水果就是前天的1+=。這樣前天賣出的水果就是8份，昨天賣出的水果就是9份。9份是36千克，所以1份就是36÷9=4(千克）。前天賣出了8份，前天賣出的水果4×8=32（千克）。答：水果店前天賣出水果32千克。四、 用“份數(shù)法”解答他應用題難題點撥（11）遠望巍巍塔七層，紅燈點點倍加增，共燈三百八十一。問：每層各有幾盞燈？點撥 因為相鄰兩層燈的數(shù)量成倍數(shù)關系，所以此題可用份數(shù)法解答。顯然，這塔上的燈是上少下多?，F(xiàn)在將從上到下的第一層（最上層）燈的數(shù)目看做1份，則以下各層燈的數(shù)目分別是2，4，6，8，16，32，64份，整座塔上燈的總份數(shù)就是1+2+4+8+16+32+64=127（份）?？梢运愠?份的數(shù)是381÷127=3（盞）。從上到下各層燈的盞數(shù)分別是：第一層3盞，第二層3×2=6（盞），第三層6×2=12（盞），第四層12×2=24（盞），第五層24×2=48(盞），第六層48×2=96（盞），第七層96×2=192（盞。答：從上到下第一層有3盞燈，第二層有6盞燈，第三層有12盞，第四層有24盞燈，第五層有48盞燈，第六層有96盞燈，第七層有192盞燈。難題點撥（12)一個農(nóng)婦要到37.8千米遠的地方去，開始時走得快，走多了腳疼難走，每相鄰兩天中，后一天走的路程是前一天的一半，走了6天才到達目的地。求這個農(nóng)婦每天各走多少千米？點撥 由條件“每相鄰兩天中，后一天走的路程是前一天的一半”可得，如果將第六天走的路程看做1份數(shù)，則第五天走的路程是2份數(shù)，第四天走的路程是4份數(shù)，第三天走的路程是8份數(shù)，第二天走的路程是16份數(shù)，第一天走的路程是32份數(shù)。6天走的路程是：1+2+4+8+16+32=63（份）第六天走的路程是：37.8÷63=0.6（千米）第五天走的路程是：0.6×2=1.2（千米）第四天走的路程是：0.6×4=2.4（千米）第三天走的路程是：0.6×8=4.8（千米）第二天走的路程是：0.6×16=9.6（千米）第一天走的路程是：0.6×32=19.2（千米）答：這個農(nóng)婦第一天走了19.2千米，第二天走了9.6千米，第三天走了4.8千米，第四天走了2.4千米，第五天走了1.2千米，第六天走了0.6千米。難題點撥（13）歐幾里得是古希臘著名的數(shù)學家，他著的幾何原本是世界上最早公理化的著作。歐幾里得曾經(jīng)編寫過這樣一道數(shù)學題：騾子和驢馱著谷物一起在路上走著，途中，騾子對驢說：“如果把你馱的谷物給我一包，我馱的包數(shù)就是你的二倍；如果把我馱的包數(shù)給你一包，我們倆馱的包數(shù)就相等。”你能求出騾子和驢各驢了多少包谷物嗎?點撥 由“騾子對驢說：-如果把我馱的包數(shù)給你一包，我們倆馱的包數(shù)就相等?！笨芍?，騾子比驢多馱了2包；又由“如果把你馱的谷物給我一包，我馱的包數(shù)就是你的二倍?！笨芍?，在騾子比驢多馱2包的情況下，驢又給了騾子1包，這時候騾子比驢多馱（2+2）包，即4包。這4包對應的正好是一倍的量。所以驢馱的谷物是：4+1=5（包）騾子馱的谷物是：5+2=7(包）答：驢馱了5包谷物，騾子馱了7包谷物。難題點撥（14）我國北魏數(shù)學家張丘建撰寫的張丘建算經(jīng)一書中有這樣一道題：甲、乙二人各有錢若干枚，如果乙給甲10枚錢，則甲比乙多的錢數(shù)是乙剩下錢的5倍;如果甲給乙10枚錢，則，甲、乙二人的錢數(shù)正好相等。問：甲、乙二人原來各有多少枚錢？點撥 由“如果甲給乙10枚錢，則甲、乙二人的錢數(shù)正好相等”（如下圖）可知，甲比乙多20枚錢?？