學(xué)案3簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或、且、非”的含義.2.理解全稱量詞與存在量詞的意義.3.能正確地對含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定7自主梳理1邏輯聯(lián)結(jié)詞命題中的或，且，非叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞“p且q”記作pq，“p或q”記作pq，“非p”記作綈p.2命題pq，pq，綈p的真假判斷pqpqpq綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真3.全稱量詞與存在量詞(1)短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題，可用符號簡記為xM，p(x)，它的否定xM，綈p(x)(2)短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示含有存在量詞的命題，叫做特稱命題，可用符號簡記為xM，p(x)，它的否定xM，綈p(x)自我檢測1命題“xR，x22x1<0”的否定是()AxR，x22x10 BxR，x22x1>0CxR，x22x10 DxR，x22x1<0答案C解析因要否定的命題是特稱命題，而特稱命題的否定為全稱命題對x22x1<0的否定為x22x10，故選C.2若命題p：xAB，則綈p是()AxA且xB BxA或xBCxA且xB DxAB答案B解析“xAB”“xA且xB”，綈p：xA或xB.3(2011·大連調(diào)研)若p、q是兩個(gè)簡單命題，且“pq”的否定是真命題，則必有()Ap真q真 Bp假q假Cp真q假 Dp假q真答案B解析“pq”的否定是真命題，“pq”是假命題，p，q都假4(2010·湖南)下列命題中的假命題是()AxR,2x1>0BxN*，(x1)2>0CxR，lg x<1DxR，tan x2答案B解析對于B選項(xiàng)x1時(shí)，(x1)20.5(2009·遼寧)下列4個(gè)命題：p1：x(0，)，()x<()x；p2：x(0,1)，logx>logx；p3：x(0，)，()x>logx；p4：x(0，)，()x<logx.其中的真命題是()Ap1，p3 Bp1，p4Cp2，p3 Dp2，p4答案D解析取x，則logx1，logxlog32<1，p2正確當(dāng)x(0，)時(shí)，()x<1，而logx>1，p4正確探究點(diǎn)一判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假例1寫出由下列各組命題構(gòu)成的“pq”、“pq”、“綈p”形式的復(fù)合命題，并判斷真假(1)p：1是素?cái)?shù)；q：1是方程x22x30的根；(2)p：平行四邊形的對角線相等；q：平行四邊形的對角線互相垂直；(3)p：方程x2x10的兩實(shí)根的符號相同；q：方程x2x10的兩實(shí)根的絕對值相等解題導(dǎo)引正確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義是解題的關(guān)鍵，應(yīng)根據(jù)組成各個(gè)復(fù)合命題的語句中所出現(xiàn)的邏輯聯(lián)結(jié)詞進(jìn)行命題結(jié)構(gòu)與真假的判斷其步驟為：確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式；判斷其中簡單命題的真假；根據(jù)其真值表判斷復(fù)合命題的真假解(1)pq：1是素?cái)?shù)或是方程x22x30的根真命題pq：1既是素?cái)?shù)又是方程x22x30的根假命題綈p：1不是素?cái)?shù)真命題(2)pq：平行四邊形的對角線相等或互相垂直假命題pq：平行四邊形的對角相等且互相垂直假命題綈p：有些平行四邊形的對角線不相等真命題(3)pq：方程x2x10的兩實(shí)根的符號相同或絕對值相等假命題pq：方程x2x10的兩實(shí)根的符號相同且絕對值相等假命題綈p：方程x2x10的兩實(shí)根的符號不相同真命題變式遷移1(2011·廈門月考)已知命題p：xR，使tan x1，命題q：x23x2<0的解集是x|1<x<2，給出下列結(jié)論：命題“pq”是真命題；命題“p綈q”是假命題；命題“綈pq”是真命題；命題“綈p綈q”是假命題，其中正確的是()A BC D答案D解析命題p：xR，使tan x1是真命題，命題q：x23x2<0的解集是x|1<x<2也是真命題，命題“pq”是真命題；命題“p綈q”是假命題；命題“綈pq”是真命題；命題“綈p綈q”是假命題探究點(diǎn)二全(特)稱命題及真假判斷例2判斷下列命題的真假(1)xR，都有x2x1>.(2)，使cos()cos cos .(3)x，yN，都有xyN.(4)x0，y0Z，使得x0y03.解題導(dǎo)引判定一個(gè)全(特)稱命題的真假的方法：(1)全稱命題是真命題，必須確定對集合中的每一個(gè)元素都成立，若是假命題，舉反例即可(2)特稱命題是真命題，只要在限定集合中，至少找到一個(gè)元素使得命題成立解(1)真命題，因?yàn)閤2x1(x)2>.