芍@時候，甲比乙多（20+10×2）枚錢，即5倍的量是40枚錢，可以求出1倍的量（乙給甲10枚錢后乙的錢數(shù)）是40÷5=8（枚)錢。因此，乙原來有錢：8+10=18（枚）甲原來有錢：8×6-10=38（枚）答：甲原來有38枚錢，乙原來有18枚錢。難題點撥（15）4個工人有相同數(shù)量的香煙，他們每個人抽掉6支以后，剩下的全部香煙正好等于每個人原有和香煙數(shù)。問：4個人原來共有多少支香煙？點撥 可以用份數(shù)法解答這道題。將每個人原有的香煙數(shù)看做1份，那么4個人原來共有香煙數(shù)就是4份。每個人抽了6支香煙，4個人一共抽了6×4=24（支）香煙。這時他們剩下的全部香煙正好等于每個人原有的香煙數(shù)（即剩下的全部香煙數(shù)正好是1份），即24支香煙正好是3份的量，由此可以求出1份的量。1份的量（原來每個人各有的香煙支數(shù)）：24÷3=8（支）4個人原來有的香煙支數(shù)：8×4=32（支）答：4個人原來共有32支香煙。難題點撥（16）小明和小強都是集郵愛好者，小明的票數(shù)是小強的5倍，如果小明給小強60枚郵票，那么小明的郵票數(shù)就正好是小強的一半。小明和小強原來有郵票多少枚？點撥 畫線段圖幫助理解題意比較第一和第三個圖，可以清楚地看出，小明原有郵票5份，給了小強60枚郵標后，剩下了2份：小強原有郵票1份，從小明處得到60枚郵票后，現(xiàn)在有郵票4份，給前和給后的總份數(shù)都是6份。因此，小明給了小強3份的郵票，是60枚，所以1份的郵票數(shù)是60÷3=20（枚）小明原有郵票：20×5=100（枚）小強原有郵票：20×1=20（枚）答：小明原有郵票100枚，小強原來有郵票20枚。難題點撥（17）有兩卷鐵絲，一卷鐵絲長度正好是另一卷的3倍，從短卷鐵絲上截下20米，從長卷鐵絲上截下80米，兩卷鐵絲剩下的長度正好相等。兩卷鐵絲截之前各有多長？點撥 如下圖，如果將短卷鐵絲的長度看做1份，則長卷鐵絲的長度就是3份。由”從長卷鐵絲上截下20米，從長卷鐵絲上截下80米，兩卷鐵絲剩下手長度正好相等”可以求出2份是（80-20）米，那么1份的長度（短卷鐵絲的長度）就是（80-20）米，那么1份的長度（短卷鐵絲的長度）就是（80-20）÷2，相應地就可以求出3份的長度（即長卷鐵絲的長度）。短卷鐵絲長：（80-20）÷2=30（米）長卷鐵絲長：30×3=90（米）答：短鄭鐵絲截之前長30米，長卷鐵絲截之前長90米。難題點撥（18）甲、乙兩個書柜里放著一樣多的書，甲柜的書借出去了120本，把買來的40本新書放進乙柜，這時乙柜里的書是甲柜剩下書的3倍。求原來每個書柜各放了多少本書。點撥 將變化后的甲柜里的書看做1份，則變化后乙柜里的書就是3份，書柜里書的前后變化情況可以用下圖表示。從圖中可以清楚地看出，變化后乙柜的書比甲柜多3-1=2（份），是（120+40）本，據(jù)此可以求出甲柜和乙柜原來各有書的本數(shù)。（120+40）÷2+120=200（本）或（120+40）÷2×3-40=200（本）答：甲柜和乙柜原來各放了200本書。難題點撥（19）今年父親比兒子大24歲，6年后父親的年齡為兒子的1倍。今年父親和兒子各多少歲？點撥 已知今年父親比兒子大24歲，6年后父親仍然比兒子大24歲，即兩人的年齡差始終是24歲（定值）。6年后父親的年齡為兒子的1（化成假分數(shù)為），若將父親的年齡看做5份，則兒子的年齡就是3份。由題中的條件可以畫出下圖。今年父親的年齡：24÷（5-3)×5-6=54(歲）今年兒子的年齡：54-24=30（歲）.答：今年父親54歲，兒子30歲。難題點撥（20）有兩條紙帶，一條長21厘米，另一條長13厘米，把兩條紙帶都剪下同樣長的一段以后，發(fā)現(xiàn)短紙帶剩下的長度是長紙帶剩下長度的。問：剪下的一段有多長？點撥 兩條紙帶的長度是（21-13）厘米，若兩條紙帶都剪下同樣長的一段，則剩下紙帶的長度差仍然是（21-13）厘米；兩條紙帶剪下了同樣長的一段后，“發(fā)現(xiàn)短紙帶剩下的長度是長紙帶剩下長度的”，若將短紙帶剩下的長度看做8份，則長紙帶剩下的長度就是13份ta紙帶剩下的長度比短紙帶剩下的長度多（13-8）份，是（21-13）厘米，可以求出1份是多少厘米，進而求出剪去同樣長的一段后，長紙帶（或短紙帶）剩下的長度。再用原來的長度減去剩下的長度，就是剪去的長度。剩下的長紙帶是多少厘米？（21-13）÷（13-8)×13=20.8 (厘米）剪去了多少厘米？21-20.8=0.2（厘米）答：剪下的一段長0.2厘米。習題選做 1、一個水池有三個水管，其中兩個進水管，一個放水管。單開甲管，6小時可注滿空地；單開乙管，3小時可注滿空地，單開丙管，8小時可把滿池水放完。三管齊開，多少小時可以注滿水池的？ 2、甲、乙兩個倉庫各有糧食若干噸，從甲倉庫運出到乙倉庫后，又從乙倉庫運出到甲倉庫，這時兩個倉庫的糧食相等。原來甲倉庫的糧食是乙倉庫的幾分之幾？ 3、已知貨車速度是客車速度的，兩車同時分別由甲、乙兩站相對開出，在離中點6千米處相遇。求兩站相距多少千米。 4、某農(nóng)場有水田102公頃，旱田54公頃，現(xiàn)在計劃把部分旱田改為水田，使旱田與水田面積的比是1：5.問：要把多少公頃的旱田改為水田？ 5、A , 兩地間的鐵路長372千米，甲、乙兩列火車從兩地同時相向開出，2.4小時相遇，相遇時兩車所行路程的比是16：15.甲、乙兩列火車每小時各行多少千米？ 6、小明讀一本書，第一天讀了總頁數(shù)的，第二天讀的頁數(shù)與第一天讀的頁數(shù)的比是6：5，還剩下64頁沒有讀。全書共有多少頁？ 7、甲 、乙兩個倉庫共存糧食4200噸，甲倉庫運入750噸，乙倉庫運出450噸后，甲 、乙兩倉庫存糧的質(zhì)量比是8：7.甲 、乙兩倉庫原來各存糧多少噸? 8、兩筐蘋果共130千克，如果將甲筐蘋果的裝入乙筐，則甲 、乙兩筐蘋果的質(zhì)量比是7：6.甲、乙兩筐原來各有蘋果多少千克？ 9、甲、乙兩人同時從A, B兩地出發(fā)，相向而行，甲行完全程需要6小時，兩人相遇時所行路程的比是3：2，這時甲比乙多行了18千米。求乙每小時行多少千米。 10、修一條水渠，已修的和未修的長度比是2：5，再修150米，正好修完全長的一半。水渠全長多少米？ 11、一輛快車和一輛慢車同時從甲、乙兩站相對開出，經(jīng)12小時相遇。相遇后快車又行了8小時到達乙站。相遇后慢車還要行幾小時才能到達甲站？ 12、有甲、乙兩袋大米共重440千克，甲袋大米吃了，乙袋大米吃了，這時甲、乙兩袋的質(zhì)量比是8：5.這兩袋大米原來各重多少千克？ 13、甲倉庫存糧比乙倉庫少，如果從乙倉庫運出5噸放入甲倉庫則兩倉庫存糧相等。問：甲、乙兩倉庫原來各存糧多少噸？ 14、一個糧店新運進了一批面粉，現(xiàn)在一共有面粉360袋。已知新運進的面粉是原來的。新運進了多少袋面粉? 15、有兩個圓，它們的面積差為209平方厘米。已知大圓周長與小圓周長的比為10：9.問：小圓的面積是多少平方厘米？16、甲、乙、丙三個人共存款7000元，甲、乙兩人存款數(shù)的比是2：3，乙、丙兩人存款數(shù)的比是4：5，乙、丙兩人存款數(shù)的比是4：5.甲比丙少存款多少元？17、甲、乙兩堆貸物的質(zhì)量比是5：3，現(xiàn)在從甲堆貸物中取出30噸放入乙堆，這時甲、乙兩堆貸物的質(zhì)量是3：2.甲、乙兩堆貸物原來各有多少噸？