(2)真命題，如，符合題意(3)假命題，例如x1，y5，但xy4N.(4)真命題，例如x00，y03符合題意變式遷移2(2011·日照月考)下列四個(gè)命題中，其中為真命題的是()AxR，x23<0BxN，x21CxZ，使x5<1DxQ，x23答案C解析由于xR都有x20，因而有x233，所以命題“xR，x23<0”為假命題；由于0N，當(dāng)x0時(shí)，x21不成立，所以命題“xN，x21”為假命題；由于1Z，當(dāng)x1時(shí)，x5<1，所以命題“xZ，使x5<1”為真命題；由于使x23成立的數(shù)只有±，而它們都不是有理數(shù)，因此沒有任何一個(gè)有理數(shù)的平方能等于3，所以命題“xQ，x23”為假命題探究點(diǎn)三全稱命題與特稱命題的否定例3寫出下列命題的“否定”，并判斷其真假(1)p：xR，x2x0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：xR，x22x20；(4)s：至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x310.解題導(dǎo)引(1)全(特)稱命題的否定與一般命題的否定有著一定的區(qū)別，全(特)稱命題的否定是將其全稱量詞改為存在量詞(或把存在量詞改為全稱量詞)，并把結(jié)論否定；而一般命題的否定則是直接否定結(jié)論即可(2)要判斷“綈p”命題的真假，可以直接判斷，也可以判斷p的真假因?yàn)閜與綈p的真假相反且一定有一個(gè)為真，一個(gè)為假解(1)綈p：xR，x2x<0，這是假命題，因?yàn)閤R，x2x(x)20恒成立，即p真，所以綈p假(2)綈q：至少存在一個(gè)正方形不是矩形，是假命題(3)綈r：xR，x22x2>0，是真命題，這是由于xR，x22x2(x1)211>0成立(4)綈s：xR，x310，是假命題，這是由于x1時(shí)，x310.變式遷移3(2009·天津)命題“存在x0R,2x00”的否定是()A不存在x0R,2x0>0B存在x0R,2x00C對任意的xR,2x0D對任意的xR,2x>0答案D解析本題考查全稱命題與特稱命題的否定原命題為特稱命題，其否定應(yīng)為全稱命題，而“”的否定是“>”，所以其否定為“對任意的xR,2x>0”轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例(12分)已知命題p：“x1,2，x2a0”，命題q：“x0R，x2ax02a0”，若命題“p且q”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答題模板】解由“p且q”是真命題，則p為真命題，q也為真命題 3分若p為真命題，ax2恒成立，x1,2，a1. 6分若q為真命題，即x22ax2a0有實(shí)根，4a24(2a)0，即a1或a2， 10分綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a2或a1. 12分【突破思維障礙】含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題要先確定構(gòu)成命題的(一個(gè)或兩個(gè))命題的真假，求出參數(shù)存在的條件，命題p轉(zhuǎn)化為恒成立問題，命題q轉(zhuǎn)化為方程有實(shí)根問題，最后再求出含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題成立的條件若直接求p成立的條件困難，可轉(zhuǎn)化成求綈p成立的條件，然后取補(bǔ)集【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】“p且q”為真是全真則真，要區(qū)別“p或q”為真是一真則真，命題q就是方程x22ax2a0有實(shí)根，所以0.不是找一個(gè)x0使方程成立1邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義的理解(1)“或”與日常生活用語中的“或”意義有所不同，日常用語“或”帶有“不可兼有”的意思，如工作或休息，而邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”含有“同時(shí)兼有”的意思，如x<6或x>9.(2)命題“非p”就是對命題“p”的否定，即對命題結(jié)論的否定；否命題是四種命題中的一種，是對原命題條件和結(jié)論的同時(shí)否定2判斷復(fù)合命題的真假，要首先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后根據(jù)真值表判斷3全稱命題“xM，p(x)”的否定是一個(gè)特稱命題“xM，綈p(x)”，特稱命題“xM，p(x)”的否定是一個(gè)全稱命題“xM，綈p(x)”(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2011·宣城模擬)已知命題p：xR，x23x30，則()A綈p：xR，x23x3>0，且綈p為真命題B綈p：xR，x23x3>0，且綈p為假命題C綈p：xR，x23x3>0，且綈p為真命題D綈p：xR，x23x3>0，且綈p為假命題答案C解析命題p是一個(gè)特稱命題，它的否定綈p：對所有的xR，都有x23x3>0為真故答案為C.命題的否定要否定量詞，即全稱量詞的否定為存在量詞，存在量詞的否定為全稱量詞，而且要否定結(jié)論2已知命題p：xR，ax22x3>0，如果命題綈p是真命題，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是()Aa< BaC0<a Da答案B解析命題綈p是真命題，命題p是假命題，而當(dāng)命題p是真命題時(shí)，不等式ax22x3>0對一切xR恒成立，這時(shí)應(yīng)有解得a>.因此當(dāng)命題p是假命題，即命題綈p是真命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的范圍是a.3(2011·龍巖月考)已知條件p：|x1|>2，條件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要條件，則a的取值范圍是()Aa1 Ba1Ca3 Da3答案A解析 綈p是綈q的充分不必要條件的等價(jià)命題為q是p的充分不必要條件，即qp，而pq，條件p化簡為x>1或x<3，所以當(dāng)a1時(shí)，qp.4已知命題“a，bR，如果ab>0，則a>0”，則它的否命題是()Aa，bR，如果ab<0，則a<0Ba，bR，如果ab0，則a0Ca，bR，如果ab<0，則a<0Da，bR，如果ab0，則a0答案B解析a，bR是大前堤，在否命題中也不變，又因ab>0，a>0的否定分別為ab0，a0，故選B.5(2011·寧波調(diào)研)下列有關(guān)命題的說法正確的是()A命題“若x21，則x1”的否命題為“若x21，則x1”B“x1”是“x25x60”的必要不充分條件C命題“xR，使得x2x1<0”的否定是“xR，均有x2x1<0”D命題“若xy，則sin xsin y”的逆否命題為真命題答案D二、填空題(每小題4分，共12分)6(2010·安徽)命題“對xR，|x2|x4|>3”的否定是_答案xR，|x2|x4|37已知命題p：“xR，mR使4x2x1m0”，若命題綈p是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_答案m1解析命題綈p是假命題，即命題p是真命題，也就是關(guān)于x的方程4x2x1m0有實(shí)數(shù)解，即m(4x2x1)，令f(x)(4x2x1)，由于f(x)(2x1)21，所以當(dāng)x-Ray時(shí)f(x)1，因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是m1.8(2010·安徽)命題“存在xR，使得x22x50”的否定是_答案對任意xR，都有x22x50解析因特稱命題的否定是全稱命題，所以得：對任意xR，都有x22x50.三、解答題(共38分)9(12分)分別指出由下列命題構(gòu)成的“pq”“pq”“綈p”形式的命題的真假(1)p：42,3，q：22,3；(2)p：1是奇數(shù)，q：1是質(zhì)數(shù)；(3)p：0，q：x|x23x5<0R；(4)p：55，q：27不是質(zhì)數(shù)解(1)p是假命題，q是真命題，pq為真命題，pq為假命題，綈p為真命題(3分)(2)1是奇數(shù)，p是真命題又1不是質(zhì)數(shù)，q是假命題因此pq為真命題，pq為假命題，綈p為假命題(6分)(3)0，p為假命題又x23x5<0<x<，x|x23x5<0x|<x<R成立q為真命題pq為真命題，pq為假命題，綈p為真命題(9分)(4)顯然p：55為真命題，q：27不是質(zhì)數(shù)為真命題，pq為真命題，pq為真命題，綈p為假命題(12分)10(12分)(2011·錦州月考)命題p：關(guān)于x的不等式x22ax4>0對一切xR恒成立，q：函數(shù)f(x)(32a)x是增函數(shù)，若p或q為真，p且q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解設(shè)g(x)x22ax4，由于關(guān)于x的不等式x22ax4>0對一切xR恒成立，所以函數(shù)g(x)的圖象開口向上且與x軸沒有交點(diǎn)，故4a216<0，2<a<2.(4分)又函數(shù)f(x)(32a)x是增函數(shù)，32a>1，a<1.(6分)又由于p或q為真，p且q為假，可知p和q一真一假(1)若p真q假，則1a<2；(8分)(2)若p假q真，則a2.(10分)綜上可知，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為1a<2，或a2.(12分)11(14分)已知p：x2mx10有兩個(gè)不等的負(fù)根，q：4x24(m2)x10無實(shí)根若p或q為真，p且q為假，求m的取值范圍解p：x2mx10有兩個(gè)不等的負(fù)根m>2.(3分)q：4x24(m2)x10無實(shí)根216(m2)216<01<m<3，(6分)因?yàn)閜或q為真，p且q為假，所以p與q的真值相反當(dāng)p真且q假時(shí)，有m3；(10分)當(dāng)p假且q真時(shí)，有1<m2.(12分)綜上可知，m的取值范圍為m|1<m2或m3(14分)